Politopo complejo

En geometría , un politopo complejo es una generalización de un politopo en el espacio real a una estructura análoga en un espacio de Hilbert complejo , donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria .

Un politopo complejo puede entenderse como una colección de puntos, líneas, planos, etc. complejos, donde cada punto es la unión de múltiples líneas, cada línea de múltiples planos, y así sucesivamente.

Sólo existen definiciones precisas para los politopos complejos regulares, que son configuraciones . Los politopos complejos regulares han sido completamente caracterizados y pueden describirse utilizando una notación simbólica desarrollada por Coxeter .

También se han descrito algunos politopos complejos que no son totalmente regulares.

Definiciones e introducción

La línea compleja tiene una dimensión con coordenadas reales y otra con coordenadas imaginarias . Se dice que al aplicar coordenadas reales a ambas dimensiones se obtienen dos dimensiones sobre los números reales. Un plano real, con el eje imaginario etiquetado como tal, se denomina diagrama de Argand . Por eso, a veces se lo denomina plano complejo. El espacio complejo bidimensional (también llamado a veces plano complejo) es, por tanto, un espacio de cuatro dimensiones sobre los números reales, y así sucesivamente en dimensiones superiores. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

Un politopo complejo n en un espacio n complejo es el análogo de un politopo real n en un espacio n real . Sin embargo, no existe un análogo complejo natural del ordenamiento de los puntos en una línea real (ni de las propiedades combinatorias asociadas). Por ello, un politopo complejo no puede verse como una superficie contigua y no limita un interior como lo hace un politopo real.

En el caso de los politopos regulares , se puede hacer una definición precisa utilizando la noción de simetría. Para cualquier politopo regular , el grupo de simetría (aquí un grupo de reflexión complejo , llamado grupo de Shephard ) actúa transitivamente sobre los flags , es decir, sobre las sucesiones anidadas de un punto contenido en una línea contenida en un plano, y así sucesivamente.

De manera más completa, digamos que una colección P de subespacios afines (o planos ) de un espacio unitario complejo V de dimensión n es un politopo complejo regular si cumple las siguientes condiciones: ^{[1] [2]}

• para cada −1 ≤ i < j < k ≤ n , si F es un plano en P de dimensión i y H es un plano en P de dimensión k tal que F ⊂ H entonces hay al menos dos planos G en P de dimensión j tales que F ⊂ G ⊂ H ;
• para cada i , j tales que −1 ≤ i < j − 2, j ≤ n , si F ⊂ G son planos de P de dimensiones i , j , entonces el conjunto de planos entre F y G es conexo, en el sentido de que se puede llegar desde cualquier miembro de este conjunto a cualquier otro mediante una secuencia de contenciones; y
• el subconjunto de transformaciones unitarias de V que fijan P son transitivas sobre las banderas F ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n de planos de P (con F _i de dimensión i para todo i ).

(Aquí, un plano de dimensión −1 se toma como el conjunto vacío.) Por lo tanto, por definición, los politopos complejos regulares son configuraciones en el espacio unitario complejo.

Los politopos complejos regulares fueron descubiertos por Shephard (1952) y la teoría fue desarrollada posteriormente por Coxeter (1974).

Un politopo complejo existe en el espacio complejo de dimensión equivalente. Por ejemplo, los vértices de un polígono complejo son puntos en el plano complejo (un plano en el que cada punto tiene dos números complejos como coordenadas, que no debe confundirse con el plano de Argand de números complejos), y las aristas son líneas complejas que existen como subespacios (afines) del plano y se intersecan en los vértices. Por lo tanto, como espacio complejo unidimensional, a una arista se le puede dar su propio sistema de coordenadas, dentro del cual los puntos de la arista están representados cada uno por un solo número complejo. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

En un politopo complejo regular, los vértices incidentes en la arista están dispuestos simétricamente respecto de su centroide , que a menudo se utiliza como el origen del sistema de coordenadas de la arista (en el caso real, el centroide es simplemente el punto medio de la arista). La simetría surge de una reflexión compleja sobre el centroide; esta reflexión dejará la magnitud de cualquier vértice sin cambios, pero cambiará su argumento en una cantidad fija, moviéndolo a las coordenadas del siguiente vértice en orden. Por lo tanto, podemos suponer (después de una elección adecuada de la escala) que los vértices en la arista satisfacen la ecuación donde p es el número de vértices incidentes. Por lo tanto, en el diagrama de Argand de la arista, los puntos de vértice se encuentran en los vértices de un polígono regular centrado en el origen. ${\displaystyle x^{p}-1=0}$

Arriba se ilustran tres proyecciones reales del polígono complejo regular 4{4}2, con aristas a, b, c, d, e, f, g, h . Tiene 16 vértices, que para mayor claridad no se han marcado individualmente. Cada arista tiene cuatro vértices y cada vértice se encuentra sobre dos aristas, por lo tanto, cada arista se encuentra con otras cuatro aristas. En el primer diagrama, cada arista está representada por un cuadrado. Los lados del cuadrado no son partes del polígono, sino que se dibujan simplemente para ayudar a relacionar visualmente los cuatro vértices. Las aristas están dispuestas simétricamente. (Obsérvese que el diagrama parece similar a la proyección del plano de Coxeter B 4 del teseracto , pero es estructuralmente diferente).

El diagrama central abandona la simetría octogonal en favor de la claridad. Cada arista se muestra como una línea real y cada punto de encuentro de dos líneas es un vértice. La conectividad entre las distintas aristas es evidente.

El último diagrama da una idea de la estructura proyectada en tres dimensiones: los dos cubos de vértices son de hecho del mismo tamaño, pero se ven en perspectiva a diferentes distancias en la cuarta dimensión.

Politopos regulares complejos unidimensionales

Los 1-politopos complejos se representan en el plano de Argand como polígonos regulares para p = 2, 3, 4, 5 y 6, con vértices negros. El centroide de los p vértices se muestra en rojo. Los lados de los polígonos representan una aplicación del generador de simetría, que asigna cada vértice a la siguiente copia en sentido antihorario. Estos lados poligonales no son elementos de borde del politopo, ya que un 1-politopo complejo no puede tener bordes (a menudo es un borde complejo) y solo contiene elementos de vértice.

Un politopo unidimensional real existe como un segmento cerrado en la línea real , definido por sus dos puntos finales o vértices en la línea. Su símbolo de Schläfli es {} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

De manera análoga, un politopo 1 complejo existe como un conjunto de p puntos de vértice en la línea compleja . Estos pueden representarse como un conjunto de puntos en un diagrama de Argand ( x , y )= x + iy . Un politopo regular complejo unidimensional _p {} tiene p ( p ≥ 2) puntos de vértice dispuestos para formar un polígono regular convexo { p } en el plano de Argand. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

A diferencia de los puntos de la recta real, los puntos de la recta compleja no tienen un orden natural. Por lo tanto, a diferencia de los politopos reales, no se puede definir ningún interior. ^[5] A pesar de esto, los 1-politopos complejos se dibujan a menudo, como aquí, como un polígono regular acotado en el plano de Argand.

Una arista real se genera como la línea entre un punto y su imagen reflejada en un espejo. Una reflexión unitaria de orden 2 puede verse como una rotación de 180 grados alrededor de un centro. Una arista está inactiva si el punto generador está en la línea reflejada o en el centro.

Un politopo real regular unidimensional se representa mediante un símbolo de Schläfli vacío {}, o diagrama de Coxeter-Dynkin El punto o nodo del diagrama de Coxeter-Dynkin representa en sí mismo un generador de reflexión, mientras que el círculo alrededor del nodo significa que el punto generador no está en la reflexión, por lo que su imagen reflejada es un punto distinto de sí mismo. Por extensión, un politopo regular complejo unidimensional en tiene diagrama de Coxeter-Dynkin ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ , para cualquier entero positivo p , 2 o mayor, que contenga p vértices. p se puede suprimir si es 2. También se puede representar mediante un símbolo de Schläfli vacío _p {}, } _p {, {} _p o _p {2} ₁ . El 1 es un marcador de posición de notación, que representa una reflexión inexistente o un generador de identidad de período 1. (Un 0-politopo, real o complejo es un punto y se representa como } { o ₁ {2} ₁ ).

La simetría se denota mediante el diagrama de Coxeter. , y puede describirse alternativamente en notación de Coxeter como _p [], [] _p o ] _p [, _p [2] ₁ o _p [1] _p . La simetría es isomorfa al grupo cíclico , orden p . ^[6] Los subgrupos de _p [] son ​​cualquier divisor entero d , _d [], donde d ≥2.

Un generador de operador unitario parase ve como una rotación de 2π/ p radianes en sentido antihorario y unaEl borde se crea mediante aplicaciones secuenciales de una única reflexión unitaria. Un generador de reflexión unitaria para un 1-politopo con p vértices es e ^{2π i / p} = cos(2π/ p ) + i sin(2π/ p ) . Cuando p = 2, el generador es e ^{π i} = –1, lo mismo que una reflexión puntual en el plano real.

En politopos de mayor complejidad, los politopos 1 forman aristas p . Una arista 2 es similar a una arista real ordinaria, en el sentido de que contiene dos vértices, pero no necesita existir en una línea real.

Polígonos regulares complejos

Mientras que los 1-politopos pueden tener p ilimitados , los polígonos complejos regulares finitos, excluyendo los polígonos de prisma doble _p {4} ₂ , están limitados a elementos de 5 aristas (aristas pentagonales), y los apeirógonos regulares infinitos también incluyen elementos de 6 aristas (aristas hexagonales).

Notaciones

Notación Schläfli modificada de Shephard

Shephard ideó originalmente una forma modificada de la notación de Schläfli para politopos regulares. Para un polígono delimitado por p ₁ -aristas, con un p ₂ -conjunto como figura de vértice y un grupo de simetría general de orden g , denotamos el polígono como p ₁ ( g ) p ₂ .

El número de vértices V es entonces g / p ₂ y el número de aristas E es g / p ₁ .

El polígono complejo ilustrado arriba tiene ocho aristas cuadradas ( p ₁ = 4) y dieciséis vértices ( p ₂ = 2). De esto podemos deducir que g = 32, lo que da el símbolo de Schläfli modificado 4(32)2.

Notación Schläfli modificada y revisada de Coxeter

Una notación más moderna _{p 1} { q } _{p 2} se debe a Coxeter , ^[7] y se basa en la teoría de grupos. Como grupo de simetría, su símbolo es _{p 1} [ q ] _{p 2} .

El grupo de simetría _{p 1} [ q ] _{p 2} está representado por 2 generadores R ₁ , R ₂ , donde: R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I. Si q es par, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . Si q es impar, (R ₂ R ₁ ) ^(q−1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R ₁ . Cuando q es impar, p ₁ = p ₂ .

Para ₄ [4] ₂ tiene R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I, (R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ² .

Para ₃ [5] ₃ tiene R ₁ ³ = R ₂ ³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

Diagramas de Coxeter-Dynkin

Coxeter también generalizó el uso de los diagramas de Coxeter-Dynkin a politopos complejos, por ejemplo, el polígono complejo _p { q } _r se representa mediantey el grupo de simetría equivalente, _p [ q ] _r , es un diagrama sin anilloLos nodos p y r representan espejos que producen imágenes p y r en el plano. Los nodos sin etiquetar en un diagrama tienen etiquetas 2 implícitas. Por ejemplo, un polígono regular real es ₂ { q } ₂ o { q } o.

Una limitación: los nodos conectados por órdenes de ramificación impares deben tener órdenes de nodos idénticos. Si no es así, el grupo creará polígonos "estrellados", con elementos superpuestos.yson ordinarios, mientrasEstá estrellado.

12 grupos de Shephard irreducibles

12 grupos de Shephard irreducibles con sus relaciones de índice de subgrupo. ^[8] Los subgrupos de índice 2 se relacionan eliminando una reflexión real:
_p [2 q ] ₂ → _p [ q ] _p , índice 2.
_p [4] _q → _p [ q ] _p , índice q .

_p [4] ₂ subgrupos: p=2,3,4...
_p [4] ₂ → [ p ], índice p
_p [4] ₂ → _p []× _p [], índice 2

Coxeter enumeró esta lista de polígonos complejos regulares en . Un polígono complejo regular, _p { q } _r o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, tiene p -aristas y r -figuras de vértices gonales . _p { q } _r es un politopo finito si ( p + r ) q > pr ( q -2).

Su simetría se escribe como _p [ q ] _r , llamado grupo de Shephard , análogo a un grupo de Coxeter , aunque también permite reflexiones unitarias .

Para los grupos no estelares, el orden del grupo _p [ q ] _r se puede calcular como . ^[9] ${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

El número de Coxeter para _p [ q ] _r es , por lo que el orden del grupo también se puede calcular como . Se puede dibujar un polígono complejo regular en proyección ortogonal con simetría h -gonal. ${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$ ${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son:

Las soluciones excluidas con q impar y p y r desiguales son: ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [ 5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ y ₃ [11] ₂ .

Otros q enteros con p y r desiguales , crean grupos estrellados con dominios fundamentales superpuestos:,,,,, y.

El polígono dual de _p { q } _r es _r { q } _p . Un polígono de la forma _p { q } _p es autodual. Los grupos de la forma _p [2 q ] ₂ tienen una semisimetría _p [ q ] _p , por lo que un polígono regulares lo mismo que cuasirregular. Además, polígono regular con el mismo orden de nodos,, tienen una construcción alternada, permitiendo que los bordes adyacentes sean de dos colores diferentes. ^[10]

El orden de grupo, g , se utiliza para calcular el número total de vértices y aristas. Tendrá g / r vértices y g / p aristas. Cuando p = r , el número de vértices y aristas es igual. Esta condición es necesaria cuando q es impar.

Generadores de matrices

El grupo p [ q ] r ,, se puede representar mediante dos matrices: ^[11]

Con

k= ${\displaystyle {\sqrt {\frac {cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}}$

Ejemplos

Enumeración de polígonos regulares complejos

Coxeter enumeró los polígonos complejos en la Tabla III de Politopos complejos regulares. ^[12]

Visualizaciones de polígonos regulares complejos

Los polígonos de la forma _p {2 r } _q se pueden visualizar mediante q conjuntos de colores de p -aristas. Cada p -arista se ve como un polígono regular, aunque no hay caras.

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos ₂ { r } _q

Los polígonos de la forma ₂ {4} _q se denominan ortoplexos generalizados . Comparten vértices con las duopirámides 4D q - q , vértices conectados por 2 aristas.

• 
  ₂ {4} ₂ ,, con 4 vértices y 4 aristas
• 
  ₂ {4} ₃ ,, con 6 vértices y 9 aristas ^[13]
• 
  ₂ {4} ₄ ,, con 8 vértices y 16 aristas
• 
  ₂ {4} ₅ ,, con 10 vértices y 25 aristas
• 
  ₂ {4} ₆ ,, con 12 vértices y 36 aristas
• 
  ₂ {4} ₇ ,, con 14 vértices y 49 aristas
• 
  ₂ {4} ₈ ,, con 16 vértices y 64 aristas
• 
  ₂ {4} ₉ ,, con 18 vértices y 81 aristas
• 
  ₂ {4} ₁₀ ,, con 20 vértices y 100 aristas

Polígonos complejos _p {4} ₂

Los polígonos de la forma _p {4} ₂ se denominan hipercubos generalizados (cuadrados para polígonos). Comparten vértices con los duoprismas 4D p - p , vértices conectados por p-aristas. Los vértices se dibujan en verde y las p -aristas se dibujan en colores alternos, rojo y azul. La perspectiva se distorsiona ligeramente para las dimensiones impares para mover los vértices superpuestos desde el centro.

• 
  ₂ {4} ₂ ,o, con 4 vértices y 4 aristas de 2 caras
• 
  ₃ {4} ₂ ,o, con 9 vértices y 6 aristas triangulares de 3 lados ^[13]
• 
  ₄ {4} ₂ ,o, con 16 vértices y 8 aristas cuadradas de 4 lados
• 
  ₅ {4} ₂ ,o, con 25 vértices y 10 aristas de 5 lados (pentagonales)
• 
  ₆ {4} ₂ ,o, con 36 vértices y 12 aristas (hexagonales) de 6
• 
  ₇ {4} ₂ ,o, con 49 vértices y 14 aristas (heptagonales) de 7 lados
• 
  ₈ {4} ₂ ,o, con 64 vértices y 16 aristas de 8 caras (octagonales)
• 
  ₉ {4} ₂ ,o, con 81 vértices y 18 aristas de 9 lados (aneogonales)
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,o, con 100 vértices y 20 aristas de 10 (decagonales)

Proyecciones en perspectiva 3D de polígonos complejos _p {4} ₂ . Los duales ₂ {4} _p

se ven agregando vértices dentro de los bordes y agregando bordes en lugar de vértices.

• 
  ₃ {4} ₂ , ocon 9 vértices, 6 aristas de 3 lados en 2 conjuntos de colores
• 
  ₂ {4} ₃ ,con 6 vértices, 9 aristas en 3 conjuntos
• 
  ₄ {4} ₂ ,ocon 16 vértices, 8 de 4 aristas en 2 conjuntos de colores y cuadrado relleno de 4 aristas
• 
  ₅ {4} ₂ ,ocon 25 vértices, 10 de 5 aristas en 2 conjuntos de colores

Otros polígonos complejos _p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂ ,o, con 24 vértices en negro y 16 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[14]
• 
  ₃ {8} ₂ ,o, con 72 vértices en negro y 48 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[15]

Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos, _p { r } _p

Los polígonos de la forma _p { r } _p tienen el mismo número de vértices y aristas. También son autoduales.

• 
  ₃ {3} ₃ ,o, con 8 vértices en negro y 8 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[16]
• 
  ₃ {4} ₃ ,o, con 24 vértices y 24 aristas de 3 lados que se muestran en 3 conjuntos de colores, un conjunto lleno ^[17]
• 
  ₄ {3} ₄ ,o, con 24 vértices y 24 aristas de 4 lados que se muestran en 4 conjuntos de colores ^[17]
• 
  ₃ {5} ₃ ,o, con 120 vértices y 120 3 aristas ^[18]
• 
  ₅ {3} ₅ ,o, con 120 vértices y 120 aristas de 5 puntos ^[19]

Politopos complejos regulares

En general, un politopo complejo regular se representa por Coxeter como _p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s ... o diagrama de Coxeter..., que tiene simetría _p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _s ... o.... ^[20]

Existen infinitas familias de politopos complejos regulares que se dan en todas las dimensiones, generalizando los hipercubos y politopos cruzados en el espacio real. El "ortótopo generalizado" de Shephard generaliza el hipercubo; su símbolo es γ.^pn
_​= _p {4} ₂ {3} ₂ ... ₂ {3} ₂ y diagrama...Su grupo de simetría tiene el diagrama _p [4] ₂ [3] ₂ ... ₂ [3] ₂ ; en la clasificación de Shephard–Todd, este es el grupo G( p , 1, n ) que generaliza las matrices de permutación con signo. Su politopo regular dual, el "politopo cruzado generalizado", se representa con el símbolo β^pn
_​= ₂ {3} ₂ {3} ₂ ... ₂ {4} _p y diagrama.... ^[21]

Un politopo complejo regular unidimensional se representa como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, que tiene p vértices, y su representación real es un polígono regular , { p }. Coxeter también le da el símbolo γ^pág.
₁o β^pág.
₁como hipercubo generalizado unidimensional o politopo cruzado. Su simetría es _p [] o, un grupo cíclico de orden p . En un politopo superior, _p {} orepresenta un elemento de borde p , con un borde 2, {} o, que representa un borde real ordinario entre dos vértices. ^[21]

Un politopo complejo dual se construye intercambiando k y ( n -1- k )-elementos de un n -politopo. Por ejemplo, un polígono complejo dual tiene vértices centrados en cada arista, y las nuevas aristas están centradas en los vértices antiguos. Un vértice de v -valencia crea una nueva arista v , y las aristas e se convierten en vértices de e -valencia. ^[22] El dual de un politopo complejo regular tiene un símbolo invertido. Los politopos complejos regulares con símbolos simétricos, es decir , _p { q } _p , _p { q } _r { q } _p , _p { q } _r { s } _r { q } _p , etc. son autoduales .

Enumeración de poliedros regulares complejos

Algunos grupos de Shephard de rango 3 con sus órdenes de grupo y las relaciones de subgrupos reflexivos

Coxeter enumeró esta lista de poliedros complejos regulares no estelares en , incluidos los 5 sólidos platónicos en . ^[23] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Un poliedro complejo regular, _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r o, tienecaras,bordes, y figuras de vértice .

Un poliedro regular complejo _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r requiere que tanto g ₁ = order( _p [ n ₁ ] _q ) como g ₂ = order( _q [ n ₂ ] _r ) sean finitos.

Dado g = orden ( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r ), el número de vértices es g / g ₂ , y el número de caras es g / g ₁ . El número de aristas es g / pr .

Visualizaciones de poliedros complejos regulares

Proyecciones ortogonales 2D de poliedros complejos, _p { s } _t { r } _r

• 
  Real {3,3} ,otiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras
• 
  ₃ {3} ₃ {3} ₃ ,o, tiene 27 vértices, 72 aristas triples y 27 caras, con una cara resaltada en azul. ^[25]
• 
  ₂ {4} ₃ {3} ₃ ,tiene 54 vértices, 216 aristas simples y 72 caras, con una cara resaltada en azul. ^[26]
• 
  ₃ {3} ₃ {4} ₂ ,o, tiene 72 vértices, 216 3 aristas y 54 vértices, con una cara resaltada en azul. ^[27]

Octaedros generalizados

Los octaedros generalizados tienen una construcción regular comoy forma cuasirregular como. Todos los elementos son símplex .

• 
  Real {3,4}, or , with 6 vertices, 12 edges, and 8 faces
• 
  ₂{3}₂{4}₃, or , with 9 vertices, 27 edges, and 27 faces
• 
  ₂{3}₂{4}₄, or , with 12 vertices, 48 edges, and 64 faces
• 
  ₂{3}₂{4}₅, or , with 15 vertices, 75 edges, and 125 faces
• 
  ₂{3}₂{4}₆, or , with 18 vertices, 108 edges, and 216 faces
• 
  ₂{3}₂{4}₇, or , with 21 vertices, 147 edges, and 343 faces
• 
  ₂{3}₂{4}₈, or , with 24 vertices, 192 edges, and 512 faces
• 
  ₂{3}₂{4}₉, or , with 27 vertices, 243 edges, and 729 faces
• 
  ₂{3}₂{4}₁₀, or , with 30 vertices, 300 edges, and 1000 faces

Generalized cubes

Generalized cubes have a regular construction as and prismatic construction as , a product of three p-gonal 1-polytopes. Elements are lower dimensional generalized cubes.

• 
  Real {4,3}, or has 8 vertices, 12 edges, and 6 faces
• 
  ₃{4}₂{3}₂, or has 27 vertices, 27 3-edges, and 9 faces^[25]
• 
  ₄{4}₂{3}₂, or , with 64 vertices, 48 edges, and 12 faces
• 
  ₅{4}₂{3}₂, or , with 125 vertices, 75 edges, and 15 faces
• 
  ₆{4}₂{3}₂, or , with 216 vertices, 108 edges, and 18 faces
• 
  ₇{4}₂{3}₂, or , with 343 vertices, 147 edges, and 21 faces
• 
  ₈{4}₂{3}₂, or , with 512 vertices, 192 edges, and 24 faces
• 
  ₉{4}₂{3}₂, or , with 729 vertices, 243 edges, and 27 faces
• 
  ₁₀{4}₂{3}₂, or , with 1000 vertices, 300 edges, and 30 faces

Enumeration of regular complex 4-polytopes

Coxeter enumerated this list of nonstarry regular complex 4-polytopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$, including the 6 convex regular 4-polytopes in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.^[23]

Visualizations of regular complex 4-polytopes

• 
  Real {3,3,3}, , had 5 vertices, 10 edges, 10 {3} faces, and 5 {3,3} cells
• 
  Real {3,4,3}, , had 24 vertices, 96 edges, 96 {3} faces, and 24 {3,4} cells
• 
  Real {5,3,3}, , had 600 vertices, 1200 edges, 720 {5} faces, and 120 {5,3} cells
• 
  Real {3,3,5}, , had 120 vertices, 720 edges, 1200 {3} faces, and 600 {3,3} cells
• 
  Witting polytope, , has 240 vertices, 2160 3-edges, 2160 3{3}3 faces, and 240 3{3}3{3}3 cells

Generalized 4-orthoplexes

Generalized 4-orthoplexes have a regular construction as and quasiregular form as . All elements are simplexes.

• 
  Real {3,3,4}, or , with 8 vertices, 24 edges, 32 faces, and 16 cells
• 
  ₂{3}₂{3}₂{4}₃, or , with 12 vertices, 54 edges, 108 faces, and 81 cells
• 
  ₂{3}₂{3}₂{4}₄, or , with 16 vertices, 96 edges, 256 faces, and 256 cells
• 
  ₂{3}₂{3}₂{4}₅, or , with 20 vertices, 150 edges, 500 faces, and 625 cells
• 
  ₂{3}₂{3}₂{4}₆, or , with 24 vertices, 216 edges, 864 faces, and 1296 cells
• 
  ₂{3}₂{3}₂{4}₇, or , with 28 vertices, 294 edges, 1372 faces, and 2401 cells
• 
  ₂{3}₂{3}₂{4}₈, or , with 32 vertices, 384 edges, 2048 faces, and 4096 cells
• 
  ₂{3}₂{3}₂{4}₉, or , with 36 vertices, 486 edges, 2916 faces, and 6561 cells
• 
  ₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, or , with 40 vertices, 600 edges, 4000 faces, and 10000 cells

Generalized 4-cubes

Generalized tesseracts have a regular construction as and prismatic construction as , a product of four p-gonal 1-polytopes. Elements are lower dimensional generalized cubes.

• 
  Real {4,3,3}, or , with 16 vertices, 32 edges, 24 faces, and 8 cells
• 
  ₃{4}₂{3}₂{3}₂, or , with 81 vertices, 108 edges, 54 faces, and 12 cells
• 
  ₄{4}₂{3}₂{3}₂, or , with 256 vertices, 96 edges, 96 faces, and 16 cells
• 
  ₅{4}₂{3}₂{3}₂, or , with 625 vertices, 500 edges, 150 faces, and 20 cells
• 
  ₆{4}₂{3}₂{3}₂, or , with 1296 vertices, 864 edges, 216 faces, and 24 cells
• 
  ₇{4}₂{3}₂{3}₂, or , with 2401 vertices, 1372 edges, 294 faces, and 28 cells
• 
  ₈{4}₂{3}₂{3}₂, or , with 4096 vertices, 2048 edges, 384 faces, and 32 cells
• 
  ₉{4}₂{3}₂{3}₂, or , with 6561 vertices, 2916 edges, 486 faces, and 36 cells
• 
  ₁₀{4}₂{3}₂{3}₂, or , with 10000 vertices, 4000 edges, 600 faces, and 40 cells

Enumeration of regular complex 5-polytopes

Regular complex 5-polytopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$ or higher exist in three families, the real simplexes and the generalized hypercube, and orthoplex.

Visualizations of regular complex 5-polytopes

Generalized 5-orthoplexes

Generalized 5-orthoplexes have a regular construction as and quasiregular form as . All elements are simplexes.

• 
  Real {3,3,3,4}, , with 10 vertices, 40 edges, 80 faces, 80 cells, and 32 4-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₃, , with 15 vertices, 90 edges, 270 faces, 405 cells, and 243 4-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₄, , with 20 vertices, 160 edges, 640 faces, 1280 cells, and 1024 4-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₅, , with 25 vertices, 250 edges, 1250 faces, 3125 cells, and 3125 4-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₆, , with 30 vertices, 360 edges, 2160 faces, 6480 cells, 7776 4-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₇, , with 35 vertices, 490 edges, 3430 faces, 12005 cells, 16807 4-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₈, , with 40 vertices, 640 edges, 5120 faces, 20480 cells, 32768 4-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₉, , with 45 vertices, 810 edges, 7290 faces, 32805 cells, 59049 4-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, , with 50 vertices, 1000 edges, 10000 faces, 50000 cells, 100000 4-faces

Generalized 5-cubes

Generalized 5-cubes have a regular construction as and prismatic construction as , a product of five p-gonal 1-polytopes. Elements are lower dimensional generalized cubes.

• 
  Real {4,3,3,3}, , with 32 vertices, 80 edges, 80 faces, 40 cells, and 10 4-faces
• 
  ₃{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , with 243 vertices, 405 edges, 270 faces, 90 cells, and 15 4-faces
• 
  ₄{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , with 1024 vertices, 1280 edges, 640 faces, 160 cells, and 20 4-faces
• 
  ₅{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , with 3125 vertices, 3125 edges, 1250 faces, 250 cells, and 25 4-faces
• 
  ₆{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , with 7776 vertices, 6480 edges, 2160 faces, 360 cells, and 30 4-faces

Enumeration of regular complex 6-polytopes

Visualizations of regular complex 6-polytopes

Generalized 6-orthoplexes

Generalized 6-orthoplexes have a regular construction as and quasiregular form as . All elements are simplexes.

• 
  Real {3,3,3,3,4}, , with 12 vertices, 60 edges, 160 faces, 240 cells, 192 4-faces, and 64 5-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₃, , with 18 vertices, 135 edges, 540 faces, 1215 cells, 1458 4-faces, and 729 5-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₄, , with 24 vertices, 240 edges, 1280 faces, 3840 cells, 6144 4-faces, and 4096 5-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₅, , with 30 vertices, 375 edges, 2500 faces, 9375 cells, 18750 4-faces, and 15625 5-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₆, , with 36 vertices, 540 edges, 4320 faces, 19440 cells, 46656 4-faces, and 46656 5-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₇, , with 42 vertices, 735 edges, 6860 faces, 36015 cells, 100842 4-faces, 117649 5-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₈, , with 48 vertices, 960 edges, 10240 faces, 61440 cells, 196608 4-faces, 262144 5-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₉, , with 54 vertices, 1215 edges, 14580 faces, 98415 cells, 354294 4-faces, 531441 5-faces
• 
  ₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂{4}₁₀, , with 60 vertices, 1500 edges, 20000 faces, 150000 cells, 600000 4-faces, 1000000 5-faces

Generalized 6-cubes

Generalized 6-cubes have a regular construction as and prismatic construction as , a product of six p-gonal 1-polytopes. Elements are lower dimensional generalized cubes.

• 
  Real {3,3,3,3,3,4}, , with 64 vertices, 192 edges, 240 faces, 160 cells, 60 4-faces, and 12 5-faces
• 
  ₃{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , with 729 vertices, 1458 edges, 1215 faces, 540 cells, 135 4-faces, and 18 5-faces
• 
  ₄{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , with 4096 vertices, 6144 edges, 3840 faces, 1280 cells, 240 4-faces, and 24 5-faces
• 
  ₅{4}₂{3}₂{3}₂{3}₂{3}₂, , with 15625 vertices, 18750 edges, 9375 faces, 2500 cells, 375 4-faces, and 30 5-faces

Enumeration of regular complex apeirotopes

Coxeter enumerated this list of nonstarry regular complex apeirotopes or honeycombs.^[28]

For each dimension there are 12 apeirotopes symbolized as δ^p,r
_n+1 exists in any dimensions ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, or ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ if p=q=2. Coxeter calls these generalized cubic honeycombs for n>2.^[29]

Each has proportional element counts given as:

k-faces = ${\displaystyle {n \choose k}p^{n-k}r^{k}}$, where ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}$ and n! denotes the factorial of n.

Regular complex 1-polytopes

The only regular complex 1-polytope is _∞{}, or . Its real representation is an apeirogon, {∞}, or .

Regular complex apeirogons

Some subgroups of the apeirogonal Shephard groups

11 complex apeirogons _p{q}_r with edge interiors colored in light blue, and edges around one vertex are colored individually. Vertices are shown as small black squares. Edges are seen as p-sided regular polygons and vertex figures are r-gonal.

A quasiregular apeirogon is a mixture of two regular apeirogons and , seen here with blue and pink edges. has only one color of edges because q is odd, making it a double covering.

Rank 2 complex apeirogons have symmetry _p[q]_r, where 1/p + 2/q + 1/r = 1. Coxeter expresses them as δ^p,r
₂ where q is constrained to satisfy q = 2/(1 – (p + r)/pr).^[30]

There are 8 solutions:

There are two excluded solutions odd q and unequal p and r: ₁₀[5]₂ and ₁₂[3]₄, or and .

A regular complex apeirogon _p{q}_r has p-edges and r-gonal vertex figures. The dual apeirogon of _p{q}_r is _r{q}_p. An apeirogon of the form _p{q}_p is self-dual. Groups of the form _p[2q]₂ have a half symmetry _p[q]_p, so a regular apeirogon is the same as quasiregular .^[31]

Apeirogons can be represented on the Argand plane share four different vertex arrangements. Apeirogons of the form ₂{q}_r have a vertex arrangement as {q/2,p}. The form _p{q}₂ have vertex arrangement as r{p,q/2}. Apeirogons of the form _p{4}_r have vertex arrangements {p,r}.

Including affine nodes, and ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, there are 3 more infinite solutions: _∞[2]_∞, _∞[4]₂, _∞[3]₃, and , , and . The first is an index 2 subgroup of the second. The vertices of these apeirogons exist in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$.

Regular complex apeirohedra

There are 22 regular complex apeirohedra, of the form _p{a}_q{b}_r. 8 are self-dual (p=r and a=b), while 14 exist as dual polytope pairs. Three are entirely real (p=q=r=2).

Coxeter symbolizes 12 of them as δ^p,r
₃ or _p{4}₂{4}_r is the regular form of the product apeirotope δ^p,r
₂ × δ^p,r
₂ or _p{q}_r × _p{q}_r, where q is determined from p and r.

is the same as , as well as , for p,r=2,3,4,6. Also = .^[33]

Regular complex 3-apeirotopes

There are 16 regular complex apeirotopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$. Coxeter expresses 12 of them by δ^p,r
₃ where q is constrained to satisfy q = 2/(1 – (p + r)/pr). These can also be decomposed as product apeirotopes: = . The first case is the ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ cubic honeycomb.

Regular complex 4-apeirotopes

There are 15 regular complex apeirotopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$. Coxeter expresses 12 of them by δ^p,r
₄ where q is constrained to satisfy q = 2/(1 – (p + r)/pr). These can also be decomposed as product apeirotopes: = . The first case is the ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ tesseractic honeycomb. The 16-cell honeycomb and 24-cell honeycomb are real solutions. The last solution is generated has Witting polytope elements.

Regular complex 5-apeirotopes and higher

There are only 12 regular complex apeirotopes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$ or higher,^[35] expressed δ^p,r
_n where q is constrained to satisfy q = 2/(1 – (p + r)/pr). These can also be decomposed a product of n apeirogons: ... = ... . The first case is the real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ hypercube honeycomb.

van Oss polygon

A red square van Oss polygon in the plane of an edge and center of a regular octahedron.

A van Oss polygon is a regular polygon in the plane (real plane ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, or unitary plane ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$) in which both an edge and the centroid of a regular polytope lie, and formed of elements of the polytope. Not all regular polytopes have Van Oss polygons.

For example, the van Oss polygons of a real octahedron are the three squares whose planes pass through its center. In contrast a cube does not have a van Oss polygon because the edge-to-center plane cuts diagonally across two square faces and the two edges of the cube which lie in the plane do not form a polygon.

Infinite honeycombs also have van Oss apeirogons. For example, the real square tiling and triangular tiling have apeirogons {∞} van Oss apeirogons.^[36]

If it exists, the van Oss polygon of regular complex polytope of the form _p{q}_r{s}_t... has p-edges.

Non-regular complex polytopes

Product complex polytopes

Some complex polytopes can be represented as Cartesian products. These product polytopes are not strictly regular since they'll have more than one facet type, but some can represent lower symmetry of regular forms if all the orthogonal polytopes are identical. For example, the product _p{}×_p{} or of two 1-dimensional polytopes is the same as the regular _p{4}₂ or . More general products, like _p{}×_q{} have real representations as the 4-dimensional p-q duoprisms. The dual of a product polytope can be written as a sum _p{}+_q{} and have real representations as the 4-dimensional p-q duopyramid. The _p{}+_p{} can have its symmetry doubled as a regular complex polytope ₂{4}_p or .

Similarly, a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ complex polyhedron can be constructed as a triple product: _p{}×_p{}×_p{} or is the same as the regular generalized cube, _p{4}₂{3}₂ or , as well as product _p{4}₂×_p{} or .^[37]

Quasiregular polygons

A quasiregular polygon is a truncation of a regular polygon. A quasiregular polygon contains alternate edges of the regular polygons and . The quasiregular polygon has p vertices on the p-edges of the regular form.

Quasiregular apeirogons

There are 7 quasiregular complex apeirogons which alternate edges of a regular apeirogon and its regular dual. The vertex arrangements of these apeirogon have real representations with the regular and uniform tilings of the Euclidean plane. The last column for the 6{3}6 apeirogon is not only self-dual, but the dual coincides with itself with overlapping hexagonal edges, thus their quasiregular form also has overlapping hexagonal edges, so it can't be drawn with two alternating colors like the others. The symmetry of the self-dual families can be doubled, so creating an identical geometry as the regular forms: =

Quasiregular polyhedra

Example truncation of 3-generalized octahedron, ₂{3}₂{4}₃, , to its rectified limit, showing outlined-green triangles faces at the start, and blue ₂{4}₃, , vertex figures expanding as new faces.

Like real polytopes, a complex quasiregular polyhedron can be constructed as a rectification (a complete truncation) of a regular polyhedron. Vertices are created mid-edge of the regular polyhedron and faces of the regular polyhedron and its dual are positioned alternating across common edges.

For example, a p-generalized cube, , has p³ vertices, 3p² edges, and 3p p-generalized square faces, while the p-generalized octahedron, , has 3p vertices, 3p² edges and p³ triangular faces. The middle quasiregular form p-generalized cuboctahedron, , has 3p² vertices, 3p³ edges, and 3p+p³ faces.

Also the rectification of the Hessian polyhedron , is , a quasiregular form sharing the geometry of the regular complex polyhedron .

Other complex polytopes with unitary reflections of period two

Other nonregular complex polytopes can be constructed within unitary reflection groups that don't make linear Coxeter graphs. In Coxeter diagrams with loops Coxeter marks a special period interior, like or symbol (1₁ 1 1)³, and group [1 1 1]³.^[38][39] These complex polytopes have not been systematically explored beyond a few cases.

The group is defined by 3 unitary reflections, R₁, R₂, R₃, all order 2: R₁² = R₁² = R₃² = (R₁R₂)³ = (R₂R₃)³ = (R₃R₁)³ = (R₁R₂R₃R₁)^p = 1. The period p can be seen as a double rotation in real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

As with all Wythoff constructions, polytopes generated by reflections, the number of vertices of a single-ringed Coxeter diagram polytope is equal to the order of the group divided by the order of the subgroup where the ringed node is removed. For example, a real cube has Coxeter diagram , with octahedral symmetry order 48, and subgroup dihedral symmetry order 6, so the number of vertices of a cube is 48/6=8. Facets are constructed by removing one node furthest from the ringed node, for example for the cube. Vertex figures are generated by removing a ringed node and ringing one or more connected nodes, and for the cube.

Coxeter represents these groups by the following symbols. Some groups have the same order, but a different structure, defining the same vertex arrangement in complex polytopes, but different edges and higher elements, like and with p≠3.^[40]

Coxeter calls some of these complex polyhedra almost regular because they have regular facets and vertex figures. The first is a lower symmetry form of the generalized cross-polytope in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$. The second is a fractional generalized cube, reducing p-edges into single vertices leaving ordinary 2-edges. Three of them are related to the finite regular skew polyhedron in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.

Coxeter defines other groups with anti-unitary constructions, for example these three. The first was discovered and drawn by Peter McMullen in 1966.^[42]

Visualizations

• 
  (1 1 1₁⁴)⁴, has 42 vertices, 168 edges and 112 triangular faces, seen in this 14-gonal projection.
• 
  (1⁴ 1⁴ 1₁)⁽³⁾, has 56 vertices, 168 edges and 84 square faces, seen in this 14-gonal projection.
• 
  (1 1 2₂)⁴, has 80 vertices, 640 edges, 1280 triangular faces and 640 tetrahedral cells, seen in this 20-gonal projection.^[43]

See also

• Quaternionic polytope

Notes

1. Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. The sign representation for Shephard groups. Mathematische Annalen. March 2002, Volume 322, Issue 3, pp 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
2. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 115
3. Coxeter, Regular Complex Polytopes, 11.3 Petrie Polygon, a simple h-gon formed by the orbit of the flag (O₀,O₀O₁) for the product of the two generating reflections of any nonstarry regular complex polygon, p₁{q}p₂.
4. Complex Regular Polytopes,11.1 Regular complex polygons p.103
5. Shephard, 1952; "It is from considerations such as these that we derive the notion of the interior of a polytope, and it will be seen that in unitary space where the numbers cannot be so ordered such a concept of interior is impossible. [Para break] Hence ... we have to consider unitary polytopes as configurations."
6. Coxeter, Regular Complex polytopes, p. 96
7. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. xiv
8. Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 177, Table III
9. Lehrer & Taylor 2009, p. 87
10. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table IV. The regular polygons. pp. 178–179
11. Complex Polytopes, 8.9 The Two-Dimensional Case, p. 88
12. Regular Complex Polytopes, Coxeter, pp. 177-179
13. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
14. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 109
15. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 111
16. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 30 diagram and p. 47 indices for 8 3-edges
17. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 110
18. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 48
19. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 49
20. Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 116–140.
21. Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 118–119.
22. Complex Regular Polytopes, p.29
23. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table V. The nonstarry regular polyhedra and 4-polytopes. p. 180.
24. Coxeter, Kaleidoscopes — Selected Writings of H.S.M. Coxeter, Paper 25 Surprising relationships among unitary reflection groups, p. 431.
25. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 131
26. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 126
27. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 125
28. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table VI. The regular honeycombs. p. 180.
29. Complex regular polytope, p.174
30. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table VI. The regular honeycombs. p. 111, 136.
31. Coxeter, Regular Complex Polytopes, Table IV. The regular polygons. pp. 178–179
32. Coxeter, Politopos complejos regulares, 11.6 Apeirogons, págs. 111-112
33. Coxeter, Politopos regulares complejos, p.140
34. Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 139-140
35. Politopos regulares complejos, p.146
36. Politopos regulares complejos, p.141
37. Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 118-119, 138.
38. Coxeter, Politopos complejos regulares, Capítulo 14, Politopos casi regulares , págs. 156-174.
39. Coxeter, Grupos generados por reflexiones unitarias del período dos , 1956
40. Coxeter , Grupos finitos generados por reflexiones unitarias , 1966, 4. La notación gráfica , Tabla de grupos n -dimensionales generados por n reflexiones unitarias. pp. 422-423
41. Coxeter, Grupos generados por reflexiones unitarias del período dos (1956), Tabla III: Algunos politopos complejos, p.413
42. Coxeter, Complex Regular Polytopes, (1991), 14.6 Dos poliedros de McMullen con 84 caras cuadradas, pp.166-171
43. Coxeter, Politopos regulares complejos, págs. 172-173

Referencias

• Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), esp pp 67–80.
• Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,
• Shephard, GC; Politopos complejos regulares , Proc. London Math. Soc. Serie 3, vol. 2, (1952), págs. 82–97.
• GC Shephard , JA Todd, Grupos de reflexión unitaria finitos , Revista canadiense de matemáticas. 6(1954), 274-304, doi :10.4153/CJM-1954-028-3
• Gustav I. Lehrer y Donald E. Taylor, Unitary Reflection Groups , Cambridge University Press, 2009

Lectura adicional

• F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson y Asia Ivić Weiss, editores: Kaleidoscopes — Selected Writings of HSM Coxeter. , Documento 25, Grupos finitos generados por reflexiones unitarias , pág. 415-425, John Wiley, 1995, ISBN 0-471-01003-0 
• McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0Capítulo 9 Grupos unitarios y formas hermíticas , págs. 289–298