En la teoría de categorías , una disciplina dentro de las matemáticas, el nervio N ( C ) de una pequeña categoría C es un conjunto simplicial construido a partir de los objetos y morfismos de C . La realización geométrica de este conjunto simplicial es un espacio topológico , llamado espacio clasificatorio de la categoría C . Estos objetos estrechamente relacionados pueden proporcionar información sobre algunas categorías familiares y útiles utilizando la topología algebraica , más a menudo la teoría de homotopía .
El nervio de una categoría se utiliza a menudo para construir versiones topológicas de espacios de módulos . Si X es un objeto de C , su espacio de módulos debería codificar de algún modo todos los objetos isomorfos a X y realizar un seguimiento de los diversos isomorfismos entre todos estos objetos en esa categoría. Esto puede volverse bastante complicado, especialmente si los objetos tienen muchos automorfismos no idénticos. El nervio proporciona una forma combinatoria de organizar estos datos. Dado que los conjuntos simpliciales tienen una buena teoría de homotopía, uno puede hacer preguntas sobre el significado de los diversos grupos de homotopía π n ( N ( C )). Uno espera que las respuestas a tales preguntas proporcionen información interesante sobre la categoría original C , o sobre categorías relacionadas.
La noción de nervio es una generalización directa de la noción clásica de espacio de clasificación de un grupo discreto; véase más abajo para más detalles.
Sea C una categoría pequeña. Hay un 0-símplex de N ( C ) para cada objeto de C . Hay un 1-símplex para cada morfismo f : x → y en C . Ahora supongamos que f : x → y y g : y → z son morfismos en C . Entonces también tenemos su composición gf : x → z .
El diagrama sugiere nuestro curso de acción: añadir un 2-símplice a este triángulo conmutativo. Todo 2-símplice de N ( C ) proviene de un par de morfismos componibles de esta manera. La adición de estos 2-símplices no borra ni descarta de otro modo los morfismos obtenidos por composición, simplemente recuerda que así es como surgen.
En general, N ( C ) k consta de las k -tuplas de morfismos componibles
de C . Para completar la definición de N ( C ) como un conjunto simplicial, también debemos especificar los mapas de caras y degeneración. Estos también nos los proporciona la estructura de C como categoría. Los mapas de caras
se dan por composición de morfismos en el i- ésimo objeto (o eliminando el i- ésimo objeto de la secuencia, cuando i es 0 o k ). [1] Esto significa que d i envía la k -tupla
a la ( k − 1)-tupla
Es decir, la función d i compone los morfismos A i −1 → A i y A i → A i +1 en el morfismo A i −1 → A i +1 , produciendo una ( k − 1)-tupla para cada k -tupla.
De manera similar, los mapas de degeneración
se dan insertando un morfismo identidad en el objeto A i .
Los conjuntos simpliciales también pueden considerarse como funtores Δ op → Set , donde Δ es la categoría de los conjuntos finitos totalmente ordenados y los morfismos que preservan el orden. Todo conjunto parcialmente ordenado P produce una (pequeña) categoría i ( P ) con objetos que son los elementos de P y con un único morfismo de p a q siempre que p ≤ q en P . Obtenemos así un funtor i de la categoría Δ a la categoría de las categorías pequeñas. Ahora podemos describir el nervio de la categoría C como el funtor Δ op → Set
Esta descripción del nervio hace transparente la funtorialidad; por ejemplo, un funtor entre las categorías pequeñas C y D induce una función de conjuntos simpliciales N ( C ) → N ( D ). Además, una transformación natural entre dos de estos funtores induce una homotopía entre las funciones inducidas. Esta observación puede considerarse como el comienzo de uno de los principios de la teoría de categorías superiores . De ello se deduce que los funtores adjuntos inducen equivalencias de homotopía . En particular, si C tiene un objeto inicial o final , su nervio es contráctil.
El ejemplo primordial es el espacio de clasificación de un grupo discreto G . Consideramos a G como una categoría con un objeto cuyos endomorfismos son los elementos de G . Entonces los k -símplices de N ( G ) son simplemente k -tuplas de elementos de G . Las funciones de caras actúan por multiplicación, y las funciones de degeneración actúan por inserción del elemento identidad. Si G es el grupo con dos elementos, entonces hay exactamente un k -símplice no degenerado para cada entero no negativo k , correspondiente a la única k -tupla de elementos de G que no contienen identidades. Después de pasar a la realización geométrica, esta k -tupla puede identificarse con la única k -celda en la estructura CW habitual en el espacio proyectivo real de dimensión infinita . Este último es el modelo más popular para el espacio de clasificación del grupo con dos elementos. Véase (Segal 1968) para más detalles y la relación de lo anterior con la construcción de unión de Milnor de BG .
Todo espacio topológico "razonable" es homeomorfo al espacio clasificatorio de una categoría pequeña. Aquí, "razonable" significa que el espacio en cuestión es la realización geométrica de un conjunto simplicial. Obviamente, esto es una condición necesaria; también es suficiente. En efecto, sea X la realización geométrica de un conjunto simplicial K . El conjunto de símplices en K está parcialmente ordenado, por la relación x ≤ y si y sólo si x es una cara de y . Podemos considerar este conjunto parcialmente ordenado como una categoría con las relaciones como morfismos. El nervio de esta categoría es la subdivisión baricéntrica de K , y por lo tanto su realización es homeomorfa a X , porque X es la realización de K por hipótesis y la subdivisión baricéntrica no cambia el tipo de homeomorfismo de la realización.
Si X es un espacio topológico con cubierta abierta U i , el nervio de la cubierta se obtiene a partir de las definiciones anteriores reemplazando la cubierta con la categoría obtenida al considerar la cubierta como un conjunto parcialmente ordenado con inclusiones de conjuntos como relaciones (y por lo tanto morfismos). Nótese que la realización de este nervio no es generalmente homeomorfa a X (o incluso homotópicamente equivalente): la equivalencia homotópica usualmente se cumplirá solo para una buena cubierta por conjuntos contráctiles que tengan intersecciones contráctiles.
Se puede utilizar la construcción de nervios para recuperar espacios de mapeo, e incluso obtener información "de mayor homotopía" sobre los mapas. Sea D una categoría, y sean X e Y objetos de D . A menudo nos interesa calcular el conjunto de morfismos X → Y . Podemos utilizar una construcción de nervios para recuperar este conjunto. Sea C = C ( X , Y ) la categoría cuyos objetos son diagramas
de modo que los morfismos U → X e Y → V son isomorfismos en D . Los morfismos en C ( X , Y ) son diagramas de la siguiente forma:
Aquí, los mapas indicados deben ser isomorfismos o identidades. El nervio de C ( X , Y ) es el espacio de módulos de los mapas X → Y . En el entorno de categoría de modelo apropiado , este espacio de módulos es homotópicamente débilmente equivalente al conjunto simplicial de morfismos de D de X a Y .
El siguiente teorema se debe a Grothendieck.
Teorema — Un conjunto simplicial es el nervio de una categoría si y sólo si satisface las condiciones de Segal. [2]
Ver también: Espacio Segal .
