En matemáticas , un conjunto equidistante (también llamado conjunto medio o bisectriz ) es un conjunto cuyos elementos tienen la misma distancia (medida utilizando alguna función de distancia apropiada ) de dos o más conjuntos. El conjunto equidistante de dos conjuntos singleton en el plano euclidiano es la bisectriz perpendicular del segmento que une los dos conjuntos. Las secciones cónicas también pueden realizarse como conjuntos equidistantes. Esta propiedad de las cónicas se ha utilizado para generalizar la noción de secciones cónicas. [1] El concepto de conjunto equidistante se utiliza para definir fronteras en controversias de dominio territorial. Por ejemplo, la Convención de las Naciones Unidas sobre el Derecho del Mar (Artículo 15) establece que, en ausencia de cualquier acuerdo previo, la delimitación del mar territorial entre países ocurre exactamente en la línea media cada uno de cuyos puntos es equidistante de los puntos más cercanos a cada país. [1] Aunque el uso de la terminología es bastante antiguo, el estudio de las propiedades de los conjuntos equidistantes como objetos matemáticos se inició recién en la década de 1970. [1] [2]
Sea ( X , d ) un espacio métrico y A un subconjunto no vacío de X . Si x es un punto de X , la distancia de x a A se define como d ( x , A ) = inf { d ( x , a ): a en A }. Si A y B son ambos subconjuntos no vacíos de X entonces el conjunto equidistante determinado por A y B se define como el conjunto { x en X : d ( x , A ) = d ( x , B )}. Este conjunto equidistante se denota por { A = B }.
El estudio de conjuntos equidistantes es más interesante en el caso en que el espacio métrico de fondo es el espacio euclidiano. [1]