Haz de álgebras

Tipo de espacio anillado

En geometría algebraica, un haz de álgebras en un espacio anillado X es un haz de anillos conmutativos en X que también es un haz de -módulos ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ . Es cuasi coherente si lo es como módulo.

Cuando X es un esquema , al igual que un anillo, se puede tomar la Spec global de un haz de álgebras cuasi-coherentes: esto da como resultado el funtor contravariante de la categoría de (haces de) -álgebras cuasi-coherentes sobre X a la categoría de esquemas que son afines sobre X (definidos a continuación). Además, es una equivalencia: el cuasi-inverso se da enviando un morfismo afín a ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}.}$

Morfismo afín

Un morfismo de esquemas se llama afín si tiene una cubierta afín abierta tal que son afines. ^[2] Por ejemplo, un morfismo finito es afín. Un morfismo afín es cuasi-compacto y separado ; en particular, la imagen directa de un haz cuasi-coherente a lo largo de un morfismo afín es cuasi-coherente. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U_{i})}$

El cambio de base de un morfismo afín es afín. ^[3]

Sea un morfismo afín entre esquemas y un espacio anillado localmente junto con una función . Entonces la función natural entre los conjuntos: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g:E\to Y}$

${\displaystyle \operatorname {Mor} _{Y}(E,X)\to \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{Y}-{\text{alg}}}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X},g_{*}{\mathcal {O}}_{E})}$

es biyectiva. ^[4]

Ejemplos

• Sea la normalización de una variedad algebraica X . Entonces, como f es finito, es cuasi-coherente y . ${\displaystyle f:{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(f_{*}{\mathcal {O}}_{\widetilde {X}})={\widetilde {X}}}$
• Sea un haz localmente libre de rango finito en un esquema X . Entonces es un -álgebra cuasi-coherente y es el fibrado vectorial asociado sobre X (llamado el espacio total de ). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (E^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (E^{*}))\to X}$ ${\displaystyle E}$
• De manera más general, si F es un haz coherente en X , entonces todavía se tiene , usualmente llamado la envoltura abeliana de F ; ver Cono (geometría algebraica)#Ejemplos . ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} (F))\to X}$

La formación de imágenes directas

Dado un espacio anillado S , existe la categoría de pares que consiste en un morfismo de espacio anillado y un -módulo . Entonces la formación de imágenes directas determina el funtor contravariante de a la categoría de pares que consiste en un -álgebra A y un A -módulo M que envía cada par al par . ${\displaystyle C_{S}}$ ${\displaystyle (f,M)}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle (f,M)}$ ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}},f_{*}M)}$

Supongamos ahora que S es un esquema y luego sea la subcategoría que consiste en pares tales que es un morfismo afín entre esquemas y un haz cuasi-coherente en . Entonces el funtor anterior determina la equivalencia entre y la categoría de pares que consiste en un -álgebra A y un -módulo cuasi-coherente . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}\subset C_{S}}$ ${\displaystyle (f:X\to S,M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Aff} _{S}}$ ${\displaystyle (A,M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

La equivalencia anterior se puede utilizar (entre otras cosas) para hacer la siguiente construcción. Como antes, dado un esquema S , sea A un -álgebra cuasi-coherente y luego tome su Spec global: . Entonces, para cada A -módulo cuasi-coherente M , hay un -módulo cuasi-coherente correspondiente tal que se llama el haz asociado a M . Dicho de otra manera, determina una equivalencia entre la categoría de -módulos cuasi-coherentes y los -módulos cuasi-coherentes . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle f:X=\operatorname {Spec} _{S}(A)\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle f_{*}{\widetilde {M}}\simeq M,}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• morfismo cuasi-afín
• Teorema de Serre sobre la afinidad

Referencias

1. EGA 1971, cap. Yo, Teorema 9.1.4. harvnb error: no target: CITEREFEGA1971 (help)
2. EGA 1971, Cap. I, Definición 9.1.1. harvnb error: no target: CITEREFEGA1971 (help)
3. Proyecto Stacks, Etiqueta 01S5.
4. EGA 1971, Cap. I, Proposición 9.1.5. harvnb error: no target: CITEREFEGA1971 (help)
5. EGA 1971, cap. Yo, Teorema 9.2.1. harvnb error: no target: CITEREFEGA1971 (help)

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (en francés). vol. 166 (2ª ed.). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157

Enlaces externos

• https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism