Supermultiplete

Una representación del álgebra de supersimetría

En física teórica , un supermultiplete es una representación de un álgebra de supersimetría , posiblemente con supersimetría extendida .

Entonces, un supercuerpo es un cuerpo en el superespacio que se valora en dicha representación. De manera ingenua, o cuando se considera un superespacio plano, un supercuerpo puede verse simplemente como una función en el superespacio. Formalmente, es una sección de un fibrado supermultiplete asociado .

Fenomenológicamente, los supercampos se utilizan para describir partículas . Una característica de las teorías de campos supersimétricos es que las partículas forman pares, llamados supercompañeros , donde los bosones se emparejan con los fermiones .

Estos campos supersimétricos se utilizan para construir teorías de campos cuánticos supersimétricos , donde los campos se promueven a operadores .

Historia

Los supercampos fueron introducidos por Abdus Salam y JA Strathdee en un artículo de 1974. ^[1] Las operaciones sobre supercampos y una clasificación parcial fueron presentadas unos meses más tarde por Sergio Ferrara , Julius Wess y Bruno Zumino . ^[2]

Denominación y clasificación

Los supermultipletes más utilizados son los multipletes vectoriales, los multipletes quirales (en supersimetría, por ejemplo), los hipermultipletes (en supersimetría, por ejemplo), los multipletes tensoriales y los multipletes de gravedad. El componente más alto de un multiplete vectorial es un bosón de calibración , el componente más alto de un multiplete quiral o hipermultiplete es un espinor , el componente más alto de un multiplete de gravedad es un gravitón . Los nombres se definen de modo que sean invariantes bajo reducción dimensional , aunque la organización de los campos como representaciones del grupo de Lorentz cambia. ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=2}$

El uso de estos nombres para los diferentes multipletes puede variar en la literatura. Un multiplete quiral (cuyo componente más alto es un espinor) a veces puede denominarse multiplete escalar , y en SUSY, un multiplete vectorial (cuyo componente más alto es un vector) a veces puede denominarse multiplete quiral. ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=2}$

Supercampos en supersimetría d = 4, N = 1

Las convenciones en esta sección siguen las notas de Figueroa-O'Farrill (2001).

Un supercampo complejo general en supersimetría se puede expandir como ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+\theta \chi (x)+{\bar {\theta }}{\bar {\chi }}'(x)+{\bar {\theta }}\sigma ^{\mu }\theta V_{\mu }(x)+\theta ^{2}F(x)+{\bar {\theta }}^{2}{\bar {F}}'(x)+{\bar {\theta }}^{2}\theta \xi (x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\xi }}'(x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D(x)}$,

donde son diferentes cuerpos complejos. No se trata de un supermultiplete irreducible , por lo que se necesitan diferentes restricciones para aislar representaciones irreducibles. ${\displaystyle \phi ,\chi ,{\bar {\chi }}',V_{\mu },F,{\bar {F}}',\xi ,{\bar {\xi }}',D}$

Supercampo quiral

Un supercampo (anti)quiral es un supermultiplete de supersimetría. ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$

En cuatro dimensiones, la supersimetría mínima puede escribirse utilizando la noción de superespacio . El superespacio contiene las coordenadas espacio-temporales habituales , y cuatro coordenadas fermiónicas adicionales con , transformándose en un espinor de dos componentes (Weyl) y su conjugado. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2}$

En supersimetría , un supercuerpo quiral es una función sobre el superespacio quiral . Existe una proyección desde el superespacio (completo) al superespacio quiral. Por lo tanto, una función sobre el superespacio quiral se puede extraer hasta el superespacio completo. Una función de este tipo satisface la restricción covariante , donde es la derivada covariante, expresada en notación de índice como ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle {\overline {D}}\Phi =0}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$

${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Un supercampo quiral puede entonces expandirse como ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

${\displaystyle \Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),}$

donde . El supercampo es independiente de las 'coordenadas de espín conjugadas' en el sentido de que depende únicamente de . Se puede comprobar que ${\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle y^{\mu }}$ ${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.}$

La expansión tiene la interpretación de que es un campo escalar complejo, es un espinor de Weyl. También existe el campo escalar complejo auxiliar , llamado por convención: este es el término F que juega un papel importante en algunas teorías. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

El campo puede entonces expresarse en términos de las coordenadas originales sustituyendo la expresión por : ${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).}$

Supercampos antiquirales

De manera similar, también existe el superespacio antiquiral , que es el conjugado complejo del superespacio quiral, y los supercampos antiquirales .

Un supercampo antiquiral satisface donde ${\displaystyle \Phi ^{\dagger }}$ ${\displaystyle D\Phi ^{\dagger }=0,}$

${\displaystyle D_{\alpha }=\partial _{\alpha }+i\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}\partial _{\mu }.}$

Un supercampo antiquiral se puede construir como el conjugado complejo de un supercampo quiral.

Acciones de supercampos quirales

Para una acción que puede definirse a partir de un único supercampo quiral, véase el modelo de Wess-Zumino .

Supercampo vectorial

El supercampo vectorial es un supermultiplete de supersimetría. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

Un supercuerpo vectorial (también conocido como supercuerpo real) es una función que satisface la condición de realidad . Un cuerpo de este tipo admite la expansión ${\displaystyle V(x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle V=V^{\dagger }}$

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).}$

Los campos constituyentes son

• Dos campos escalares reales y ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$
• Un campo escalar complejo ${\displaystyle M+iN}$
• Dos campos de espinor de Weyl y ${\displaystyle \chi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda ^{\alpha }}$
• Un campo vectorial real ( campo de calibre ) ${\displaystyle A_{\mu }}$

Sus propiedades de transformación y usos se analizan con más detalle en la teoría de calibre supersimétrica .

Mediante transformaciones de calibre, los campos y se pueden poner a cero. Esto se conoce como calibre Wess-Zumino . En este calibre, la expansión adopta la forma mucho más simple ${\displaystyle C,\chi }$ ${\displaystyle M+iN}$

${\displaystyle V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.}$

Entonces es la superpareja de , mientras que es un campo escalar auxiliar. Se denomina convencionalmente , y se conoce como el término D . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Escalares

Un escalar nunca es el componente más alto de un supercampo; su aparición o no en un supercampo depende de la dimensión del espacio-tiempo. Por ejemplo, en una teoría N=1 de 10 dimensiones, el multiplete vectorial contiene solo un vector y un espinor de Majorana-Weyl , mientras que su reducción dimensional en un toro de dimensión d es un multiplete vectorial que contiene d escalares reales. De manera similar, en una teoría de 11 dimensiones solo hay un supermultiplete con un número finito de campos, el multiplete de gravedad, y no contiene escalares. Sin embargo, nuevamente su reducción dimensional en un toro de dimensión d a un multiplete de gravedad máximo sí contiene escalares.

Hipermultiplete

Un hipermultiplete es un tipo de representación de un álgebra de supersimetría extendida , en particular el multiplete de materia de supersimetría en 4 dimensiones, que contiene dos escalares complejos A _i , un espinor de Dirac ψ y otros dos escalares complejos auxiliares F _i . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

El nombre "hipermultiplete" proviene del antiguo término "hipersimetría" para la supersimetría N = 2 utilizado por Fayet (1976); este término ha sido abandonado, pero todavía se utiliza el nombre "hipermultiplete" para algunas de sus representaciones.

Supersimetría extendida (N > 1)

En esta sección se registran algunos supermultiplets irreducibles de uso común en la supersimetría extendida en el caso. Estos se construyen mediante una construcción de representación de mayor peso en el sentido de que hay un vector de vacío aniquilado por las supercargas . Las irreps tienen dimensión . Para los supermultiplets que representan partículas sin masa, por razones físicas el máximo permitido es , mientras que para la renormalización , el máximo permitido es . ^[3] ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle Q^{A},A=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle 2^{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

N = 2

El multiplete vectorial o quiral contiene un campo de calibración , dos fermiones de Weyl y un escalar (que también se transforman en la representación adjunta de un grupo de calibración ). Estos también se pueden organizar en un par de multipletes, un multiplete vectorial y un multiplete quiral . Un multiplete de este tipo se puede utilizar para definir la teoría de Seiberg-Witten de forma concisa. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda ,\psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle W=(A_{\mu },\lambda )}$ ${\displaystyle \Phi =(\phi ,\psi )}$

El hipermultiplete o multiplete escalar consta de dos fermiones de Weyl y dos escalares complejos, o dos multipletes quirales. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

N = 4

El multiplete vectorial contiene un campo de calibración, cuatro fermiones de Weyl, seis escalares y conjugados CPT . Esto aparece en la teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

Véase también

• Teoría de gauge supersimétrica
• Término D
• Término F

Referencias

1. Salam, Abdus; Strathdee, J. (mayo de 1994). Transformaciones de supercalibre. Vol. 5. págs. 404–409. Código Bibliográfico :1994spas.book..404S. doi :10.1142/9789812795915_0047. ISBN 978-981-02-1662-7. Recuperado el 3 de abril de 2023 . {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
2. Ferrara, Sergio; Wess, Julius; Zumino, Bruno (1974). "Multipletes de supercalibre y supercampos". Phys. Lett. B . 51 (3): 239–241. Código Bibliográfico :1974PhLB...51..239F. doi :10.1016/0370-2693(74)90283-4 . Consultado el 3 de abril de 2023 .
3. Krippendorf, Sven; Quevedo, Fernando; Schlotterer, Oliver (5 de noviembre de 2010). "Conferencias de Cambridge sobre supersimetría y dimensiones extra". arXiv : 1011.1491 [hep-th].

• Fayet, P. (1976), "Hipersimetría de Fermi-Bose", Nuclear Physics B , 113 (1): 135–155, Bibcode :1976NuPhB.113..135F, doi :10.1016/0550-3213(76)90458-2, MR  0416304
• Stephen P. Martin. Introducción a la supersimetría , arXiv:hep-ph/9709356 .
• Yuji Tachikawa. Dinámica supersimétrica N=2 para peatones , arXiv:1312.2684.
• Figueroa-O'Farrill, JM (2001). "Conferencias Busstepp sobre supersimetría". arXiv : hep-th/0109172 .