Potencial de doble pozo

El llamado potencial de doble pozo es uno de varios potenciales cuárticos de considerable interés en la mecánica cuántica , en la teoría cuántica de campos y en otros lugares para la exploración de diversos fenómenos físicos o propiedades matemáticas, ya que permite en muchos casos cálculos explícitos sin exceso. simplificación.

Así, el "potencial simétrico de doble pozo" sirvió durante muchos años como modelo para ilustrar el concepto de instantones como una configuración pseudoclásica en una teoría de campos euclidiana . ^[1] En el contexto de la mecánica cuántica más simple, este potencial sirvió como modelo para la evaluación de las integrales de trayectoria de Feynman . ^{[2] [3]} o la solución de la ecuación de Schrödinger por diversos métodos con el fin de obtener explícitamente los valores propios de energía.

El "potencial de doble pozo simétrico invertido", por otro lado, sirvió como un potencial no trivial en la ecuación de Schrödinger para el cálculo de las tasas de desintegración ^[4] y la exploración del comportamiento de orden grande de las expansiones asintóticas . ^{[5] [6] [7]}

La tercera forma del potencial cuártico es la de un "oscilador armónico simple perturbado" o ″oscilador anarmónico puro″ que tiene un espectro de energía puramente discreto.

El cuarto tipo de potencial cuártico posible es el de "forma asimétrica" ​​de uno de los dos primeros nombrados anteriormente.

Los potenciales de doble pozo y otros potenciales cuárticos pueden tratarse mediante una variedad de métodos, siendo los métodos principales (a) un método de perturbación (el de B. Dingle y HJW Müller-Kirsten ^[8] ) que requiere la imposición de condiciones de contorno, (b) el método WKB y (c) el método de la integral de trayectoria. Todos los casos se tratan en detalle en el libro de HJW Müller-Kirsten. ^[9] El comportamiento de orden grande de las expansiones asintóticas de las funciones de Mathieu y sus valores propios (también llamados números característicos) se ha derivado en otro artículo de RB Dingle y HJW Müller. ^[10]

El doble pozo simétrico

El principal interés en la literatura se ha centrado (por razones relacionadas con la teoría de campos) en el doble pozo simétrico (potencial), y luego en el estado fundamental de la mecánica cuántica. Dado que se trata de hacer un túnel a través de la joroba central del potencial, el cálculo de las energías propias de la ecuación de Schrödinger para este potencial no es trivial. El caso del estado fundamental está mediado por configuraciones pseudoclásicas conocidas como instanton y antiinstanton. En forma explícita, estas son funciones hiperbólicas. Como configuraciones pseudoclásicas, estas aparecen naturalmente en consideraciones semiclásicas ; la suma de pares instanton-anti-instanton (ampliamente separados) se conoce como aproximación del gas diluido. La energía propia del estado fundamental finalmente obtenida es una expresión que contiene el exponencial de la acción euclidiana del instantón. Esta es una expresión que contiene el factor y, por lo tanto, se describe como un efecto (clásico) no perturbativo. ${\displaystyle 1/\hbar }$

La estabilidad de la configuración del instantón en la teoría integral de trayectoria de una teoría de campo escalar con autointeracción simétrica de dos pozos se investiga utilizando la ecuación de pequeñas oscilaciones alrededor del instanten. Se encuentra que esta ecuación es una ecuación de Pöschl-Teller (es decir, una ecuación diferencial de segundo orden como la ecuación de Schrödinger con potencial de Pöschl-Teller ) con valores propios no negativos. La no negatividad de los valores propios es indicativa de la estabilidad del instanten. ^[11]

Como se indicó anteriormente, el instantón es la configuración de pseudopartícula definida en una línea infinita de tiempo euclidiano que comunica entre los dos pozos de potencial y es responsable del estado fundamental del sistema. Las configuraciones correspondientemente responsables de estados superiores, es decir, excitados, son instantes periódicos definidos en un círculo de tiempo euclidiano que de forma explícita se expresan en términos de funciones elípticas jacobianas (la generalización de funciones trigonométricas). La evaluación de la integral de trayectoria en estos casos implica integrales correspondientemente elípticas. La ecuación de pequeñas fluctuaciones sobre estos instantes periódicos es una ecuación de Lamé cuyas soluciones son funciones de Lamé . En casos de inestabilidad (como para el potencial de doble pozo invertido), esta ecuación posee valores propios negativos indicativos de esta inestabilidad, es decir, decaimiento. ^[11]

La aplicación del método de perturbación de Dingle y Müller (aplicado originalmente a la ecuación de Mathieu, es decir, una ecuación de Schrödinger con potencial coseno) requiere la explotación de las simetrías de los parámetros de la ecuación de Schrödinger para el potencial cuártico. Se expande alrededor de uno de los dos mínimos del potencial. Además, este método requiere hacer coincidir diferentes ramas de soluciones en dominios de superposición. La aplicación de condiciones de frontera produce finalmente (como en el caso del potencial periódico) el efecto no perturbativo.

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el potencial simétrico de doble pozo en la siguiente forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;c^{2}>0,h^{4}>0,}$

los valores propios de son (ver libro de Müller-Kirsten, fórmula (18.175b), p. 425) ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \;\;\;\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Claramente estos valores propios son asintóticamente ( ) degenerados como se esperaba de la parte armónica del potencial. Observe que los términos de la parte perturbativa del resultado son alternativamente pares o impares en y (como en los resultados correspondientes para funciones de Mathieu , funciones de Lamé , funciones de onda esferoidales prolatas , funciones de onda esferoidales achatadas y otras). ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle h^{2}}$

En contextos de teoría de campos, el potencial de doble pozo simétrico anterior a menudo se escribe ( siendo un campo escalar) ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2},}$

y el instanton es la solución de la ecuación tipo Newton ${\displaystyle \phi _{c}(\tau )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),\;\;\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2}-V(\phi )=-E_{cl}=0}$

( siendo el tiempo euclidiano), es decir ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right].}$

La ecuación de pequeñas fluctuaciones es la ecuación de Pöschl-Teller (ver potencial de Pöschl-Teller ) ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,}$

${\displaystyle \left[-{\frac {d^{2}}{d\tau ^{2}}}+V''(\phi _{c})\right]\eta _{n}(\tau )=\omega _{n}^{2}\eta _{n}(\tau ),}$

con

${\displaystyle V''(\phi _{c})=4m^{2}-{\frac {6m^{2}}{\cosh ^{2}m(\tau -\tau _{0})}}.}$

Dado que todos los valores propios son positivos o cero, la configuración instantónica es estable y no hay decadencia. ${\displaystyle \omega _{n}^{2}}$

En el caso más general de la solución clásica es el instante periódico ${\displaystyle E_{cl}\neq 0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {kb(k)}{g}}sn[b(k)(\tau -\tau _{0})],\;\;\;b(k)=m\left({\frac {2}{1+k^{2}}}\right)^{1/2},}$

¿Dónde está el módulo elíptico de la función elíptica jacobiana periódica ? La ecuación de pequeña fluctuación es en este caso general una ecuación de Lamé . En el límite, la solución se convierte en la solución instantánea de vacío, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle sn}$ ${\displaystyle k=1,E_{cl}=0}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$

${\displaystyle \phi _{c}={\frac {m}{g}}\tanh[m(\tau -\tau _{0})].}$

El potencial invertido del doble pozo

La teoría de la perturbación junto con el emparejamiento de soluciones en dominios de superposición y la imposición de condiciones de contorno (diferentes a las del doble pozo) se pueden usar nuevamente para obtener los valores propios de la ecuación de Schrödinger para este potencial. En este caso, sin embargo, se expande alrededor del valle central del potencial. Por tanto, los resultados son diferentes a los anteriores.

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el potencial de doble pozo invertido en la siguiente forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

se encuentra que los valores propios de son (ver libro de Müller-Kirsten, fórmula (18.86), p. 503) ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})+i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

La parte imaginaria de esta expresión concuerda con el resultado de CM Bender y TT Wu (ver su fórmula (3.36) y su conjunto , y en su notación ). ^[12] Este resultado juega un papel importante en la discusión e investigación del comportamiento de orden grande de la teoría de la perturbación. ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon }$

El oscilador anarmónico puro

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el oscilador anarmónico puro en la siguiente forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

se encuentra que los valores propios de son ${\displaystyle q=q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}qh^{2}+{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q^{2}+1)-{\frac {c^{4}}{h^{10}}}q(4q^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}}).}$

Se pueden calcular más términos fácilmente. Observe que los coeficientes de la expansión son alternativamente pares o impares en y , como en todos los demás casos. Este es un aspecto importante de las soluciones de la ecuación diferencial para potenciales cuárticos. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle h^{2}}$

Comentarios generales

Los resultados anteriores para el doble pozo y el doble pozo invertido también se pueden obtener mediante el método de integral de trayectoria (en este caso a través de instantes periódicos, cf. instantes ) y el método WKB, aunque con el uso de integrales elípticas y la aproximación de Stirling. de la función gamma , todo lo cual dificulta el cálculo. La propiedad de simetría de la parte perturbativa en los cambios q → - q , → - de los resultados sólo se puede obtener derivando la ecuación de Schrödinger, que es, por lo tanto, la forma mejor y correcta de obtener el resultado. Esta conclusión está respaldada por investigaciones de otras ecuaciones diferenciales de segundo orden como la ecuación de Mathieu y la ecuación de Lamé que exhiben propiedades similares en sus ecuaciones de valores propios. Además, en cada uno de estos casos (doble pozo, doble pozo invertido, potencial coseno) la ecuación de pequeñas fluctuaciones alrededor de la configuración clásica es una ecuación de Lamé. ${\displaystyle h^{2}}$ ${\displaystyle h^{2}}$

Referencias

1. S. Coleman, Los porqués de la física subnuclear, ed. A. Zichichi (Plenum Press, 1979), 805-916; S. Coleman, Los usos de los instantáneos, 1977 Escuela Internacional de Física Subnuclear, Ettore Majorana.
2. Dorado, Eldad; Patrascioiu, Adrian (15 de julio de 1977). "Contribuciones de pseudopartículas al espectro energético de un sistema unidimensional". Revisión física D. Sociedad Estadounidense de Física (APS). 16 (2): 423–430. doi :10.1103/physrevd.16.423. ISSN  0556-2821.
3. Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW (15 de noviembre de 1992). "Instantones periódicos y túneles mecánico-cuánticos a alta energía". Revisión física D. Sociedad Estadounidense de Física (APS). 46 (10): 4685–4690. doi :10.1103/physrevd.46.4685. ISSN  0556-2821. PMID  10014840.
4. Liang, JQ; Müller-Kirsten, HJW (15 de noviembre de 1994). "Rebotes sin vacío y túneles cuánticos con energía finita" (PDF) . Revisión física D. Sociedad Estadounidense de Física (APS). 50 (10): 6519–6530. doi :10.1103/physrevd.50.6519. ISSN  0556-2821. PMID  10017621.
5. Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (5 de agosto de 1968). "Estructura analítica de los niveles de energía en un modelo de teoría de campos". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 21 (6): 406–409. doi :10.1103/physrevlett.21.406. ISSN  0031-9007.
6. Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (16 de agosto de 1971). "Teoría del comportamiento de la perturbación de orden grande". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 27 (7): 461–465. doi :10.1103/physrevlett.27.461. ISSN  0031-9007.
7. Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (25 de agosto de 1969). "Oscilador anarmónico". Revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 184 (5): 1231-1260. doi : 10.1103/physrev.184.1231. ISSN  0031-899X.
8. Müller, HJW; Dingle, RB (1962). "Expansiones asintóticas de funciones de Mathieu y sus números característicos". Journal für die reine und angewandte Mathematik . Walter de Gruyter GmbH. 1962 (211): 11. doi :10.1515/crll.1962.211.11. ISSN  0075-4102. S2CID  117516747.en esta referencia se desarrolla el método de perturbación para el potencial coseno, es decir, la ecuación de Mathieu ; ver función de Mathieu .
9. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de ruta, 2ª ed. (World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5 ) 
10. RB Dingle y HJW Müller, La forma de los coeficientes de los términos tardíos en expansiones asintóticas de los números característicos de Mathieu y funciones de onda esferoidales , Journal für die reine und angewandte Mathematik, 216 (1964) 123-133. Véase también: HJW Müller-Kirsten, ``Teoría de la perturbación, división de niveles y comportamiento de orden grande'', Fortschritte der Physik 34 (1986) 775-790.
11. Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). "Solitones, rebotes y esfalerones en círculo". Letras de Física B. Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. doi :10.1016/0370-2693(92)90486-n. ISSN  0370-2693.
12. Bender, Carl M.; Wu, Tai Tsun (15 de marzo de 1973). "Oscilador anarmónico. II. Un estudio de la teoría de la perturbación en orden grande". Revisión física D. Sociedad Estadounidense de Física (APS). 7 (6): 1620-1636. doi :10.1103/physrevd.7.1620. ISSN  0556-2821.