En matemáticas , la imagen directa con soporte compacto (o propio) es un funtor de imagen para haces que extiende el funtor de secciones globales con soporte compacto al entorno relativo. Es una de las seis operaciones de Grothendieck .
Sea f : X → Y una aplicación continua de espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos , y sea Sh(–) la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. La imagen directa con soporte compacto (o propio) es el funtor
que envía un haz F en X al haz f ! ( F ) dado por la fórmula
para cada subconjunto abierto U de Y. Aquí, la noción de una función propia de espacios es inequívoca ya que los espacios en cuestión son localmente compactos de Hausdorff. [1] Esto define f ! ( F ) como un subhaz del haz de imagen directa f ∗ ( F ), y la funcionalidad de esta construcción se sigue entonces de las propiedades básicas del soporte y la definición de haces.
La suposición de que los espacios son Hausdorff localmente compactos se impone en la mayoría de las fuentes (por ejemplo, Iversen o Kashiwara–Schapira). En un grado ligeramente mayor de generalidad, Olaf Schnürer y Wolfgang Soergel han introducido la noción de una función de espacios "localmente propia" y han demostrado que el funtor de imagen directa con soporte compacto sigue teniendo un buen comportamiento cuando se define para funciones continuas separadas y localmente propias entre espacios arbitrarios. [2]