álgebra de mentiras

Estructura algebraica utilizada en el análisis.

En matemáticas , un álgebra de Lie (pronunciada / l iː / LEE ) es un espacio vectorial junto con una operación llamada corchete de Lie , un mapa bilineal alterno , que satisface la identidad de Jacobi . En otras palabras, un álgebra de Lie es un álgebra sobre un campo para el cual la operación de multiplicación (llamada paréntesis de Lie) es alterna y satisface la identidad de Jacobi. El corchete de Lie de dos vectores y se denota como . Un álgebra de Lie suele ser un álgebra no asociativa . Sin embargo, cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie, con el corchete de Lie definido como el conmutador . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Las álgebras de Lie están estrechamente relacionadas con los grupos de Lie , que son grupos que también son variedades suaves : cualquier grupo de Lie da lugar a un álgebra de Lie, que es su espacio tangente en la identidad. (En este caso, el corchete de Lie mide la falla de la conmutatividad para el grupo de Lie). Por el contrario, para cualquier álgebra de Lie de dimensión finita sobre números reales o complejos, existe un grupo de Lie conectado correspondiente único hasta las coberturas ( tercer teorema de Lie). ). Esta correspondencia permite estudiar la estructura y clasificación de los grupos de Lie en términos de álgebras de Lie.

En física, los grupos de Lie aparecen como grupos de simetría de sistemas físicos, y sus álgebras de Lie (vectores tangentes cerca de la identidad) pueden considerarse movimientos de simetría infinitesimales. Así, las álgebras de Lie y sus representaciones se utilizan ampliamente en física, especialmente en mecánica cuántica y física de partículas.

Un ejemplo elemental (que no proviene directamente de un álgebra asociativa) es el espacio de vectores tridimensionales con la operación entre corchetes de Lie definida por el producto cruzado . Esto es simétrico sesgado ya que , y en lugar de asociatividad, satisface la identidad de Jacobi: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle [x,y]=x\times y.}$ ${\displaystyle x\times y=-y\times x}$

${\displaystyle x\times (y\times z)\ =\ (x\times y)\times z\ +\ y\times (x\times z).}$

Esta es el álgebra de Lie del grupo de Lie de rotaciones del espacio , y cada vector puede representarse como una rotación infinitesimal alrededor del eje , con una velocidad igual a la magnitud de . El corchete de Lie es una medida de la no conmutatividad entre dos rotaciones: dado que una rotación conmuta consigo misma, una tiene la propiedad de alternancia . ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle [x,x]=x\times x=0}$

Historia

Las álgebras de Lie fueron introducidas para estudiar el concepto de transformaciones infinitesimales por Marius Sophus Lie en la década de 1870, ^[1] y descubiertas de forma independiente por Wilhelm Killing ^[2] en la década de 1880. El nombre de álgebra de Lie fue dado por Hermann Weyl en la década de 1930; en textos más antiguos se utiliza el término grupo infinitesimal .

Definiciones

Definición de álgebra de mentira

Un álgebra de Lie es un espacio vectorial sobre algún campo junto con una operación binaria llamada corchete de Lie que satisface los siguientes axiomas: ^[a] ${\displaystyle \,{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

• bilinealidad ,

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],}$

${\displaystyle [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

para todos los escalares , in y todos los elementos , , in . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Alternatividad ,

${\displaystyle [x,x]=0\ }$

para todos dentro . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• La identidad Jacobi ,

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\ }$

para todos , , en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El uso de la bilinealidad para expandir el corchete de Lie y el uso de la alternatividad muestra que para todos los elementos , en , muestra que la bilinealidad y la alternatividad juntas implican ${\displaystyle [x+y,x+y]}$ ${\displaystyle [x,y]+[y,x]=0\ }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Anticonmutatividad ,

${\displaystyle [x,y]=-[y,x],\ }$

para todos los elementos , en . Si la característica del campo no es 2 entonces la anticonmutatividad implica alternatividad, ya que implica ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,x]=-[x,x].}$

Es habitual denotar un álgebra de Lie con una letra fraktur minúscula como, por ejemplo . Si un álgebra de Lie está asociada con un grupo de Lie , entonces el álgebra se denota por la versión fraktur del grupo: por ejemplo, el álgebra de Lie de SU( n ) es . ${\displaystyle {\mathfrak {g,h,b,n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

Generadores y dimensión.

Se dice que los elementos de un álgebra de Lie la generan si la subálgebra más pequeña que contiene estos elementos es ella misma. La dimensión de un álgebra de Lie es su dimensión como espacio vectorial sobre . La cardinalidad de un conjunto generador mínimo de un álgebra de Lie es siempre menor o igual a su dimensión. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F}$

Consulte la clasificación de álgebras de Lie reales de baja dimensión para ver otros pequeños ejemplos.

Subálgebras, ideales y homomorfismos.

No es necesario que el corchete de Lie sea asociativo , lo que significa que no es necesario que sea igual . No obstante, gran parte de la terminología de anillos y álgebras asociativos tiene analogías con las álgebras de Lie. Una subálgebra de Lie es un subespacio lineal que está cerrado bajo el corchete de Lie. Un ideal es una subálgebra que satisface la condición más fuerte: ^[4] ${\displaystyle [[x,y],z]}$ ${\displaystyle [x,[y,z]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

Un homomorfismo de álgebra de Lie es un mapa lineal compatible con los respectivos corchetes de Lie:

${\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

En cuanto a los anillos asociativos, los ideales son precisamente el núcleo de los homomorfismos; dada un álgebra de Lie y un ideal en ella, se construye el álgebra de factores o álgebra de cocientes , y el primer teorema de isomorfismo es válido para las álgebras de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$

Dado que el corchete de Lie es una especie de conmutador infinitesimal del grupo de Lie correspondiente, se dice que dos elementos conmutan si su corchete desaparece: . ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,y]=0}$

La subálgebra centralizadora de un subconjunto es el conjunto de elementos que conmutan con : es decir, . El centralizador de sí mismo es el centro . De manera similar, para un subespacio S , la subálgebra normalizadora de es . ^[5] De manera equivalente, si es una subálgebra de Lie, es la subálgebra más grande que es un ideal de . ${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$

Ejemplos

Para , el conmutador de dos elementos y : ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2)}$ ${\displaystyle g\in {\mathfrak {gl}}(2)}$ ${\displaystyle d\in {\mathfrak {d}}(2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(y-x)\\c(x-y)&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

muestra es una subálgebra, pero no un ideal. De hecho, cada subespacio lineal unidimensional de un álgebra de Lie tiene una estructura de álgebra de Lie abeliana inducida, que generalmente no es ideal. Para cualquier álgebra de Lie simple, todas las álgebras de Lie abelianas nunca pueden ser ideales. ${\displaystyle {\mathfrak {d}}(2)}$

Suma directa y producto semidirecto

Para dos álgebras de Lie y , su suma directa álgebra de Lie es el espacio vectorial que consta de todos los pares , con la operación ${\displaystyle {\mathfrak {g^{}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g'}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),}$

para que las copias de conmuten entre sí: ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}'}$ ${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

Sea un álgebra de Lie y un ideal de . Si el mapa canónico se divide (es decir, admite una sección), entonces se dice que es un producto semidirecto de y , . Véase también suma semidirecta de álgebras de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$

El teorema de Levi dice que un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero es un producto semidirecto de su subálgebra radical y complementaria ( subálgebra de Levi ).

Derivaciones

Para un álgebra A sobre un campo F , una derivación de A es una aplicación lineal que satisface la regla de Leibniz ${\displaystyle D\colon A\to A}$

${\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)}$

para todos . (La definición tiene sentido para un álgebra posiblemente no asociativa ). Dadas dos derivaciones y , su conmutador es nuevamente una derivación. Esta operación convierte el espacio de todas las derivaciones de A sobre F en un álgebra de Lie. ^[6] ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$

Hablando informalmente, el espacio de derivaciones de A es el álgebra de Lie del grupo de automorfismos de A. (Esto es literalmente cierto cuando el grupo de automorfismos es un grupo de Lie, por ejemplo, cuando F son los números reales y A tiene una dimensión finita como espacio vectorial). Por esta razón, los espacios de derivaciones son una forma muy natural de construir álgebras de Lie: son los "automorfismos infinitesimales" de A. De hecho, escribir la condición de que

${\displaystyle (1+\epsilon D)(xy)=(1+\epsilon D)(x)\cdot (1+\epsilon D)(y){\pmod {\epsilon ^{2}}}}$

(donde 1 denota el mapa de identidad en A ) da exactamente la definición de que D es una derivación.

Ejemplo: el álgebra de Lie de campos vectoriales. Sea A el anillo de funciones suaves en una variedad suave X. Entonces una derivación de A sobre R es equivalente a un campo vectorial en X. (Un campo vectorial v proporciona una derivación del espacio de funciones suaves al diferenciar funciones en la dirección de v ). Esto convierte el espacio de campos vectoriales en un álgebra de Lie (consulte Corchete de Lie de campos vectoriales ). ^[7] Hablando informalmente, es el álgebra de Lie del grupo de difeomorfismos de X. Entonces, el corchete de Lie de campos vectoriales describe la no conmutatividad del grupo de difeomorfismo. Una acción de un grupo de Lie G sobre una variedad X determina un homomorfismo de las álgebras de Lie . ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}$

Un álgebra de Lie puede verse como un álgebra no asociativa, por lo que cada álgebra de Lie sobre un campo F determina su álgebra de derivaciones de Lie . Es decir, una derivación de es un mapa lineal tal que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]}$.

La derivación interna asociada a cualquiera es el mapeo adjunto definido por . (Esta es una derivación como consecuencia de la identidad de Jacobi). Eso da un homomorfismo de las álgebras de Lie ,. La imagen es un ideal en , y el álgebra de Lie de derivaciones externas se define como el álgebra de Lie del cociente, . (Esto es exactamente análogo al grupo de automorfismo externo de un grupo). Para un álgebra de Lie semisimple sobre un campo de característica cero, cada derivación es interna. ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$

Ejemplos

Por ejemplo, dado un ideal de álgebra de Lie, la representación adjunta de actos como derivaciones externas en since for any y . Para el álgebra de Lie de matrices triangulares superiores en , tiene un ideal de matrices triangulares estrictamente superiores (donde los únicos elementos distintos de cero están por encima de la diagonal de la matriz). Por ejemplo, el conmutador de elementos en y da ${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle [x,i]\subset {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle i\in {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]&={\begin{bmatrix}0&ax&ay+bz\\0&0&dz\\0&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&dx&ex+yf\\0&0&fz\\0&0&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&(a-d)x&(a-f)y-ex+bz\\0&0&(d-f)z\\0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

muestra que existen derivaciones externas de in . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{3}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})}$

Álgebra de mentira dividida

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F , el álgebra de Lie de transformaciones lineales y una subálgebra de Lie. Entonces se dice que está dividido si las raíces de los polinomios característicos de todas las transformaciones lineales en están en el campo base F. ^[8] De manera más general, se dice que un álgebra de Lie de dimensión finita está dividida si tiene una subálgebra de Cartan cuya imagen bajo la representación adjunta es un álgebra de Lie dividida. Una forma real dividida de un álgebra de Lie semisimple compleja (cf. #Forma real y complexificación) es un ejemplo de álgebra de Lie real dividida. Consulte también álgebra de Lie dividida para obtener más información. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

Base del espacio vectorial

Para cálculos prácticos, suele ser conveniente elegir una base de espacio vectorial explícita para el álgebra. Una construcción común para esta base se esboza en las constantes de estructura del artículo .

Definición utilizando notación teórica de categorías

Aunque las definiciones anteriores son suficientes para una comprensión convencional de las álgebras de Lie, una vez que se entiende esto, se puede obtener información adicional utilizando la notación común a la teoría de categorías , es decir, definiendo un álgebra de Lie en términos de aplicaciones lineales , es decir, morfismos. de la categoría de espacios vectoriales —sin considerar elementos individuales. (En esta sección, se supone que el campo sobre el cual se define el álgebra tiene una característica diferente de dos.)

Para la definición teórica de categorías de las álgebras de Lie, se necesitan dos isomorfismos trenzados . Si A es un espacio vectorial, el isomorfismo de intercambio se define por ${\displaystyle \tau :A\otimes A\to A\otimes A}$

${\displaystyle \tau (x\otimes y)=y\otimes x.}$

El trenzado de permutación cíclica se define como ${\displaystyle \sigma :A\otimes A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$

${\displaystyle \sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id} ),}$

¿ Dónde está el morfismo de identidad? De manera equivalente, se define por ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.}$

Con esta notación, se puede definir un álgebra de Lie como un objeto en la categoría de espacios vectoriales junto con un morfismo. ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\rightarrow A}$

que satisface las dos igualdades de morfismo

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,}$

y

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes \mathrm {id} )\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.}$

Ejemplos

Espacios vectoriales

Cualquier espacio vectorial dotado del corchete de Lie idénticamente cero se convierte en un álgebra de Lie. Estas álgebras de Lie se denominan abelianas , cf. abajo. Cualquier álgebra de Lie unidimensional sobre un campo de característica diferente de 2 es abeliano, por la propiedad alterna del corchete de Lie. ${\displaystyle V}$

Álgebra asociativa con soporte conmutador

• En un álgebra asociativa sobre un campo con multiplicación , el conmutador puede definir un corchete de Lie . Con este paréntesis, se trata de un álgebra de Lie. ^[9] El álgebra asociativa A se denomina álgebra envolvente del álgebra de Lie . Cada álgebra de Lie puede integrarse en una que surja de un álgebra asociativa de esta manera; ver álgebra envolvente universal . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,[\,\cdot \,,\cdot \,])}$
• Se denota el álgebra asociativa de los endomorfismos de un espacio vectorial F con el corchete de Lie anterior . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$
• Para un espacio vectorial de dimensión finita , el ejemplo anterior es exactamente el álgebra de Lie de matrices n × n , denotado o , ^[10] y con corchetes donde la adyacencia indica la multiplicación de matrices. Esta es el álgebra de Lie del grupo lineal general , que consta de matrices invertibles. ${\displaystyle V=F^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Matrices especiales

Dos subálgebras importantes de son: ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$

• Las matrices de traza cero forman el álgebra de Lie lineal especial , el álgebra de Lie del grupo lineal especial . ^[11] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(F)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(F)}$
• Las matrices sesgadas-hermitianas forman el álgebra de Lie unitaria , el álgebra de Lie del grupo unitario U ( n ). ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ 

Álgebras de mentira matricial

Un grupo de matrices complejo es un grupo de Lie que consta de matrices, donde la multiplicación de G es una multiplicación de matrices. El álgebra de Lie correspondiente es el espacio de matrices que son vectores tangentes a G dentro del espacio lineal : consiste en derivadas de curvas suaves en G en la identidad: ${\displaystyle G\subset M_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {C} )\ \mid \ {\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.}$

El corchete de Lie está dado por el conmutador de matrices, . Dada el álgebra de Lie, se puede recuperar el grupo de Lie como la imagen del mapeo exponencial matricial definido por , que converge para cada matriz : es decir, . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G=\exp({\mathfrak {g}})}$

Los siguientes son ejemplos de álgebras de Lie de grupos matriciales de Lie: ^[12]

• El grupo lineal especial , que consta de todas las matrices n  ×  n con determinante 1. Su álgebra de Lie consta de todas las matrices n  ×  n con entradas complejas y traza 0. De manera similar, se puede definir el grupo de Lie real correspondiente y su álgebra de Lie . ${\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$
• El grupo unitario consta de n  ×  n matrices unitarias (satisfactorias ). Su álgebra de Lie consta de matrices autoadjuntas sesgadas ( ). ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ ${\displaystyle X^{*}=-X}$
• El grupo ortogonal especial , que consta de matrices ortogonales de determinante uno real ( ). Su álgebra de Lie consta de matrices simétricas sesgadas reales ( ). El grupo ortogonal completo , sin la condición del determinante uno, consta de un componente conectado separado, por lo que tiene el mismo álgebra de Lie que . Véase también rotaciones infinitesimales con matrices simétricas sesgadas . De manera similar, se puede definir una versión compleja de este grupo y álgebra, simplemente permitiendo entradas matriciales complejas. ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ ${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

Dos dimensiones

• En cualquier campo existe, hasta el isomorfismo, una única álgebra de Lie nobeliana bidimensional. Con los generadores x, y, su paréntesis se define como . Genera el grupo afín en una dimensión . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left[x,y\right]=y}$

Esto se puede realizar mediante las matrices:

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

Desde

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&c\\0&0\end{array}}\right)^{n+1}=\left({\begin{array}{cc}1&c\\0&0\end{array}}\right)}$

para cualquier número natural y cualquiera , se ve que los elementos del grupo de Lie resultantes son matrices triangulares superiores de 2 × 2 con diagonal inferior unitaria: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \exp(a\cdot {}x+b\cdot {}y)=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)=1+{\tfrac {e^{a}-1}{a}}\left(a\cdot {}x+b\cdot {}y\right).}$

Tres dimensiones

• El álgebra de Heisenberg es un álgebra de Lie tridimensional generada por los elementos x , y y z con corchetes de Lie. ${\displaystyle {\rm {H}}_{3}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle [x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0}$.

Por lo general, se realiza como el espacio de matrices estrictamente triangulares superiores de 3 × 3, con el soporte de Lie del conmutador y la base.

${\displaystyle x=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Cualquier elemento del grupo de Heisenberg tiene una representación como producto de generadores de grupos, es decir, exponenciales matriciales de estos generadores de álgebra de Lie,

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)=e^{by}e^{cz}e^{ax}~.}$

• El álgebra de Lie del grupo SO(3) está abarcada por las tres matrices ^[13] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

Las relaciones de conmutación entre estos generadores son

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

El espacio euclidiano tridimensional con el corchete de Lie dado por el producto vectorial de vectores tiene las mismas relaciones de conmutación que el anterior: por lo tanto, es isomorfo a . Este álgebra de Lie es unitariamente equivalente a los operadores habituales de componentes de momento angular de espín (física) para partículas de espín-1 en mecánica cuántica . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Dimensiones infinitas

• Las álgebras de Kac-Moody son una gran clase de álgebras de Lie de dimensión infinita cuya estructura es muy similar a los casos de dimensión finita anteriores.
• El álgebra de Moyal es un álgebra de Lie de dimensión infinita que contiene todas las álgebras de Lie clásicas como subálgebras.
• El álgebra de Virasoro es de suma importancia en la teoría de cuerdas .

Representaciones

Definiciones

Dado un espacio vectorial V , denotemos el álgebra de Lie que consta de todos los endomorfismos lineales de V , con corchetes dados por . Una representación de un álgebra de Lie en V es un homomorfismo de álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

Se dice que una representación es fiel si su núcleo es cero. El teorema de Ado ^[14] establece que todo álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero tiene una representación fiel en un espacio vectorial de dimensión finita.

Representación adjunta

Para cualquier álgebra de Lie , la representación adjunta es la representación ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

dada por . ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$

Objetivos de la teoría de la representación.

Un aspecto importante del estudio de las álgebras de Lie (especialmente las álgebras de Lie semisimples) es el estudio de sus representaciones. (De hecho, la mayoría de los libros enumerados en la sección de referencias dedican una fracción sustancial de sus páginas a la teoría de la representación). Aunque el teorema de Ado es un resultado importante, el objetivo principal de la teoría de la representación no es encontrar una representación fiel de un álgebra de Lie determinada. . De hecho, en el caso semisimple, la representación adjunta ya es fiel. Más bien, el objetivo es comprender todas las representaciones posibles de , hasta la noción natural de equivalencia. En el caso semisimple sobre un campo de característica cero, el teorema de Weyl ^[15] dice que toda representación de dimensión finita es una suma directa de representaciones irreducibles (aquellas que no tienen subespacios invariantes no triviales). Las representaciones irreductibles, a su vez, se clasifican mediante un teorema de mayor peso . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teoría de la representación en física.

La teoría de la representación de las álgebras de Lie juega un papel importante en varias partes de la física teórica. Allí se consideran operadores en el espacio de estados que satisfacen ciertas relaciones de conmutación naturales. Estas relaciones de conmutación normalmente provienen de una simetría del problema; específicamente, son las relaciones del álgebra de Lie del grupo de simetría relevante. Un ejemplo serían los operadores de momento angular , cuyas relaciones de conmutación son las del álgebra de Lie del grupo de rotación SO(3) . Normalmente, el espacio de estados está muy lejos de ser irreductible según los operadores pertinentes, pero se puede intentar descomponerlo en partes irreductibles. Al hacerlo, es necesario conocer las representaciones irreducibles del álgebra de Lie dada. En el estudio del átomo de hidrógeno cuántico , por ejemplo, los libros de texto de mecánica cuántica dan (sin llamarlo así) una clasificación de las representaciones irreductibles del álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Teoría y clasificación de estructuras.

Las álgebras de mentira se pueden clasificar hasta cierto punto. En particular, esto tiene aplicación a la clasificación de grupos de Lie.

Abeliano, nilpotente y solucionable

De manera análoga a los grupos abelianos, nilpotentes y solubles, definidos en términos de los subgrupos derivados, se pueden definir álgebras de Lie abelianas, nilpotentes y solubles.

El álgebra de una mentira es abeliana. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$si el corchete de Lie desaparece, es decir, [ x , y ] = 0, para todos los x e y en . Las álgebras de Lie abelianas corresponden a grupos de Lie conmutativos (o abelianos ) conectados, como espacios vectoriales o tori , y todas tienen la forma que significa un espacio vectorial de n dimensiones con el soporte de Lie trivial. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}^{n},}$

Una clase más general de álgebras de Lie se define por la desaparición de todos los conmutadores de una longitud determinada. Un álgebra de Lie es nilpotente si la serie central inferior ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]>\cdots }$

eventualmente se vuelve cero. Según el teorema de Engel , un álgebra de Lie es nilpotente si y sólo si para cada u en el endomorfismo adjunto ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

es nilpotente .

De manera más general aún, se dice que un álgebra de Lie tiene solución si la serie derivada : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>\cdots }$

eventualmente se vuelve cero.

El segundo término de la serie derivada (o, de manera equivalente, el segundo término de la serie central inferior) se llama subálgebra del conmutador o ideal del conmutador . ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Cada álgebra de Lie de dimensión finita tiene un ideal máximo único que se puede resolver, llamado radical . Según la correspondencia de Lie, los grupos de Lie conectados nilpotentes (respectivamente, con solución) corresponden a álgebras de Lie nilpotentes (respectivamente, con solución).

Simple y semisimple

Un álgebra de Lie es " simple " si no tiene ideales no triviales y no es abeliano. (Esto implica que un álgebra de Lie unidimensional, necesariamente abeliana, por definición no es simple, aunque no tenga ideales no triviales). Un álgebra de Lie se llama semisimple si es isomorfa a una suma directa de álgebras simples. Existen varias caracterizaciones equivalentes de álgebras semisimples, como no tener ideales resolubles distintos de cero. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El concepto de semisimplicidad de las álgebras de Lie está estrechamente relacionado con la completa reducibilidad (semisimplicidad) de sus representaciones. Cuando el campo fundamental F tiene característica cero, cualquier representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple es semisimple (es decir, suma directa de representaciones irreducibles). En general, un álgebra de Lie se denomina reductiva si la representación adjunta es semisimple. Por tanto, un álgebra de Lie semisimple es reduccionista.

El criterio de Cartan.

El criterio de Cartan da condiciones para que un álgebra de Lie de característica cero sea nilpotente, solucionable o semisimple. Se basa en la noción de forma Killing , una forma bilineal simétrica definida por la fórmula ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

donde tr denota la traza de un operador lineal . Un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si la forma Killing no es degenerada . Un álgebra de Lie tiene solución si y sólo si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}$

Clasificación

La descomposición de Levi expresa un álgebra de Lie arbitraria como una suma semidirecta de su radical soluble y un álgebra de Lie semisimple, casi de forma canónica. (Tal descomposición existe para un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica cero. ^[16] ) Además, las álgebras de Lie semisimples sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero se han clasificado completamente a través de sus sistemas de raíces .

Relación con los grupos de mentiras

El espacio tangente de una esfera en un punto . Si es el elemento identidad, entonces el espacio tangente también es un álgebra de Lie. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Aunque las álgebras de Lie a menudo se estudian por sí mismas, históricamente surgieron como un medio para estudiar grupos de Lie .

Ahora describimos brevemente la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie. Cualquier grupo de Lie da lugar a un álgebra de Lie canónicamente determinada sobre R (concretamente, el espacio tangente en la identidad ). Por el contrario, para cualquier álgebra de Lie de dimensión finita , existe un grupo de Lie conectado correspondiente con el álgebra de Lie . Éste es el tercer teorema de Lie ; consulte la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . Este grupo de Lie no está determinado de forma única; sin embargo, dos grupos de Lie cualesquiera con la misma álgebra de Lie son localmente isomórficos y, en particular, tienen la misma cobertura universal . Por ejemplo, el grupo ortogonal especial SO(3) y el grupo unitario especial SU(2) dan lugar a la misma álgebra de Lie, que es isomorfa con el producto cruzado, pero SU(2) es una cubierta doble simplemente conexa de SO(3). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Sin embargo, si consideramos grupos de Lie simplemente conectados , tenemos una correspondencia uno a uno: para cada álgebra de Lie (real de dimensión finita) , hay un grupo de Lie simplemente conectado único con álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La correspondencia entre álgebras de Lie y grupos de Lie se utiliza de varias maneras, incluso en la clasificación de grupos de Lie y la cuestión relacionada de la teoría de la representación de grupos de Lie. Cada representación de un álgebra de Lie se eleva únicamente a una representación del correspondiente grupo de Lie simplemente conectado y, a la inversa, cada representación de cualquier grupo de Lie induce una representación del álgebra de Lie del grupo; las representaciones están en correspondencia uno a uno. Por tanto, conocer las representaciones de un álgebra de Lie resuelve la cuestión de las representaciones del grupo.

En cuanto a la clasificación, se puede demostrar que cualquier grupo de Lie conectado con un álgebra de Lie dada es isomorfo a la cubierta universal mod un subgrupo central discreto. Por lo tanto, clasificar grupos de Lie se convierte simplemente en una cuestión de contar los subgrupos discretos del centro , una vez que se conoce la clasificación de las álgebras de Lie (resuelta por Cartan et al. en el caso semisimple ).

Si el álgebra de Lie es de dimensión infinita, la cuestión es más sutil. En muchos casos, el mapa exponencial ni siquiera es localmente un homeomorfismo (por ejemplo, en Diff( S ¹ ), uno puede encontrar difeomorfismos arbitrariamente cercanos a la identidad que no están en la imagen de exp). Además, algunas álgebras de Lie de dimensión infinita no son el álgebra de Lie de ningún grupo.

Forma real y complejización.

Dada un álgebra de Lie compleja , se dice que un álgebra de Lie real es una forma real de si la complejización es isomorfa . ^[17] Una forma real no tiene por qué ser única; por ejemplo, tiene dos formas reales, y . ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}$

Dada un álgebra de Lie compleja semisimple de dimensión finita , una forma dividida es una forma real que se divide; es decir, tiene una subálgebra de Cartan que actúa mediante una representación adjunta con valores propios reales. Una forma dividida existe y es única (hasta isomorfismos). ^[17] Una forma compacta es una forma real que es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto. Una forma compacta existe y también es única. ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebra de mentiras con estructuras adicionales.

Un álgebra de Lie puede equiparse con algunas estructuras adicionales que se supone que son compatibles con el corchete. Por ejemplo, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de Lie con una estructura de espacio vectorial graduada. Si también viene con un diferencial (de modo que el espacio vectorial graduado subyacente sea un complejo de cadena ), entonces se llama álgebra de Lie graduada diferencial .

Un álgebra de Lie simple es un objeto simple en la categoría de álgebras de Lie; en otras palabras, se obtiene reemplazando el conjunto subyacente con un conjunto simple (por lo que sería mejor considerarlo como una familia de álgebras de Lie).

anillo de mentira

Un anillo de Lie surge como una generalización de las álgebras de Lie, o mediante el estudio de la serie central inferior de grupos . Un anillo de Lie se define como un anillo no asociativo con multiplicación que es anticonmutativa y satisface la identidad de Jacobi . Más específicamente, podemos definir un anillo de Lie como un grupo abeliano con una operación que tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$

• Bilinealidad:

${\displaystyle [x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]}$

para todo x , y , z ∈ L .

• La identidad Jacobi :

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\quad }$

para todo x , y , z en L .

• Para todo x en L :

${\displaystyle [x,x]=0.}$

Los anillos de mentira no necesitan ser grupos de mentira bajo suma. Cualquier álgebra de Lie es un ejemplo de anillo de Lie. Cualquier anillo asociativo se puede convertir en un anillo de Lie definiendo un operador de paréntesis . A la inversa de cualquier álgebra de Lie, existe un anillo correspondiente, llamado álgebra envolvente universal . ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Los anillos de mentira se utilizan en el estudio de grupos p finitos mediante la correspondencia de Lazard . Los factores centrales inferiores de un grupo p son grupos p abelianos finitos , por lo que módulos sobre Z / p Z . A la suma directa de los factores centrales inferiores se le da la estructura de un anillo de Lie definiendo el soporte como el conmutador de dos representantes de clase lateral. La estructura del anillo de Lie se enriquece con otro homomorfismo de módulo, el p ésimo mapa de potencia, lo que convierte al anillo de Lie asociado en el llamado anillo de Lie restringido.

Los anillos de mentira también son útiles en la definición de grupos analíticos p-ádicos y sus endomorfismos mediante el estudio de álgebras de Lie sobre anillos de números enteros como los enteros p-ádicos . La definición de grupos finitos de tipo Lie debido a Chevalley implica restringir desde un álgebra de Lie sobre números complejos a un álgebra de Lie sobre números enteros, y luego reducir el módulo p para obtener un álgebra de Lie sobre un campo finito.

Ejemplos

• Cualquier álgebra de Lie sobre un anillo general en lugar de un campo es un ejemplo de anillo de Lie. Los anillos de mentiras no son grupos de mentiras bajo suma, a pesar del nombre.
• Cualquier anillo asociativo se puede convertir en un anillo de Lie definiendo un operador de paréntesis.

${\displaystyle [x,y]=xy-yx.}$

• Para un ejemplo de un anillo de Lie que surge del estudio de grupos , sea un grupo con la operación del conmutador y sea una serie central en , es decir, el subgrupo del conmutador está contenido para cualquiera . Entonces ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G_{i},G_{j}]}$ ${\displaystyle G_{i+j}}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}}$

es un anillo de Lie con suma proporcionada por la operación de grupo (que es abeliana en cada parte homogénea), y la operación de paréntesis dada por

${\displaystyle [xG_{i},yG_{j}]=[x,y]G_{i+j}\ }$

extendido linealmente. La centralidad de la serie asegura que el conmutador le dé a la operación del soporte las propiedades teóricas de Lie apropiadas. ${\displaystyle [x,y]}$

Ver también

• Representación adjunta de un álgebra de Lie
• Álgebra de mentira afín
• Álgebra de mentira anyónica
• Automorfismo de un álgebra de Lie
• Álgebra de mentira quiral
• Álgebra de mentira libre
• Índice de álgebra de mentira
• Cohomología del álgebra de mentiras
• Extensión de álgebra de mentiras
• Representación del álgebra de mentiras
• mentira bialgebra
• mentira coalgebra
• mentira operada
• Física de partículas y teoría de la representación.
• mentira superalgebra
• álgebra de Poisson
• Álgebra previa a la mentira
• Grupos cuánticos
• Álgebra de Moyal
• Álgebra de mentira cuasi-Frobenius
• Álgebra de cuasi-mentira
• Álgebra de mentira restringida
• relaciones serre
• Álgebra de mentira simétrica
• Cohomología de Gelfand-Fuks

Observaciones

1. Bourbaki (1989, Sección 2.) permite de manera más general un módulo sobre un anillo conmutativo ; En este artículo, esto se llama anillo de mentira.

Referencias

1. O'Connor y Robertson 2000
2. O'Connor y Robertson 2005
3. Humphreys 1978, pag. 1
4. Debido a la anticonmutatividad del conmutador, las nociones de ideal izquierdo y derecho en un álgebra de Lie coinciden.
5. Jacobson 1962, pag. 28
6. Humphreys 1978, pag. 4
7. Varadarajan 2004, pág. 49
8. Jacobson 1962, pag. 42
9. Bourbaki 1989, §1.2. Ejemplo 1.
10. Bourbaki 1989, §1.2. Ejemplo 2.
11. Humphreys 1978, pag. 2
12. Salón 2015, §3.4
13. Salón 2015, ejemplo 3.27
14. Jacobson 1962, cap. VI
15. Salón 2015, Teorema 10.9
16. Jacobson 1962, cap. III, artículo 9.
17. Fulton y Harris 1991, §26.1.

Fuentes

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enlaces externos

• "Álgebra de mentiras", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• McKenzie, Douglas (2015). "Una introducción elemental a las álgebras de mentira para físicos".