Lie coalgebra

En matemáticas, una coalgebra de Lie es la estructura dual de un álgebra de Lie .

En dimensiones finitas, estos son objetos duales: el espacio vectorial dual de un álgebra de Lie naturalmente tiene la estructura de una coalgebra de Lie, y viceversa.

Definición

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo dotado de una aplicación lineal de al producto exterior de consigo mismo. Es posible extender de forma única a una derivación graduada (esto significa que, para cualesquiera que sean elementos homogéneos , ) de grado 1 sobre el álgebra exterior de : ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle d\colon E\to E\wedge E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a,b\in E}$ ${\displaystyle d(a\wedge b)=(da)\wedge b+(-1)^{\deg a}a\wedge (db)}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle d\colon \bigwedge ^{\bullet }E\rightarrow \bigwedge ^{\bullet +1}E.}$

Entonces se dice que el par es una coalgebra de Lie si , es decir, si los componentes graduados del álgebra exterior con derivación forman un complejo de cocadena : ${\displaystyle (E,d)}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\textstyle (\bigwedge ^{*}E,d)}$

${\displaystyle E\ \xrightarrow {d} \ E\wedge E\ \xrightarrow {d} \ \bigwedge ^{3}E\xrightarrow {d} \ \cdots }$

Relación con el complejo de De Rham

Así como el álgebra exterior (y el álgebra tensorial) de los campos vectoriales sobre una variedad forman un álgebra de Lie (sobre el campo base ), el complejo de De Rham de las formas diferenciales sobre una variedad forma una coalgebra de Lie (sobre el campo base ). Además, existe un emparejamiento entre los campos vectoriales y las formas diferenciales. ${\displaystyle \mathbb {k} }$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$

Sin embargo, la situación es más sutil: el corchete de Lie no es lineal sobre el álgebra de funciones suaves (el error es la derivada de Lie ), ni tampoco lo es la derivada exterior : (es una derivación, no lineal sobre funciones): no son tensores . No son lineales sobre funciones, pero se comportan de una manera consistente, que no se captura simplemente con la noción de álgebra de Lie y coalgebra de Lie. ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle d(fg)=(df)g+f(dg)\neq f(dg)}$

Además, en el complejo de De Rham, la derivación no sólo está definida para , sino que también está definida para . ${\displaystyle \Omega ^{1}\to \Omega ^{2}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)}$

El álgebra de Lie sobre el dual

Una estructura de álgebra de Lie en un espacio vectorial es una función que es antisimétrica y satisface la identidad de Jacobi. De manera equivalente, una función que satisface la identidad de Jacobi . ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Dualmente, una estructura de coalgebra de Lie en un espacio vectorial E es una función lineal que es antisimétrica (esto significa que satisface , donde es la inversión canónica ) y satisface la llamada condición de cociclo (también conocida como regla de co-Leibniz ) ${\displaystyle d\colon E\to E\otimes E}$ ${\displaystyle \tau \circ d=-d}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle E\otimes E\to E\otimes E}$

${\displaystyle \left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d=\left(\mathrm {id} \otimes d\right)\circ d+\left(\mathrm {id} \otimes \tau \right)\circ \left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d}$.

Debido a la condición de antisimetría, el mapa también puede escribirse como un mapa . ${\displaystyle d\colon E\to E\otimes E}$ ${\displaystyle d\colon E\to E\wedge E}$

El dual del corchete de Lie de un álgebra de Lie produce un mapa (el cocommutador) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{*}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to ({\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}})^{*}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}}$

donde el isomorfismo se cumple en dimensión finita; dualmente para el dual de la comultiplicación de Lie . En este contexto, la identidad de Jacobi corresponde a la condición de cociclo. ${\displaystyle \cong }$

Más explícitamente, sea una coalgebra de Lie sobre un cuerpo de característica ni 2 ni 3 . El espacio dual lleva la estructura de un corchete definido por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle \alpha ([x,y])=d\alpha (x\wedge y)}$, para todos y . ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle x,y\in E^{*}}$

Demostramos que esto nos otorga un corchete de Lie. Basta con comprobar la identidad de Jacobi . Para cualquier y , ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle x,y,z\in E^{*}}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)&={\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z+y\wedge z\wedge x+z\wedge x\wedge y)\\&={\frac {1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\wedge z)+d\alpha ([y,z]\wedge x)+d\alpha ([z,x]\wedge y)\right),\end{aligned}}}$

donde el último paso se desprende de la identificación estándar del dual de un producto de cuña con el producto de cuña de los duales. Finalmente, esto da

${\displaystyle d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}\left(\alpha ([[x,y],z])+\alpha ([[y,z],x])+\alpha ([[z,x],y])\right).}$

Puesto que , se deduce que ${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \alpha ([[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y])=0}$, para cualquier , , , y . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Así, por el isomorfismo de doble dualidad (más precisamente, por el monomorfismo de doble dualidad, ya que el espacio vectorial no necesita ser de dimensión finita), se satisface la identidad de Jacobi.

En particular, observe que esta prueba demuestra que la condición del cociclo es en cierto sentido dual a la identidad de Jacobi. ${\displaystyle d^{2}=0}$

Referencias

• Michaelis, Walter (1980), "Coalgebras de Lie", Advances in Mathematics , 38 (1): 1–54, doi : 10.1016/0001-8708(80)90056-0 , ISSN  0001-8708, MR  0594993