Polígono de Möbius-Kantor

En geometría , el polígono de Möbius-Kantor es un polígono complejo regular ₃ {3} ₃ ,, en . ₃ {3} ₃ tiene 8 vértices y 8 aristas. Es autodual. Cada vértice es compartido por 3 aristas triangulares. ^[1] Coxeter lo denominó polígono de Möbius-Kantor por compartir la estructura de configuración compleja como la configuración de Möbius-Kantor , (8 ₃ ). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Descubierto por GC Shephard en 1952, lo representó como 3(24)3, con su simetría, Coxeter la llamó ₃ [3] ₃ , isomorfo al grupo tetraédrico binario , orden 24.

Coordenadas

Las 8 coordenadas de los vértices de este polígono se pueden dar en , como: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

dónde . ${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$

Como configuración

La matriz de configuración para ₃ {3} ₃ es: ^[3] ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}8&3\\3&8\end{smallmatrix}}\right]}$

Su estructura se puede representar como un hipergrafo , que conecta 8 nodos mediante 8 hiperaristas de 3 conjuntos de nodos.

Representación real

Tiene una representación real como la de 16 celdas ,, en un espacio de 4 dimensiones, que comparte los mismos 8 vértices. Las 24 aristas de las 16 celdas se ven en el polígono de Möbius-Kantor cuando las 8 aristas triangulares se dibujan como 3 aristas separadas. Los triángulos se representan con 2 conjuntos de 4 contornos rojos o azules. Las proyecciones B ₄ se dan en dos orientaciones de simetría diferentes entre los dos conjuntos de colores.

El polígono ₃ {3} ₃ se puede ver en una red poliédrica oblicua regular dentro de un polígono de 16 celdas , con 8 vértices, 24 aristas, 16 de sus 32 caras. Las caras triangulares alternadas de color amarillo, interpretadas como 3 aristas, forman dos copias del polígono ₃ {3} ₃ .

Politopos relacionados

También puede verse como una alternancia de, representado como.tiene 16 vértices y 24 aristas. Un compuesto de dos, en posiciones duales,y, se puede representar como, contiene los 16 vértices de.

El truncamiento, es lo mismo que el polígono regular, ₃ {6} ₂ ,Su diagrama de aristas es el diagrama de Cayley para ₃ [3] ₃ .

El poliedro regular de Hesse ₃ {3} ₃ {3} ₃ ,tiene este polígono como figura de faceta y vértice .

Notas

1. Coxeter y Shephard, 1991, pág. 30 y pág. 47
2. Coxeter y Shephard, 1992
3. Coxeter, Politopos regulares complejos, pág. 117, 132
4. Coxeter, Politopos complejos regulares, pág. 109

Referencias

• Shephard, GC ; Politopos complejos regulares, Proc. London Math. Soc. Serie 3, Vol 2, (1952), págs. 82–97.
• Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), esp pp 67–80.
• Coxeter, HSM ; Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, (1974), segunda edición (1991).
• Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244 [1]