En Teoría de Lie y teoría de la representación , la descomposición de Levi , conjeturada por Wilhelm Killing [1] y Élie Cartan [2] y demostrada por Eugenio Elia Levi (1905), establece que cualquier real de dimensión finita [ se necesita aclaración ] {Cambio real álgebra de Lie a un álgebra de Lie sobre un campo de característica 0} El álgebra de Lie g es el producto semidirecto de un ideal resoluble y una subálgebra semisimple . Uno es su radical , un ideal máximo resoluble, y el otro es una subálgebra semisimple, llamada subálgebra de Levi . La descomposición de Levi implica que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita es un producto semidirecto de un álgebra de Lie soluble y un álgebra de Lie semisimple.
Cuando se ve como un álgebra factorial de g , este álgebra de Lie semisimple también se llama factor de Levi de g . Hasta cierto punto, la descomposición se puede utilizar para reducir problemas sobre álgebras de Lie de dimensión finita y grupos de Lie para separar problemas sobre álgebras de Lie en estas dos clases especiales, solubles y semisimples.
Además, Malcev (1942) demostró que dos subálgebras de Levi cualesquiera están conjugadas mediante un automorfismo (interno) de la forma
donde z está en el radical nil ( teorema de Levi-Malcev ).
Un resultado análogo es válido para álgebras asociativas y se denomina teorema principal de Wedderburn .
En la teoría de la representación, la descomposición de Levi de subgrupos parabólicos de un grupo reductivo es necesaria para construir una gran familia de las llamadas representaciones parabólicamente inducidas . La descomposición de Langlands es un ligero refinamiento de la descomposición de Levi para los subgrupos parabólicos utilizados en este contexto.
Declaraciones análogas son válidas para grupos de Lie simplemente conectados y, como lo muestra George Mostow , para álgebras algebraicas de Lie y grupos algebraicos simplemente conectados sobre un campo de característica cero.
No existe ningún análogo de la descomposición de Levi para la mayoría de las álgebras de Lie de dimensión infinita; por ejemplo, las álgebras de Lie afines tienen un radical que consta de su centro, pero no pueden escribirse como un producto semidirecto del centro y otra álgebra de Lie. La descomposición de Levi también falla en álgebras de dimensión finita sobre campos de características positivas.
