En matemáticas , especialmente en la teoría de haces , un dominio aplicado en áreas como la topología , la lógica y la geometría algebraica , existen cuatro functores de imágenes para haces que van juntos en varios sentidos.
Dado un mapeo continuo f : X → Y de espacios topológicos y la categoría Sh(–) de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. Los funtores en cuestión son
El signo de exclamación a menudo se pronuncia " shriek " (jerga para signo de exclamación), y los mapas se llaman " f shriek" o " f lower shriek" y " f Upper shriek"; consulte también el mapa de shriek .
La imagen inversa excepcional generalmente se define únicamente en el nivel de categorías derivadas . Se aplican consideraciones similares a las gavillas étale en los esquemas .
Los functores son adjuntos entre sí como se muestra a la derecha, donde, como de costumbre, significa que F es adjunto izquierdo a G (equivalentemente G adjunto derecho a F ), es decir
para dos objetos cualesquiera A , B en las dos categorías está junto a F y G.
Por ejemplo, f ∗ es el adjunto izquierdo de f * . Según el razonamiento estándar con relaciones de adjunción, existen morfismos de unidad natural y de unidad y para en Y y en X , respectivamente. Sin embargo, casi nunca se trata de isomorfismos; consulte el ejemplo de localización a continuación.
La dualidad de Verdier proporciona otro vínculo entre ellos: moralmente hablando, intercambia "∗" y "!", es decir, en la sinopsis anterior intercambia functores a lo largo de las diagonales. Por ejemplo, la imagen directa es dual a la imagen directa con soporte compacto. Este fenómeno es estudiado y utilizado en la teoría de las gavillas perversas .
Otra propiedad útil de los functores de imagen es el cambio de base . Dados mapas continuos y , que inducen morfismos y , existe un isomorfismo canónico .
En la situación particular de un subespacio cerrado i : Z ⊂ X y el subconjunto abierto complementario j : U ⊂ X , la situación se simplifica en la medida en que para j ∗ = j ! y yo ! = i ∗ y para cualquier haz F en X , se obtienen secuencias exactas
Sus lecturas duales de Verdier
un triángulo distinguido en la categoría derivada de gavillas en X.
Las relaciones de adjunción leídas en este caso
y