En geometría , un politopo cruzado , [1] hiperoctaedro , ortoplex , [2] o cocubo es un politopo regular y convexo que existe en el espacio euclidiano de n dimensiones . Un politopo cruzado bidimensional es un cuadrado, un politopo cruzado tridimensional es un octaedro regular y un politopo cruzado de 4 dimensiones es un politopo cruzado de 16 celdas . Sus facetas son símplex de la dimensión anterior, mientras que la figura del vértice del politopo cruzado es otro politopo cruzado de la dimensión anterior.
Los vértices de un politopo cruzado se pueden elegir como vectores unitarios que apuntan a lo largo de cada eje de coordenadas, es decir, todas las permutaciones de (±1, 0, 0, ..., 0) . El politopo cruzado es la cáscara convexa de sus vértices. El politopo cruzado de n dimensiones también se puede definir como la bola unitaria cerrada (o, según algunos autores, su límite) en la norma ℓ 1 en R n :
En 1 dimensión, el politopo cruzado es simplemente el segmento de línea [−1, +1], en 2 dimensiones es un cuadrado (o diamante) con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En 3 dimensiones es un octaedro , uno de los cinco poliedros regulares convexos conocidos como sólidos platónicos . Esto se puede generalizar a dimensiones superiores con un n -ortoplex construido como una bipirámide con una base ( n -1) -ortoplex.
El politopo cruzado es el politopo dual del hipercubo . El esqueleto unidimensional de un politopo cruzado de n dimensiones es el gráfico de Turán T (2 n , n ) (también conocido como gráfico de cóctel [3] ).
El politopo cruzado de 4 dimensiones también recibe el nombre de hexadecachoron o 16 celdas . Es uno de los seis 4 politopos regulares convexos . Estos 4 politopos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.
La familia de politopos cruzados es una de las tres familias de politopos regulares , etiquetadas por Coxeter como β n , las otras dos son la familia de hipercubos , etiquetada como γ n , y la familia simplex , etiquetada como α n . Una cuarta familia, las infinitas teselaciones de hipercubos , la denominó δ n . [4]
El politopo cruzado de n -dimensional tiene 2 n vértices y 2 n facetas (( n − 1) componentes dimensionales), todas las cuales son ( n − 1 ) simples . Las figuras de vértice son todas ( norte - 1 ) -politopos cruzados. El símbolo de Schläfli del politopo cruzado es {3,3,...,3,4}.
El ángulo diédrico del politopo cruzado de n dimensiones es . Esto da: δ 2 = arccos(0/2) = 90°, δ 3 = arccos(−1/3) = 109,47°, δ 4 = arccos(−2/4) = 120°, δ 5 = arccos(− 3/5) = 126,87°, ... δ ∞ = arccos(−1) = 180°.
El hipervolumen del politopo cruzado de n dimensiones es
Para cada par de vértices no opuestos, hay una arista que los une. De manera más general, cada conjunto de k + 1 vértices ortogonales corresponde a un componente k -dimensional distinto que los contiene. El número de componentes k -dimensionales (vértices, aristas, caras, ..., facetas) en un politopo cruzado n -dimensional viene dado por (ver coeficiente binomial ):
El vector f extendido para un n -ortoplex se puede calcular mediante ( 1,2 ) n , como los coeficientes de los productos polinomiales . Por ejemplo, un bloque de 16 celdas es ( 1,2 ) 4 = ( 1,4,4 ) 2 = ( 1,8,24,32,16 ).
Hay muchas proyecciones ortográficas posibles que pueden mostrar los politopos cruzados como gráficos bidimensionales. Las proyecciones de polígonos de Petrie asignan los puntos a un 2 n -gon regular o polígonos regulares de orden inferior. Una segunda proyección toma el polígono de Petrie de 2( n −1)-gon de la dimensión inferior, visto como una bipirámide , proyectado hacia abajo en el eje, con 2 vértices mapeados en el centro.
Los vértices de un politopo cruzado alineado con el eje están todos a la misma distancia entre sí en la distancia de Manhattan ( norma L 1 ). La conjetura de Kusner establece que este conjunto de puntos 2 d es el conjunto equidistante más grande posible para esta distancia. [6]
Los politopos complejos regulares se pueden definir en el espacio de Hilbert complejo llamado ortoplexos generalizados (o politopos cruzados), βpn
_= 2 {3} 2 {3}... 2 {4} p , o
..
. Existen soluciones reales con p = 2, es decir β2
norte= β n = 2 {3} 2 {3}.... 2 {4} 2 = {3,3,...,4}. Para p > 2, existen en . Un p -n -ortoplex generalizado tiene pn vértices. Los ortoplex generalizados tienen como facetas simples regulares (reales) . [7] Los ortoplex generalizados forman gráficos multipartitos completos , βpágina
2haga K p , p para gráfico bipartito completo , βpágina
3haga K p , p , p para gráficos tripartitos completos. bpn
_crea K p norte . Se puede definir una proyección ortogonal que mapee todos los vértices equidistantes en un círculo, con todos los pares de vértices conectados, excepto los múltiplos de n . El perímetro del polígono regular en estas proyecciones ortogonales se llama polígono de Petrie .
Los politopos cruzados se pueden combinar con sus cubos duales para formar politopos compuestos:
