Función de Mathieu

Soluciones de una ecuación diferencial estudiada por Émile L. Mathieu

En matemáticas , las funciones de Mathieu , a veces llamadas funciones angulares de Mathieu , son soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(a-2q\cos(2x))y=0,}$

donde a, q son parámetros de valor real . Dado que podemos sumar π/2 a x para cambiar el signo de q , es una convención habitual establecer q ≥ 0 .

Fueron introducidos por primera vez por Émile Léonard Mathieu , quien los encontró mientras estudiaba parches de tambor elípticos vibrantes . ^{[1] [2] [3]} Tienen aplicaciones en muchos campos de las ciencias físicas, como la óptica , la mecánica cuántica y la relatividad general . Suelen aparecer en problemas que involucran movimiento periódico o en el análisis de problemas de valores límite de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que poseen simetría elíptica . ^[4]

Definición

Funciones de Mathieu

En algunos usos, la función de Mathieu se refiere a soluciones de la ecuación diferencial de Mathieu para valores arbitrarios de y . Cuando no puede surgir ninguna confusión, otros autores usan el término para referirse específicamente a soluciones - o -periódicas, que existen solo para valores especiales de y . ^[5] Más precisamente, para dados (reales) tales soluciones periódicas existen para un número infinito de valores de , llamados números característicos , convencionalmente indexados como dos secuencias separadas y , para . Las funciones correspondientes se denotan y , respectivamente. A veces también se las conoce como coseno-elípticas y seno-elípticas , o funciones de Mathieu del primer tipo . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a_{n}(q)}$ ${\displaystyle b_{n}(q)}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

Como resultado de suponer que es real, tanto los números característicos como las funciones asociadas tienen valores reales. ^[6] ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$y se pueden clasificar además por paridad y periodicidad (ambas con respecto a ), de la siguiente manera: ^[5] ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle x}$

La indexación con el entero , además de servir para ordenar los números característicos en orden ascendente, es conveniente porque y se vuelven proporcionales a y como . Al ser un entero, esto da lugar a la clasificación de y como funciones de Mathieu (de primera especie) de orden integral. Para y generales , se pueden definir soluciones además de estas, incluyendo funciones de Mathieu de orden fraccionario así como soluciones no periódicas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

Funciones de Mathieu modificadas

Estrechamente relacionadas están las funciones de Mathieu modificadas , también conocidas como funciones radiales de Mathieu, que son soluciones de la ecuación diferencial modificada de Mathieu.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

que se puede relacionar con la ecuación original de Mathieu tomando . En consecuencia, las funciones de Mathieu modificadas del primer tipo de orden integral, denotadas por y , se definen a partir de ^[7] ${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$ ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(x,q)&={\text{ce}}_{n}({\rm {i}}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}}\,{\text{se}}_{n}({\rm {i}}x,q).\end{aligned}}}$

Estas funciones tienen valores reales cuando es real. ${\displaystyle x}$

Normalización

Una normalización común, ^[8] que se adoptará a lo largo de este artículo, es exigir

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}(x,q)^{2}dx=\pi }$

así como requerir y como . ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$

Estabilidad

La ecuación de Mathieu tiene dos parámetros. Para casi todas las opciones de parámetro, según la teoría de Floquet (ver la siguiente sección), cualquier solución converge a cero o diverge a infinito.

Parametrizar la ecuación de Mathieu como , donde . Las regiones de estabilidad e inestabilidad están separadas por curvas ^[9] ${\displaystyle {\ddot {x}}+k(1-m\cos(t))x=0}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {R} ,m\geq 0}$

$${\displaystyle m(k)={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k<0;\\[4pt]{\frac {1}{4}}\left[{\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}-(9-4k)\right],&k<{\frac {1}{4}};\\[10pt]{\frac {1}{4}}\left[9-4k\mp {\sqrt {(9-4k)(13-20k)}}\right],&{\frac {1}{4}}<k<{\frac {13}{20}};\\[6pt]{\sqrt {\frac {2(k-1)(k-4)(k-9)}{k-5}}},&{\frac {13}{20}}<k<1;\\[2pt]2{\sqrt {\frac {k(k-1)(k-4)}{3k-8}}},&k>1.\end{cases}}}$$

Teoría de Floquet

Muchas propiedades de la ecuación diferencial de Mathieu se pueden deducir de la teoría general de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes periódicos, llamada teoría de Floquet . El resultado central es el teorema de Floquet :

Teorema de Floquet ^[10]  —  La ecuación de Mathieu siempre tiene al menos una solución tal que , donde es una constante que depende de los parámetros de la ecuación y puede ser real o compleja. ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$ ${\displaystyle \sigma }$

Es natural asociar los números característicos con aquellos valores de que resultan en . ^[11] Nótese, sin embargo, que el teorema solo garantiza la existencia de al menos una solución que satisface , cuando la ecuación de Mathieu de hecho tiene dos soluciones independientes para cualquier , . De hecho, resulta que con igual a uno de los números característicos, la ecuación de Mathieu tiene solo una solución periódica (es decir, con período o ), y esta solución es una de las , . La otra solución no es periódica, se denota y , respectivamente, y se denomina función de Mathieu de segundo tipo . ^[12] Este resultado puede enunciarse formalmente como el teorema de Ince : ${\displaystyle a(q)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ ${\displaystyle y(x+\pi )=\sigma y(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$

Teorema de Ince ^[13]  —  Defina una función básicamente periódica como aquella que satisface . Entonces, excepto en el caso trivial , la ecuación de Mathieu nunca posee dos soluciones básicamente periódicas (independientes) para los mismos valores de y . ${\displaystyle y(x+\pi )=\pm y(x)}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

Un ejemplo del teorema de Floquet, con , , (parte real, roja; parte imaginaria, verde) ${\displaystyle P(a,q,x)}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle q=1/5}$ ${\displaystyle \mu \approx 1+0.0995i}$

Un enunciado equivalente del teorema de Floquet es que la ecuación de Mathieu admite una solución de valor complejo de la forma

${\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),}$

donde es un número complejo, el exponente de Floquet (o a veces exponente de Mathieu ), y es una función compleja periódica en con período . A la derecha se muestra un ejemplo. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle P(a,q,x)}$

Otros tipos de funciones de Mathieu

Segundo tipo

Como la ecuación de Mathieu es una ecuación diferencial de segundo orden, se pueden construir dos soluciones linealmente independientes. La teoría de Floquet dice que si es igual a un número característico, una de estas soluciones puede considerarse periódica y la otra no periódica. La solución periódica es una de las y , llamada función de Mathieu de primer tipo de orden integral. La no periódica se denota como y , respectivamente, y se llama función de Mathieu de segundo tipo (de orden integral). Las soluciones no periódicas son inestables, es decir, divergen como . ^[14] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{ge}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

Las segundas soluciones correspondientes a las funciones de Mathieu modificadas y se definen naturalmente como y . ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}(x,q)=-i{\text{fe}}_{n}(xi,q)}$ ${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}(x,q)={\text{ge}}_{n}(xi,q)}$

Orden fraccionario

Las funciones de Mathieu de orden fraccionario se pueden definir como aquellas soluciones y , un número no entero, que se convierten en y cuando . ^[7] Si es irracional, no son periódicas; sin embargo, permanecen acotadas como . ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \cos px}$ ${\displaystyle \sin px}$ ${\displaystyle q\rightarrow 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

Una propiedad importante de las soluciones y , para números no enteros, es que existen para el mismo valor de . Por el contrario, cuando es un número entero, y nunca se dan para el mismo valor de . (Véase el teorema de Ince más arriba). ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$ ${\displaystyle a}$

Estas clasificaciones se resumen en la siguiente tabla. Las contrapartes de la función Mathieu modificada se definen de manera similar.

Representación explícita y computación

Primer tipo

Las funciones de Mathieu del primer tipo se pueden representar como series de Fourier : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\{\text{se}}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }B_{2r+2}^{(2n+2)}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\\end{aligned}}}$

Los coeficientes de expansión y son funciones de pero independientes de . Mediante la sustitución en la ecuación de Mathieu, se puede demostrar que obedecen a relaciones de recurrencia de tres términos en el índice inferior. Por ejemplo, para cada uno se encuentra ^[16] ${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$ ${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2A_{0})&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{aligned}}}$

Al ser una recurrencia de segundo orden en el índice , siempre se pueden encontrar dos soluciones independientes y tales que la solución general se puede expresar como una combinación lineal de las dos: . Además, en este caso particular, un análisis asintótico ^[17] muestra que una posible elección de soluciones fundamentales tiene la propiedad ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle X_{2r}}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2r}&=r^{-2r-1}\left(-{\frac {e^{2}q}{4}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\left(-{\frac {4}{e^{2}q}}\right)^{r}\left[1+{\mathcal {O}}(r^{-1})\right]\end{aligned}}}$

En particular, es finito mientras que diverge. Escribiendo , vemos que para que la representación de la serie de Fourier de converja, debe elegirse de manera que Estas opciones de corresponden a los números característicos. ${\displaystyle X_{2r}}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle A_{2r}=c_{1}X_{2r}+c_{2}Y_{2r}}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{2n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}=0.}$ ${\displaystyle a}$

En general, sin embargo, la solución de una recurrencia de tres términos con coeficientes variables no se puede representar de manera sencilla y, por lo tanto, no hay una manera sencilla de determinarla a partir de la condición . Además, incluso si se conoce el valor aproximado de un número característico, no se puede utilizar para obtener los coeficientes iterando numéricamente la recurrencia hacia un valor creciente de . La razón es que, siempre que solo se aproxime a un número característico, no es idéntica y la solución divergente finalmente domina para valores suficientemente grandes . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}=0}$ ${\displaystyle A_{2r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Y_{2r}}$ ${\displaystyle r}$

Para superar estos problemas, se requieren enfoques semianalíticos/numéricos más sofisticados, por ejemplo, utilizando una expansión de fracción continua , ^{[18] [5]} convirtiendo la recurrencia en un problema de valor propio de matriz , ^[19] o implementando un algoritmo de recurrencia hacia atrás. ^[17] La ​​complejidad de la relación de recurrencia de tres términos es una de las razones por las que hay pocas fórmulas e identidades simples que involucren funciones de Mathieu. ^[20]

En la práctica, las funciones de Mathieu y los números característicos correspondientes se pueden calcular utilizando software preempaquetado, como Mathematica , Maple , MATLAB y SciPy . Para valores pequeños de y de orden bajo , también se pueden expresar de manera perturbativa como series de potencias de , lo que puede ser útil en aplicaciones físicas. ^[21] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Segundo tipo

Hay varias maneras de representar funciones de Mathieu del segundo tipo. ^[22] Una representación es en términos de funciones de Bessel : ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+1}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}}e^{-ix})-J_{r+2}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})]\end{aligned}}}$

donde , y y son funciones de Bessel de primer y segundo tipo. ${\displaystyle n,q>0}$ ${\displaystyle J_{r}(x)}$ ${\displaystyle Y_{r}(x)}$

Funciones modificadas

Un enfoque tradicional para la evaluación numérica de las funciones de Mathieu modificadas es a través de series de productos de funciones de Bessel. ^[24] Para valores grandes de y , la forma de la serie debe elegirse con cuidado para evitar errores de resta. ^{[25] [26]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Propiedades

Existen relativamente pocas expresiones analíticas e identidades que involucren funciones de Mathieu. Además, a diferencia de muchas otras funciones especiales, las soluciones de la ecuación de Mathieu no pueden expresarse en términos de funciones hipergeométricas . Esto se puede ver mediante la transformación de la ecuación de Mathieu a la forma algebraica, utilizando el cambio de variable : ${\displaystyle t=\cos(x)}$

${\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.}$

Como esta ecuación tiene un punto singular irregular en el infinito, no puede transformarse en una ecuación de tipo hipergeométrico. ^[20]

Comportamiento cualitativo

Gráficas de muestra de funciones de Mathieu de primer tipo

Parcela de para variar ${\displaystyle {\text{ce}}_{1}(x,q)}$ ${\displaystyle q}$

Para valores pequeños , y se comportan de manera similar a y . Para valores arbitrarios , pueden desviarse significativamente de sus contrapartes trigonométricas; sin embargo, siguen siendo periódicos en general. Además, para cualquier valor real , y tienen ceros exactamente simples en , y como los ceros se agrupan alrededor de . ^{[27] [28]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{m}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{m+1}(x,q)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<x<\pi }$ ${\displaystyle q\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle x=\pi /2}$

Porque y como las funciones de Mathieu modificadas tienden a comportarse como funciones periódicas amortiguadas. ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

A continuación, se pueden mencionar los factores y de las expansiones de Fourier para y (véase Representación explícita y cálculo). Dependen de y pero son independientes de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Reflexiones y traducciones

Debido a su paridad y periodicidad, tienen propiedades simples bajo reflexiones y traslaciones por múltiplos de : ^[7] ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

También se pueden escribir funciones con números negativos en términos de aquellas con números positivos : ^{[5] [29]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

Además,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aligned}}}$

Ortogonalidad y completitud

Al igual que sus contrapartes trigonométricas y , las funciones periódicas de Mathieu y satisfacen relaciones de ortogonalidad. ${\displaystyle \cos nx}$ ${\displaystyle \sin nx}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}\,dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}\,dx=0\end{aligned}}}$

Además, con y fijos tratados como el valor propio, la ecuación de Mathieu tiene la forma de Sturm-Liouville . Esto implica que las funciones propias y forman un conjunto completo, es decir, cualquier función - o -periódica de puede expandirse como una serie en y . ^[4] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$

Identidades integrales

Las soluciones de la ecuación de Mathieu satisfacen una clase de identidades integrales con respecto a los núcleos que son soluciones de ${\displaystyle \chi (x,x')}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$

Más precisamente, si resuelve la ecuación de Mathieu con dados y , entonces la integral ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \psi (x)\equiv \int _{C}\chi (x,x')\phi (x')dx'}$

donde es un camino en el plano complejo , también resuelve la ecuación de Mathieu con la misma y , siempre que se cumplan las siguientes condiciones: ^[30] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$resuelve ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• En las regiones consideradas, existe y es analítico ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x,x')}$
• ${\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial \chi }{\partial x'}}-{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}\chi \right)}$tiene el mismo valor en los puntos finales de ${\displaystyle C}$

Mediante un cambio de variables adecuado, la ecuación para se puede transformar en la ecuación de onda y resolver. Por ejemplo, una solución es . Ejemplos de identidades obtenidas de esta manera son ^[31] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi (x,x')=\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x')}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\qquad \ \ \ (q>0)\end{aligned}}}$

Las identidades del último tipo son útiles para estudiar las propiedades asintóticas de las funciones de Mathieu modificadas. ^[32]

También existen relaciones integrales entre funciones de primer y segundo tipo, por ejemplo: ^[23]

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

Válido para cualquier situación compleja y real . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$

Expansiones asintóticas

Las siguientes expansiones asintóticas son válidas para , , , y : ^[33] ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$ ${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{(2n)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las funciones de Mathieu modificadas decaen exponencialmente para argumentos reales grandes. Se pueden escribir expansiones asintóticas similares para y ; estas también decaen exponencialmente para argumentos reales grandes. ${\displaystyle {\text{Fe}}_{n}}$ ${\displaystyle {\text{Ge}}_{n}}$

Para las funciones periódicas de Mathieu pares e impares y los números característicos asociados también se pueden derivar expansiones asintóticas para grandes . ^[34] Para los números característicos en particular, se tiene con aproximadamente un entero impar, es decir ${\displaystyle ce,se}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\approx N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)={}&-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)\\&-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})\end{aligned}}}$

Obsérvese la simetría aquí al reemplazar y por y , que es una característica significativa de la expansión. Los términos de esta expansión se han obtenido explícitamente hasta e incluyendo el término de orden . ^[35] Aquí es solo aproximadamente un entero impar porque en el límite de todos los segmentos mínimos del potencial periódico se convierten en osciladores armónicos efectivamente independientes (de ahí un entero impar). Al disminuir , se hace posible el efecto túnel a través de las barreras (en lenguaje físico), lo que lleva a una división de los números característicos (en mecánica cuántica llamados valores propios) correspondientes a funciones periódicas de Mathieu pares e impares. Esta división se obtiene con condiciones de contorno ^[35] (en mecánica cuántica esto proporciona la división de los valores propios en bandas de energía). ^[36] Las condiciones de contorno son: ${\displaystyle q^{1/2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -q^{1/2}}$ ${\displaystyle -N}$ ${\displaystyle |q|^{-7/2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q\to \infty }$ ${\displaystyle \cos 2x}$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a\to a_{\mp }}$

${\displaystyle \left({\frac {dce_{N_{0}-1}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;\left({\frac {dse_{N_{0}}}{dx}}\right)_{\pi /2}=0,\;\;se_{N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

Imponiendo estas condiciones de contorno a las funciones de Mathieu periódicas asintóticas asociadas con la expansión anterior, se obtiene ${\displaystyle a}$

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}\left[1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+\dots \right].}$

Los números característicos o valores propios correspondientes se obtienen luego por desarrollo, es decir

${\displaystyle a(N)=a(N_{0})+(N-N_{0})\left({\frac {\partial a}{\partial N}}\right)_{N_{0}}+\cdots .}$

La inserción de las expresiones apropiadas anteriores produce el resultado

${\displaystyle {\begin{aligned}a(N)\to a_{\mp }(N_{0})={}&-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-\cdots \\&\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {N_{0}}{2^{6}q^{1/2}}}(3N_{0}^{2}+8N_{0}+3)+\cdots {\bigg ]}.\end{aligned}}}$

Estos son los valores propios asociados con las funciones propias de Mathieu pares o (es decir, con signo menos en la parte superior) y las funciones propias de Mathieu impares o (es decir, con signo más en la parte inferior). Las expansiones explícitas y normalizadas de las funciones propias se pueden encontrar en ^[35] o. ^[36] ${\displaystyle N_{0}=1,3,5,\dots }$ ${\displaystyle ce_{N_{0}}}$ ${\displaystyle ce_{N_{0}-1}}$ ${\displaystyle se_{N_{0}+1}}$ ${\displaystyle se_{N_{0}}}$

Se pueden obtener expansiones asintóticas similares para las soluciones de otras ecuaciones diferenciales periódicas, como para las funciones de Lamé y las funciones de onda esferoidales alargadas y achatadas .

Aplicaciones

Las ecuaciones diferenciales de Mathieu aparecen en una amplia gama de contextos en ingeniería, física y matemáticas aplicadas. Muchas de estas aplicaciones se enmarcan en una de dos categorías generales: 1) el análisis de ecuaciones diferenciales parciales en geometrías elípticas y 2) problemas dinámicos que involucran fuerzas periódicas en el espacio o en el tiempo. A continuación se analizan ejemplos de ambas categorías.

Ecuaciones diferenciales parciales

Las funciones de Mathieu surgen cuando se aplica la separación de variables en coordenadas elípticas a 1) la ecuación de Laplace en 3 dimensiones y 2) la ecuación de Helmholtz en 2 o 3 dimensiones. Dado que la ecuación de Helmholtz es una ecuación prototípica para modelar la variación espacial de las ondas clásicas, las funciones de Mathieu se pueden utilizar para describir una variedad de fenómenos ondulatorios. Por ejemplo, en electromagnetismo computacional se pueden utilizar para analizar la dispersión de ondas electromagnéticas en cilindros elípticos y la propagación de ondas en guías de ondas elípticas . ^[37] En relatividad general , se puede dar una solución exacta de onda plana para la ecuación de campo de Einstein en términos de funciones de Mathieu.

Más recientemente, se han utilizado funciones de Mathieu para resolver un caso especial de la ecuación de Smoluchowski , que describe las estadísticas de estado estable de partículas autopropulsadas . ^[38]

El resto de esta sección detalla el análisis de la ecuación de Helmholtz bidimensional. ^[39] En coordenadas rectangulares, la ecuación de Helmholtz es

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0,}$

Las coordenadas elípticas se definen por

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh \mu \cos \nu \\y&=c\sinh \mu \sin \nu \end{aligned}}}$

donde , , y es una constante positiva. La ecuación de Helmholtz en estas coordenadas es ${\displaystyle 0\leq \mu <\infty }$ ${\displaystyle 0\leq \nu <2\pi }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \nu ^{2}}}\right)\psi +k^{2}\psi =0}$

Las curvas constantes son elipses confocales con longitud focal ; por lo tanto, estas coordenadas son convenientes para resolver la ecuación de Helmholtz en dominios con límites elípticos. La separación de variables mediante produce las ecuaciones de Mathieu ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}F}{d\mu ^{2}}}-\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cosh 2\mu \right)F=0\\&{\frac {d^{2}G}{d\nu ^{2}}}+\left(a-{\frac {c^{2}k^{2}}{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aligned}}}$

donde es una constante de separación. ${\displaystyle a}$

Como ejemplo físico específico, la ecuación de Helmholtz puede interpretarse como la descripción de los modos normales de una membrana elástica bajo tensión uniforme . En este caso, se imponen las siguientes condiciones físicas: ^[40]

• Periodicidad con respecto a , es decir ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=\psi (\mu ,\nu +2\pi )}$
• Continuidad del desplazamiento a través de la línea interfocal: ${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• Continuidad de la derivada a través de la línea interfocal: ${\displaystyle \psi _{\mu }(0,\nu )=-\psi _{\mu }(0,-\nu )}$

Para dado , esto restringe las soluciones a aquellas de la forma y , donde . Esto es lo mismo que restringir los valores permitidos de , para dado . Las restricciones sobre surgen debido a la imposición de condiciones físicas en alguna superficie límite, como un límite elíptico definido por . Por ejemplo, sujetar la membrana en impone , que a su vez requiere ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(\mu ,q){\text{ce}}_{n}(\nu ,q)}$ ${\displaystyle {\text{Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$ ${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/4}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{0}>0}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$ ${\displaystyle \psi (\mu _{0},\nu )=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{n}(\mu _{0},q)=0\\{\text{Se}}_{n}(\mu _{0},q)=0\end{aligned}}}$

Estas condiciones definen los modos normales del sistema.

Problemas dinámicos

En problemas dinámicos con fuerzas que varían periódicamente, la ecuación de movimiento a veces toma la forma de la ecuación de Mathieu. En tales casos, el conocimiento de las propiedades generales de la ecuación de Mathieu, en particular con respecto a la estabilidad de las soluciones, puede ser esencial para comprender las características cualitativas de la dinámica física. ^[41] Un ejemplo clásico en esta línea es el péndulo invertido . ^[42] Otros ejemplos son

• Vibraciones de una cuerda con tensión que varía periódicamente ^[41]
• Estabilidad de los rieles del ferrocarril cuando los trenes pasan sobre ellos.
• dinámica poblacional forzada estacionalmente
• El fenómeno de la resonancia paramétrica en osciladores forzados
• Movimiento de iones en una trampa de iones cuadrupolo ^[43]
• El efecto Stark para un dipolo eléctrico giratorio
• La teoría de Floquet sobre la estabilidad de los ciclos límite

Mecánica cuántica

Las funciones de Mathieu juegan un papel en ciertos sistemas mecánicos cuánticos, particularmente aquellos con potenciales espacialmente periódicos como el péndulo cuántico y las redes cristalinas .

La ecuación de Mathieu modificada también surge al describir la mecánica cuántica de potenciales singulares. Para el potencial singular particular, la ecuación radial de Schrödinger ${\displaystyle V(r)=g^{2}/r^{4}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dr^{2}}}+\left[k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-{\frac {g^{2}}{r^{4}}}\right]y=0}$

se puede convertir en la ecuación

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}+\left[2h^{2}\cosh 2z-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]\varphi =0.}$

La transformación se consigue con las siguientes sustituciones

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi ,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {ig}{h}},h^{2}=ikg,h=e^{I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

Al resolver la ecuación de Schrödinger (para este potencial particular) en términos de soluciones de la ecuación de Mathieu modificada, se pueden obtener propiedades de dispersión como la matriz S y la absortividad . ^[44]

Véase también

• Operador casi Mathieu
• Función de Bessel
• Ecuación diferencial de Hill
• Péndulo invertido
• Función Lamé
• Lista de funciones matemáticas
• Onda electromagnética plana monocromática

Notas

1. Mathieu (1868).
2. Morse y Feshbach (1953).
3. Brimacombe, Corless y Zamir (2021)
4. Gutiérrez-Vega (2015).
5. Arscott (1964), capítulo III
6. Arscott (1964) 43–44
7. McLachlan (1947), capítulo II.
8. Arscott (1964); Iyanaga (1980); Gradshteyn (2007); Esta es también la normalización utilizada por el sistema de álgebra computacional Maple .
9. Butikov, Eugene I. (abril de 2018). "Expresiones analíticas para regiones de estabilidad en el diagrama de Ince-Strutt de la ecuación de Mathieu". American Journal of Physics . 86 (4): 257–267. Bibcode :2018AmJPh..86..257B. doi : 10.1119/1.5021895 . ISSN  0002-9505.
10. Arscott (1964), pág. 29.
11. No es cierto, en general, que una función periódica tenga la propiedad . Sin embargo, esto resulta ser cierto para funciones que son soluciones de la ecuación de Mathieu. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle y(x+\pi )=-y(x)}$
12. McLachlan (1951), págs. 141-157, 372
13. Arscott (1964), pág. 34
14. McLachlan (1947), pág. 144
15. McLachlan (1947), pág. 372
16. McLachlan (1947), pág. 28
17. Wimp (1984), págs. 83-84
18. McLachlan (1947)
19. Caos-Cador y Ley-Koo (2001)
20. Temme (2015), pág. 234
21. Müller-Kirsten (2012), págs. 420-428
22. Meixner y Schäfke (1954); McLachlan (1947)
23. Malits (2010)
24. Jin y Zhang (1996)
25. Van Buren y Boisvert (2007)
26. Bibby y Peterson (2013)
27. Meixner y Schäfke (1954), p.134
28. McLachlan (1947), págs. 234-235
29. Gradshteyn (2007), pág. 953
30. Arscott (1964), págs. 40-41
31. Gradshteyn (2007), págs. 763–765
32. Arscott (1964), pág. 86
33. McLachlan (1947), capítulo XI
34. McLachlan (1947), pág. 237; Dingle y Müller (1962); Müller (1962); Dingle y Müller (1964)
35. Dingle y Müller (1962)
36. Müller-Kirsten (2012)
37. Bibby y Peterson (2013); Barakat (1963); Sebak y Shafai (1991); Kretzschmar (1970)
38. Solon y otros (2015)
39. Véase Willatzen y Voon (2011), págs. 61-65.
40. McLachlan (1947), págs. 294-297
41. Meixner y Schäfke (1954), págs. 324–343
42. Rubí (1996)
43. Marzo (1997)
44. Müller-Kirsten (2006)

Referencias

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función de Mathieu". MathWorld .
• Lista de ecuaciones e identidades para funciones de Mathieu functions.wolfram.com
• "Funciones de Mathieu", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Timothy Jones, Las ecuaciones de Mathieu y la trampa ideal de Paul (2006)
• ecuación de Mathieu , EqWorld
• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: funciones de Mathieu y ecuación de Hill