paquete universal

En matemáticas , el paquete universal en la teoría de los haces de fibras con un grupo estructural dado un grupo topológico $G$ , es un paquete específico sobre un espacio de clasificación $BG$ , de modo que cada paquete con el grupo estructural dado $G$ sobre $M$ es un retroceso por medio de un mapa continuo $M \to BG$ .

Existencia de un paquete universal

En la categoría de complejo CW

Cuando la definición del espacio de clasificación tiene lugar dentro de la categoría de homotopía de los complejos CW , los teoremas de existencia para paquetes universales surgen del teorema de representabilidad de Brown .

Para grupos compactos de Lie

Primero probaremos:

Proposición. Sea

G

un grupo de Lie compacto . Existe un espacio contráctil

EG

sobre el cual

G

actúa libremente. La proyección

EG \to BG

es un haz de fibras principales

G.

Prueba. Existe una inyección de $G$ en un grupo unitario $U (n)$ para $n$ suficientemente grande. ^[1] Si encontramos $EU (n),$ entonces podemos considerar $que EG$ es $EU (n)$ . La construcción de $EU (n)$ se da en el espacio de clasificación para $U (n)$ .

El siguiente teorema es un corolario de la proposición anterior.

Teorema. Si

M

es una variedad paracompacta y

P \to M

es un paquete G

principal , entonces existe un mapa

f

:

M

\to

BG

, único hasta la homotopía, tal que

P

es isomorfo a

f

*

(

EG

)

, el retroceso de el paquete

G

EG

\to

BG

por

f

Prueba. Por un lado, el retroceso del paquete $π : EG \to BG$ por la proyección natural $P \times G EG \to BG$ es el paquete $P \times EG$ . Por otro lado, el retroceso del paquete $G principal$ $P \to M$ por la proyección $p : P \times G EG \to M$ también es $P \times EG$

{\begin{array}{rcccl}P&\to &P\times EG&\to &EG\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \pi \\M&\to _{\!\!\!\!\ !\!\!s}&P\times _{G}EG&\to &BG\end{array}}

Dado que $p$ es una fibración con fibra contráctil $EG$ , existen secciones de $p$ . ^[2] A dicha sección $s$ asociamos la composición con la proyección $P \times G EG \to BG$ . El mapa que obtenemos es el $que$ estábamos buscando.

Para la unicidad hasta la homotopía, observe que existe una correspondencia uno a uno entre los mapas $f$ $:$ $M$ $\to$ $BG$ tal que $f$ $*$ $($ $EG$ $) \to$ $M$ es isomorfo a $P$ $\to$ $M$ y secciones de $p$ . Acabamos de ver cómo asociar una $f$ a una sección. Inversamente, supongamos que se da $f$ . Sea $Φ :$ $f$ $*$ $($ $EG$ $) \to$ $P$ un isomorfismo:

\Phi :\left\{(x,u)\in M\times EG\ :\ f(x)=\pi (u)\right\}\to P

Ahora, simplemente define una sección por

{\begin{cases}M\to P\times _{G}EG\\x\mapsto \lbrack \Phi (x,u),u\rbrack \end{cases}}

Como todas las secciones de $p$ son homotópicas, la clase de homotopía de $f$ es única.

Uso en el estudio de acciones grupales.

El espacio total de un paquete universal generalmente se escribe $EG$ . Estos espacios son interesantes por derecho propio, a pesar de que suelen ser contraíbles . Por ejemplo, al definir el cociente de homotopía o el espacio orbital de homotopía de una acción grupal de $G$ , en los casos en que el espacio orbital sea patológico (en el sentido de ser un espacio no de Hausdorff , por ejemplo). La idea, si $G$ actúa sobre el espacio $X$ , es considerar en cambio la acción sobre $Y = X \times EG$ , y el cociente correspondiente. Consulte cohomología equivariante para una discusión más detallada.

Si $EG$ es contráctil entonces $X$ e $Y$ son espacios equivalentes de homotopía . Pero la acción diagonal sobre $Y$ , es decir, donde $G$ actúa sobre las coordenadas $X$ y $EG$ , puede comportarse bien cuando la acción sobre $X$ no lo es.

Ejemplos

Clasificación del espacio para U(n)

Ver también

clase negra
Paquete tautológico , un paquete universal para el grupo lineal general.

enlaces externos

Página de PlanetMath con ejemplos de paquetes universales

Notas

^ JJ Duistermaat y JA Kolk, - Lie Groups , Universitext, Springer. Corolario 4.6.5
^ A.~Dold - Particiones de unidad en la teoría de las fibraciones , Annals of Mathematics, vol. 78, nº 2 (1963)