En geometría de 4 dimensiones o más, una pirámide doble , duopirámide o fusil es un politopo formado por 2 politopos ortogonales con aristas que conectan todos los pares de vértices entre los dos. Norman Johnson utiliza el término fusil para designar una forma rómbica . [1] George Olshevsky utilizó el término duopirámide para designar el dual de un duoprisma . [2]
Las formas de menor dimensión son de 4 dimensiones y conectan dos polígonos. Una duopirámide p - q o un fusil p - q , representado por un símbolo compuesto de Schläfli {p} + {q}, y un diagrama de Coxeter-Dynkin 
La pirámide regular de 16 celdas se puede ver como una duopirámide 4-4 o un fusil 4-4,
, simetría [[4,2,4]], orden 128.
Una duopirámide pq o un fusil pq tiene simetría de grupo de Coxeter [ p ,2, q ], orden 4pq. Cuando p y q son idénticos, la simetría en la notación de Coxeter se duplica como [[ p ,2, p ]] o [2 p ,2 + ,2 q ], orden 8 p 2 .
Existen aristas en todos los pares de vértices entre el polígono p y el polígono q . El 1-esqueleto de una duopirámide p - q representa las aristas de cada polígono p y q y el grafo bipartito completo pq entre ellos.
Una duopirámide p - q puede verse como dos polígonos regulares planos de lados p y q con el mismo centro y orientaciones ortogonales en 4 dimensiones. Junto con los bordes p y q de los dos polígonos, todas las permutaciones de vértices en un polígono con vértices en el otro forman bordes. Todas las caras son triangulares, con un borde de un polígono conectado a un vértice del otro polígono. Los polígonos de lados p y q son huecos , pasan por el centro del politopo y no definen caras. Las celdas son tetraedros construidos como todas las permutaciones de pares de bordes entre cada polígono.
Se puede entender por analogía con la relación de los prismas 3D y sus bipirámides duales con el símbolo de Schläfli { } + { p }, y un rombo en 2D como { } + { }. Una bipirámide se puede ver como una duopirámide degenerada en 3D, agregando una arista a través del dígono { } en el eje interno, y agregando triángulos y tetraedros interiores que se intersecan conectando esa nueva arista a los vértices y aristas del p-gono.
Otras policoras no uniformes pueden denominarse duopirámides por la misma construcción, como dos polígonos ortogonales y cocentrados, conectados por aristas con todas las combinaciones de pares de vértices entre los polígonos. La simetría será el producto de la simetría de los dos polígonos. Por lo tanto, una duopirámide rectángulo-rectángulo sería topológicamente idéntica a la duopirámide uniforme 4-4 , pero con una simetría inferior [2,2,2], de orden 16, posiblemente duplicada a 32 si los dos rectángulos son idénticos.
Las coordenadas de una duopirámide pq (en una esfera unitaria de 3 ) se pueden dar como:
Todos los pares de vértices están conectados por aristas.
Los 2n vértices de una duopirámide nn se pueden proyectar ortogonalmente en dos n-gonos regulares con aristas entre todos los vértices de cada n-gono.
La pirámide regular de 16 celdas puede verse como una duopirámide 4-4 , que es dual del duoprisma 4-4 , que es el teseracto . Como duopirámide 4-4, la simetría de la pirámide de 16 celdas es [4,2,4], orden 64, y duplicada a [[4,2,4]], orden 128 con los 2 cuadrados centrales intercambiables. La pirámide regular de 16 celdas tiene una simetría mayor [3,3,4], orden 384.
