Cociente geométrico

En geometría algebraica , un cociente geométrico de una variedad algebraica X con la acción de un grupo algebraico G es un morfismo de variedades tal que ^[1] ${\displaystyle \pi :X\to Y}$

(i) El mapa es sobreyectivo y sus fibras son exactamente las órbitas G en X. ${\displaystyle \pi }$

(ii) La topología de Y es la topología cociente : un subconjunto es abierto si y sólo si es abierto. ${\displaystyle U\subset Y}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$

(iii) Para cualquier subconjunto abierto , es un isomorfismo. (Aquí, k es el cuerpo base). ${\displaystyle U\subset Y}$ ${\displaystyle \pi ^{\#}:k[U]\to k[\pi ^{-1}(U)]^{G}}$

La noción aparece en la teoría de invariantes geométricos . (i), (ii) digamos que Y es un espacio de órbitas de X en topología . (iii) también puede expresarse como un isomorfismo de haces . En particular, si X es irreducible, entonces también lo es Y y : las funciones racionales en Y pueden verse como funciones racionales invariantes en X (es decir, racionales-invariantes de X ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}\simeq \pi _{*}({\mathcal {O}}_{X}^{G})}$ ${\displaystyle k(Y)=k(X)^{G}}$

Por ejemplo, si H es un subgrupo cerrado de G , entonces es un cociente geométrico. Un cociente GIT puede ser o no un cociente geométrico: pero ambos son cocientes categóricos, lo cual es único; en otras palabras, no se pueden tener ambos tipos de cocientes (sin que sean iguales). ${\displaystyle G/H}$

Relación con otros cocientes

Un cociente geométrico es un cociente categórico . Esto se demuestra en la teoría de invariantes geométricos de Mumford.

Un cociente geométrico es precisamente un buen cociente cuyas fibras son órbitas del grupo.

Ejemplos

• El mapa canónico es un cociente geométrico. ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\setminus 0\to \mathbb {P} ^{n}}$
• Si L es un fibrado linealizado en una variedad G algebraica X , entonces, escribiendo para el conjunto de puntos estables con respecto a L , el cociente ${\displaystyle X_{(0)}^{s}}$

${\displaystyle X_{(0)}^{s}\to X_{(0)}^{s}/G}$  

es un cociente geométrico.

Referencias

1. Brion, M. "Introducción a las acciones de grupos algebraicos" (PDF) . Definición 1.18.