Pila de módulos de paquetes principales

En geometría algebraica, dada una curva proyectiva suave X sobre un campo finito y un esquema de grupo afín suave G sobre él, la pila de módulos de paquetes principales sobre X , denotada por , es una pila algebraica dada por: ^[1] para cualquier -álgebra r , ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(R)=}$la categoría de paquetes G principales sobre la curva relativa . ${\displaystyle X\times _{\mathbf {F} _{q}}\operatorname {Spec} R}$

En particular, la categoría de -puntos de , es decir, , es la categoría de G -paquetes sobre X . ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})}$

De manera similar, también se puede definir cuando la curva X está sobre el cuerpo de números complejos. Aproximadamente, en el caso complejo, se puede definir como el cociente de la pila del espacio de conexiones holomorfas en X por el grupo de calibre . Reemplazar la pila de cocientes (que no es un espacio topológico) por un cociente de homotopía (que es un espacio topológico) da el tipo de homotopía de . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

En el caso de campos finitos, no es común definir el tipo de homotopía de . Pero todavía se puede definir una cohomología y homología ( suave ) de . ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Propiedades básicas

Se sabe que es una pila suave de dimensiones donde está el género de X. No es de tipo finito sino localmente de tipo finito; por lo tanto, generalmente se usa una estratificación por subpilas abiertas de tipo finito (cf. la estratificación de Harder-Narasimhan ), también para G parahórico sobre la curva X ver ^[2] y para G solo un esquema de grupo plano de tipo finito sobre X ver. ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle (g(X)-1)\dim G}$ ${\displaystyle g(X)}$

Si G es un grupo reductivo dividido, entonces el conjunto de componentes conectados está en una biyección natural con el grupo fundamental . ^[4] ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Bun} _{G}(X))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(G)}$

La fórmula Atiyah-Bott

Fórmula de trazas de Behrend

Esta es una versión (conjetural) de la fórmula de traza de Lefschetz para cuando X está sobre un campo finito, introducida por Behrend en 1993. ^[5] Dice: ^[6] si G es un esquema de grupo afín suave con fibra genérica conectada semisimple , entonces ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=q^{\dim \operatorname {Bun} _{G}(X)}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|H^{*}(\operatorname {Bun} _{G}(X);\mathbb {Z} _{l}))}$

donde (consulte también la fórmula de seguimiento de Behrend para obtener más detalles)

• l es un número primo que no es p y el anillo de enteros l-ádicos se considera un subanillo de . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \phi }$es el Frobenius geométrico .
• ${\displaystyle \#\operatorname {Bun} _{G}(X)(\mathbf {F} _{q})=\sum _{P}{1 \over \#\operatorname {Aut} (P)}}$, la suma que abarca todas las clases de isomorfismo de paquetes G en X y convergente.
• ${\displaystyle \operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{*})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} (\phi ^{-1}|V_{i})}$para un espacio vectorial graduado , siempre que la serie de la derecha converja absolutamente. ${\displaystyle V_{*}}$

A priori, ni el lado izquierdo ni el derecho de la fórmula convergen. Así, la fórmula establece que los dos lados convergen en números finitos y que esos números coinciden.

Notas

1. Lurie, Jacob (3 de abril de 2013), Números de Tamagawa en el caso del campo funcional (Conferencia 2) (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 11 de abril de 2013 , consultado el 30 de enero de 2014
2. Heinloth 2010, Proposición 2.1.2
3. Arasteh Rad, E.; Hartl, Urs (2021), "Uniformizing the moduli stacks of global G-shtukas", Avisos internacionales de investigación en matemáticas (21): 16121–16192, arXiv : 1302.6351 , doi : 10.1093/imrn/rnz223, MR  4338216; ver Teorema 2.5
4. Heinloth 2010, Proposición 2.1.2
5. Behrend, Kai A. (1991), La fórmula de traza de Lefschetz para la pila de módulos de paquetes principales (PDF) (tesis doctoral), Universidad de California, Berkeley
6. Gaitsgory & Lurie 2019, Capítulo 5: La fórmula de seguimiento para Bun _G (X), p. 260

Referencias

• Heinloth, Jochen (2010), "Conferencias sobre la pila de módulos de paquetes de vectores en una curva" (PDF) , en Schmitt, Alexander (ed.), Colectores de banderas afines y paquetes principales , Tendencias en matemáticas, Basilea: Birkhäuser/Springer, págs. 123-153, doi :10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7, señor  3013029
• J. Heinloth, AHW Schmitt, The Cohomology Ring of Moduli Stacks of Principal Bundles over Curves, preimpresión de 2010, disponible en http://www.uni-essen.de/~hm0002/.
• Gaitsgory, Dennis; Lurie, Jacob (2019), Conjetura de Weil para campos funcionales, vol. 1 (PDF) , Anales de estudios de matemáticas, vol. 199, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-18214-8, señor  3887650

Otras lecturas

• C. Sorger, Conferencias sobre módulos de paquetes G principales sobre curvas algebraicas

Ver también

• Conjeturas geométricas de Langlands
• Corrió el espacio
• Pila de módulos de paquetes de vectores