Potencial de Pöschl-Teller

En física matemática, un potencial de Pöschl-Teller , llamado así por los físicos Herta Pöschl ^[1] (acreditado como G. Pöschl) y Edward Teller , es una clase especial de potenciales para los cuales la ecuación unidimensional de Schrödinger puede resolverse en términos de funciones especiales .

Definición

En su forma simétrica está explícitamente dada por ^[2]

Potencial de Pöschl-Teller simétrico: . Muestra los valores propios para μ=1, 2, 3, 4, 5, 6. ${\displaystyle -{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\operatorname {sech} ^{2}(x)}$

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)}$

y las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}$

con este potencial se puede encontrar en virtud de la sustitución , que produce ${\displaystyle u=\mathrm {tanh(x)} }$

${\displaystyle \left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0}$.

Por lo tanto , las soluciones son solo las funciones de Legendre con , y ,. Además, los valores propios y los datos de dispersión se pueden calcular explícitamente. ^[3] En el caso especial de un número entero , el potencial no tiene reflexión y dichos potenciales también surgen como las soluciones de N-solitones de la ecuación de Korteweg-De Vries . ^[4] ${\displaystyle \psi (u)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(\tanh(x))}$ ${\displaystyle E=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \lambda =1,2,3\cdots }$ ${\displaystyle \mu =1,2,\cdots ,\lambda -1,\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

La forma más general del potencial viene dada por ^[2]

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-{\frac {\nu (\nu +1)}{2}}\mathrm {csch} ^{2}(x).}$

Potencial de Rosen-Morse

Un potencial relacionado se obtiene introduciendo un término adicional: ^[5]

${\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}\mathrm {sech} ^{2}(x)-g\tanh x.}$

Ver también

• potencial morse
• Potencial trigonométrico de Rosen-Morse

Lista de referencias

1. ""Memoria biográfica de Edward Teller. "Por Stephen B. Libby y Andrew M. Sessler, 2009 (publicado en el Simposio del Centenario de Edward Teller: la física moderna y el legado científico de Edward Teller, World Scientific, 2010" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 18 de enero de 2017. Consultado el 29 de noviembre de 2011 .
2. Pöschl, G.; Cajero, E. (1933). "Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators". Zeitschrift für Physik . 83 (3–4): 143–151. Código bibliográfico : 1933ZPhy...83..143P. doi :10.1007/BF01331132. S2CID  124830271.
3. Siegfried Flügge Mecánica cuántica práctica (Springer, 1998)
4. Lekner, John (2007). "Estados propios no reflexivos del potencial sech2". Revista Estadounidense de Física . 875 (12): 1151-1157. Código bibliográfico : 2007AmJPh..75.1151L. doi :10.1119/1.2787015.
5. Barut, AO; Inomata, A.; Wilson, R. (1987). "Tratamiento algebraico de segundas ecuaciones de Poschl-Teller, Morse-Rosen y Eckart". Revista de Física A: Matemática y General . 20 (13): 4083. Código bibliográfico : 1987JPhA...20.4083B. doi :10.1088/0305-4470/20/13/017. ISSN  0305-4470.

enlaces externos

• Estados propios para los potenciales de Pöschl-Teller