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n-esqueleto

Este gráfico de hipercubo es el 1-esqueleto del teseracto .

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , el n -esqueleto de un espacio topológico X presentado como un complejo simplicial (resp. complejo CW ) se refiere al subespacio X n que es la unión de los símplices de X (resp. celdas de X ) de dimensiones mn . En otras palabras, dada una definición inductiva de un complejo, el n -esqueleto se obtiene deteniéndose en el n -ésimo paso .

Estos subespacios aumentan con n . El 0-esqueleto es un espacio discreto y el 1-esqueleto un grafo topológico . Los esqueletos de un espacio se utilizan en teoría de obstrucciones , para construir secuencias espectrales mediante filtraciones y, en general, para hacer argumentos inductivos . Son particularmente importantes cuando X tiene dimensión infinita, en el sentido de que los X n no se vuelven constantes cuando n → ∞.

En geometría

En geometría , un k -esqueleto de un n - politopo P (representado funcionalmente como skel k ( P )) consta de todos los elementos i -politópicos de dimensión hasta k . [1]

Por ejemplo:

skel 0 (cubo) = 8 vértices
skel 1 (cubo) = 8 vértices, 12 aristas
skel 2 (cubo) = 8 vértices, 12 aristas, 6 caras cuadradas

Para conjuntos simples

La definición anterior del esqueleto de un complejo simplicial es un caso particular de la noción de esqueleto de un conjunto simplicial . En pocas palabras, un conjunto simplicial puede describirse mediante una colección de conjuntos , junto con funciones de caras y degeneraciones entre ellos que satisfacen un número de ecuaciones. La idea del n -esqueleto es descartar primero los conjuntos con y luego completar la colección de los con hasta el conjunto simplicial "más pequeño posible" de modo que el conjunto simplicial resultante no contenga símplices no degenerados en grados .

Más precisamente, el funtor de restricción

tiene un adjunto izquierdo, denotado . [2] (Las notaciones son comparables con las de los funtores de imagen para haces ). El n -esqueleto de algún conjunto simplicial se define como

Coesqueleto

Además, tiene un adjunto derecho . El n -cosesqueleto se define como

Por ejemplo, el 0-esqueleto de K es el conjunto simplicial constante definido por . El 0-cosqueleto está dado por el nervio de Cech.

(Los morfismos de límite y degeneración se dan mediante varias proyecciones e incrustaciones diagonales, respectivamente).

Las construcciones anteriores funcionan también para categorías más generales (en lugar de conjuntos), siempre que la categoría tenga productos de fibra . El coesqueleto es necesario para definir el concepto de hipercubrimiento en álgebra homotópica y geometría algebraica . [3]

Referencias

  1. ^ Peter McMullen , Egon Schulte , Resumen de politopos regulares, Cambridge University Press, 2002. ISBN  0-521-81496-0 (página 29)
  2. ^ Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Teoría de la homotopía simplicial , Progress in Mathematics, vol. 174, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1, sección IV.3.2
  3. ^ Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969), Homotopía étale , Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag

Enlaces externos