Fibrado tangente

Espacios tangentes de una variedad

De manera informal, el fibrado tangente de una variedad (que en este caso es un círculo) se obtiene considerando todos los espacios tangentes (arriba) y uniéndolos de manera suave y sin superposiciones (abajo). ^{[nota 1]}

Un fibrado tangente es la colección de todos los espacios tangentes para todos los puntos de una variedad , estructurada de manera que forma una nueva variedad a su vez. Formalmente, en geometría diferencial , el fibrado tangente de una variedad diferenciable es una variedad que reúne todos los vectores tangentes en . Como conjunto, está dado por la unión disjunta ^{[nota 1]} de los espacios tangentes de . Es decir, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

donde denota el espacio tangente a en el punto . Por lo tanto, un elemento de puede considerarse como un par , donde es un punto en y es un vector tangente a en . ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

Hay una proyección natural

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

definido por . Esta proyección asigna cada elemento del espacio tangente al único punto . ${\displaystyle \pi (x,v)=x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

El fibrado tangente viene equipado con una topología natural (descrita en una sección a continuación). Con esta topología, el fibrado tangente a una variedad es el ejemplo prototípico de un fibrado vectorial (que es un fibrado de fibras cuyas fibras son espacios vectoriales ). Una sección de es un campo vectorial en , y el fibrado dual a es el fibrado cotangente , que es la unión disjunta de los espacios cotangentes de . Por definición, una variedad es paralelizable si y solo si el fibrado tangente es trivial . Por definición, una variedad está enmarcada si y solo si el fibrado tangente es establemente trivial, lo que significa que para algún fibrado trivial la suma de Whitney es trivial. Por ejemplo, la esfera n -dimensional S ⁿ está enmarcada para todo n , pero es paralelizable solo para n = 1, 3, 7 (por resultados de Bott-Milnor y Kervaire). ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM\oplus E}$

Role

Una de las funciones principales del fibrado tangente es proporcionar un dominio y un rango para la derivada de una función suavizada. Es decir, si es una función suavizada, con y variedades suavizadas, su derivada es una función suavizada . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$

Topología y estructura suave

El fibrado tangente viene equipado con una topología natural ( no la topología de unión disjunta ) y una estructura suave para convertirse en una variedad por derecho propio. La dimensión de es el doble de la dimensión de . ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

Cada espacio tangente de una variedad n -dimensional es un espacio vectorial n -dimensional. Si es un subconjunto contráctil abierto de , entonces hay un difeomorfismo que se restringe a un isomorfismo lineal desde cada espacio tangente a . Sin embargo, como una variedad no siempre es difeomorfa con respecto a la variedad producto . Cuando tiene la forma , entonces se dice que el fibrado tangente es trivial . Los fibrados tangentes triviales suelen darse para variedades equipadas con una "estructura de grupo compatible"; por ejemplo, en el caso en que la variedad es un grupo de Lie . El fibrado tangente del círculo unitario es trivial porque es un grupo de Lie (bajo la multiplicación y su estructura diferencial natural). Sin embargo, no es cierto que todos los espacios con fibrados tangentes triviales sean grupos de Lie; las variedades que tienen un fibrado tangente trivial se denominan paralelizables . Así como las variedades se modelan localmente en el espacio euclidiano , los fibrados tangentes se modelan localmente en , donde es un subconjunto abierto del espacio euclidiano. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}U}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

Si M es una variedad n -dimensional suave, entonces viene equipada con un atlas de gráficos , donde es un conjunto abierto en y ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

es un difeomorfismo . Estas coordenadas locales en dan lugar a un isomorfismo para todo . Podemos entonces definir una función ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}$

por

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

Usamos estos mapas para definir la topología y la estructura suave en . Un subconjunto de es abierto si y solo si ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}$

está abierto en para cada Estos mapas son homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de y y por lo tanto sirven como gráficos para la estructura suave en . Las funciones de transición en las superposiciones de gráficos son inducidas por las matrices jacobianas de la transformación de coordenadas asociada y por lo tanto son mapas suaves entre subconjuntos abiertos de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

El fibrado tangente es un ejemplo de una construcción más general llamada fibrado vectorial (que es en sí mismo un tipo específico de fibrado de fibras ). Explícitamente, el fibrado tangente a una variedad dimensional puede definirse como un fibrado vectorial de rango sobre cuyas funciones de transición están dadas por el jacobiano de las transformaciones de coordenadas asociadas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

El ejemplo más simple es el de . En este caso el fibrado tangente es trivial: cada uno es canónicamente isomorfo a mediante la función que resta , dando un difeomorfismo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$

Otro ejemplo sencillo es el círculo unitario , (ver la imagen de arriba). El fibrado tangente del círculo también es trivial e isomorfo a . Geométricamente, se trata de un cilindro de altura infinita. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

Los únicos fibrados tangentes que se pueden visualizar fácilmente son los de la línea real y el círculo unitario , ambos triviales. Para variedades bidimensionales, el fibrado tangente es cuatridimensional y, por lo tanto, difícil de visualizar. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

Un ejemplo sencillo de un fibrado tangente no trivial es el de la esfera unitaria : este fibrado tangente es no trivial como consecuencia del teorema de la bola peluda . Por lo tanto, la esfera no es paralelizable . ${\displaystyle S^{2}}$

Campos vectoriales

Una asignación suave de un vector tangente a cada punto de una variedad se denomina campo vectorial . En concreto, un campo vectorial en una variedad es una función suave. ${\displaystyle M}$

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

de modo que con para cada . En el lenguaje de los fibrados, una función de este tipo se denomina sección . Por lo tanto, un campo vectorial en es una sección del fibrado tangente de . ${\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}$ ${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

El conjunto de todos los campos vectoriales en se denota por . Los campos vectoriales se pueden sumar puntualmente ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

y multiplicado por funciones suaves en M

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$

para obtener otros campos vectoriales. El conjunto de todos los campos vectoriales adopta entonces la estructura de un módulo sobre el álgebra conmutativa de funciones suaves en M , denotado . ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Un campo vectorial local en es una sección local del fibrado tangente. Es decir, un campo vectorial local se define solo en algún conjunto abierto y se asigna a cada punto de un vector en el espacio tangente asociado. El conjunto de campos vectoriales locales en forma una estructura conocida como haz de espacios vectoriales reales en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

La construcción anterior se aplica igualmente bien al fibrado cotangente: las 1-formas diferenciales en son precisamente las secciones del fibrado cotangente , que asocian a cada punto un 1-covector , que asigna vectores tangentes a números reales: . De manera equivalente, una 1-forma diferencial asigna un campo vectorial suave a una función suave . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}$

Fibrados tangentes de orden superior

Dado que el fibrado tangente es en sí mismo una variedad suave, el fibrado tangente de segundo orden se puede definir mediante la aplicación repetida de la construcción del fibrado tangente: ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}$

En general, el fibrado tangente de orden ésimo se puede definir recursivamente como . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T^{k}M}$ ${\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}$

Una función suave tiene una derivada inducida, para la cual el fibrado tangente es el dominio y el rango apropiados . De manera similar, los fibrados tangentes de orden superior proporcionan el dominio y el rango para las derivadas de orden superior . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$ ${\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}$

Una construcción distinta pero relacionada son los haces de chorros en una variedad, que son haces que consisten en chorros .

Campo vectorial canónico sobre fibrado tangente

En cada fibrado tangente , considerado como una variedad en sí mismo, se puede definir un campo vectorial canónico como la función diagonal en el espacio tangente en cada punto. Esto es posible porque el espacio tangente de un espacio vectorial W es naturalmente un producto, ya que el espacio vectorial en sí es plano, y por lo tanto tiene una función diagonal natural dada por bajo esta estructura de producto. Aplicando esta estructura de producto al espacio tangente en cada punto y globalizando se obtiene el campo vectorial canónico. De manera informal, aunque la variedad es curva, cada espacio tangente en un punto , , es plano, por lo que la variedad de fibrado tangente es localmente un producto de una curva y una plana. Por lo tanto, el fibrado tangente del fibrado tangente es localmente (usando para "elección de coordenadas" y para "identificación natural"): ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$ ${\displaystyle TW\cong W\times W,}$ ${\displaystyle W\to TW}$ ${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \cong }$

${\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

y el mapa es la proyección sobre las primeras coordenadas: ${\displaystyle TTM\to TM}$

${\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}$

Al dividir el primer mapa a través de la sección cero y el segundo mapa por la diagonal se obtiene el campo vectorial canónico.

Si son coordenadas locales para , el campo vectorial tiene la expresión ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}$

En términos más concisos, el primer par de coordenadas no cambia porque es la sección de un haz y estos son solo los puntos en el espacio base: el último par de coordenadas es la sección misma. Esta expresión para el campo vectorial depende solo de , no de , ya que solo las direcciones tangentes se pueden identificar de forma natural. ${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$

Alternativamente, considere la función de multiplicación escalar:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}$

La derivada de esta función con respecto a la variable en el tiempo es una función , que es una descripción alternativa del campo vectorial canónico. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$

La existencia de un campo vectorial de este tipo en es análoga a la forma única canónica en el fibrado cotangente . A veces también se denomina campo vectorial de Liouville o campo vectorial radial . Mediante uno se puede caracterizar el fibrado tangente. Esencialmente, se puede caracterizar utilizando 4 axiomas, y si una variedad tiene un campo vectorial que satisface estos axiomas, entonces la variedad es un fibrado tangente y el campo vectorial es el campo vectorial canónico en ella. Véase, por ejemplo, De León et al. ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Ascensores

Existen varias formas de elevar objetos en hacia objetos en . Por ejemplo, si es una curva en , entonces (la tangente de ) es una curva en . Por el contrario, sin suposiciones adicionales sobre (por ejemplo, una métrica de Riemann ), no hay una elevación similar hacia el fibrado cotangente . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

La elevación vertical de una función es la función definida por , donde es la proyección canónica. ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }$ ${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$

Véase también

• Empuje hacia adelante (diferencial)
• Fibrado tangente unitario
• Fibrado cotangente
• Paquete de marcos
• Isomorfismo musical

Notas

1. La unión disjunta asegura que para cualesquiera dos puntos x ₁ y x ₂ de la variedad M los espacios tangentes T ₁ y T ₂ no tengan un vector común. Esto se ilustra gráficamente en la imagen adjunta para el fibrado tangente del círculo S ¹ , ver la sección de Ejemplos: todas las tangentes a un círculo se encuentran en el plano del círculo. Para hacerlas disjuntas es necesario alinearlas en un plano perpendicular al plano del círculo.

Referencias

• Lee, Jeffrey M. (2009), Variedades y geometría diferencial , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 107, Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9 
• Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades suaves . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN . 978-1-4419-9981-8.
• Jürgen Jost , Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-42627-2 
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres. ISBN 0-8053-0102-X 
• León, M. De; Merino, E.; Oubiña, JA; Salgado, M. (1994). "Una caracterización de paquetes tangentes y tangentes estables" (PDF) . Annales de l'IHP: Physique Théorique . 61 (1): 1–15.
• Gudmundsson, Sigmundur; Kappos, Elias (2002). "Sobre la geometría de los fibrados tangentes". Expositiones Mathematicae . 20 : 1–41. doi :10.1016/S0723-0869(02)80027-5.

Enlaces externos

• "Fibrado tangente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: paquete de tangentes
• PlanetMath: Paquete tangente