En geometría , el poliedro de Hesse es un poliedro complejo regular 3 {3} 3 {3} 3 ,
, en . Tiene 27 vértices, 72 3 {} aristas y 27 3 {3} 3 caras. Es autodual.
Coxeter lo bautizó así en honor a Ludwig Otto Hesse por compartir la configuración hessiana o (9 4 12 3 ), 9 puntos dispuestos de tres en tres sobre doce líneas, con cuatro líneas a través de cada punto. [1]
Su grupo de reflexión complejo es 3 [3] 3 [3] 3 o, orden 648, también llamado grupo hessiano . Tiene 27 copias de, de orden 24, en cada vértice. Tiene 24 reflexiones de orden 3. Su número de Coxeter es 12, con grados de los invariantes fundamentales 3, 6 y 12, que se pueden ver en la simetría proyectiva de los politopos.
El politopo de Witting , 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 ,Contiene el poliedro de Hesse como celdas y figuras de vértice .
Tiene una representación real como el politopo 2 21 ,
, en un espacio de 6 dimensiones, que comparte los mismos 27 vértices. Las 216 aristas de 2 21 se pueden ver como las 72 aristas de 3 {} representadas como 3 aristas simples.
A sus 27 vértices se les pueden dar coordenadas en : para (λ, μ = 0,1,2).
dónde .
Su simetría está dada por 3 [3] 3 [3] 3 o, orden 648. [2]
La matriz de configuración para 3 {3} 3 {3} 3 es: [3]
El número de elementos de la cara k ( vectores f ) se puede leer a lo largo de la diagonal. El número de elementos de cada cara k se encuentra en las filas debajo de la diagonal. El número de elementos de cada figura k se encuentra en las filas sobre la diagonal.
Se trata de 8 proyecciones ortográficas simétricas, algunas con vértices superpuestos, representadas por colores. Aquí, las 72 aristas triangulares se dibujan como 3 aristas separadas.
El poliedro de Hesse puede verse como una alternancia de
,
=
Este poliedro doble de Hesse tiene 54 vértices, 216 aristas simples y 72caras. Sus vértices representan la unión de los vértices.y su dualidad.
Su grupo de reflexión complejo es 3 [3] 3 [4] 2 , o, orden 1296. Tiene 54 ejemplares de, de orden 24, en cada vértice. Tiene 24 reflexiones de orden 3 y 9 reflexiones de orden 2. Su número de Coxeter es 18, con grados de los invariantes fundamentales 6, 12 y 18 que se pueden ver en la simetría proyectiva de los politopos.
Coxeter observó que los tres politopos complejos,,se asemejan al tetraedro real (), cubo (), y octaedro (). El hessiano es análogo al tetraedro, como el cubo es un tetraedro doble , y el octaedro un tetraedro rectificado. En ambos conjuntos los vértices del primero pertenecen a dos pares duales del segundo, y los vértices del tercero están en el centro de las aristas del segundo. [4]
Su representación real 54 vértices están contenidos por dos politopos de 2 21 en configuraciones simétricas:y
Sus vértices también se pueden ver en el politopo dual de 1 22 .
Los elementos se pueden ver en una matriz de configuración :
La rectificación ,se duplica en simetría como un poliedro complejo regularcon 72 vértices, 216 3 {} aristas, 54 3 {3} 3 caras. Su figura de vértice es 3 {4} 2 , y el polígono de van oss 3 {4} 3 . Es dual al poliedro doble de Hesse . [5]
Tiene una representación real como el politopo 1 22 ,, compartiendo los 72 vértices. Sus 216 3-aristas se pueden dibujar como 648 aristas simples, que es 72 menos que las 720 aristas de 1 22 .
Los elementos se pueden ver en dos matrices de configuración , una forma regular y otra cuasirregular.
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&4\\3&12\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ab5ff205bfbd1db47ba3a08a739a44b6236f87)
![{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce8a23cb19a8602ae8bd2f0281a20b2b79aeb8b)