En matemáticas , el endomorfismo de Frobenius se define en cualquier anillo conmutativo R que tenga característica p , donde p es un número primo . Es decir, la aplicación φ que lleva r en R a r p es un endomorfismo de anillo de R.
La imagen de φ es entonces R p , el subanillo de R que consiste en potencias p -ésimas. En algunos casos importantes, por ejemplo cuerpos finitos , φ es sobreyectivo . De lo contrario φ es un endomorfismo pero no un automorfismo de anillo .
La terminología de Frobenius geométrico surge al aplicar el espectro de una construcción de anillo a φ. Esto da una aplicación
de esquemas afines . Incluso en los casos en que R p = R esta no es la identidad, a menos que R sea el cuerpo primo .
Las aplicaciones creadas por productos de fibras con φ*, es decir, cambios de base , tienden a llamarse en la teoría de esquemas Frobenius geométrico . La razón para una terminología cuidadosa es que el automorfismo de Frobenius en los grupos de Galois , o definido por el transporte de estructura , es a menudo la aplicación inversa del Frobenius geométrico. Como en el caso de un grupo cíclico en el que un generador es también el inverso de un generador, en muchas situaciones hay dos posibles definiciones de Frobenius, y sin una convención consistente puede aparecer algún problema de signo menos .