Espacio de clasificación para U(n)

Caso de homotopía exacta

En matemáticas , el espacio clasificatorio para el grupo unitario U( n ) es un espacio BU( n ) junto con un fibrado universal EU( n ) tal que cualquier fibrado hermítico en un espacio paracompacto X es el pull-back de EU( n ) por una función X → BU( n ) única hasta homotopía.

Este espacio con su fibración universal puede construirse como

1. el Grassmanniano de n -planos en un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita ; o,
2. el límite directo, con la topología inducida, de Grassmannianos de n planos.

Ambas construcciones se detallan aquí.

La construcción como un Grassmanniano infinito

El espacio total EU( n ) del fibrado universal está dado por

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.}$

Aquí, H denota un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita, los e _i son vectores en H y es el delta de Kronecker . El símbolo es el producto interno en H. Por lo tanto, tenemos que EU( n ) es el espacio de n -marcos ortonormales en H . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

La acción grupal de U( n ) en este espacio es la natural. El espacio base es entonces

${\displaystyle BU(n)=EU(n)/U(n)}$

y es el conjunto de subespacios n -dimensionales (o n -planos) de Grassmann en H . Es decir,

${\displaystyle BU(n)=\{V\subset H\ :\ \dim V=n\}}$

de modo que V es un espacio vectorial n -dimensional.

Caso de haces de líneas

Para n = 1, se tiene EU(1) = S ^∞ , que se sabe que es un espacio contráctil . El espacio base es entonces BU(1) = CP ^{∞ , el} espacio proyectivo complejo de dimensión infinita . Por lo tanto, el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados circulares sobre una variedad M están en correspondencia biunívoca con las clases de homotopía de las funciones de M a CP ^∞ .

También se tiene la relación de que

${\displaystyle BU(1)=PU(H),}$

es decir, BU(1) es el grupo unitario proyectivo de dimensión infinita . Consulte ese artículo para obtener más información y propiedades.

Para un toro T , que es abstractamente isomorfo a U(1) × ... × U(1), pero que no necesita tener una identificación elegida, se escribe B T .

La teoría topológica K ₀ (B T ) está dada por polinomios numéricos ; más detalles a continuación.

La construcción como límite inductivo

Sea F _n ( C ^k ) el espacio de familias ortonormales de n vectores en C ^k y sea G _n ( C ^k ) el Grassmanniano de espacios subvectoriales n -dimensionales de C ^k . El espacio total del fibrado universal puede tomarse como el límite directo de F _n ( C ^k ) cuando k → ∞, mientras que el espacio base es el límite directo de G _n ( C ^k ) cuando k → ∞.

Validez de la construcción

En esta sección, definiremos la topología en EU( n ) y demostraremos que EU( n ) es de hecho contráctil.

El grupo U( n ) actúa libremente sobre F _n ( C ^k ) y el cociente es el Grassmanniano G _n ( C ^k ). La función

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(\mathbf {C} ^{k})&\longrightarrow \mathbf {S} ^{2k-1}\\(e_{1},\ldots ,e_{n})&\longmapsto e_{n}\end{aligned}}}$

es un haz de fibras de fibra F _{n −1} ( C ^{k −1} ). Por lo tanto, debido a que es trivial y debido a la larga secuencia exacta de la fibración , tenemos ${\displaystyle \pi _{p}(\mathbf {S} ^{2k-1})}$

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))}$

siempre que . Al tomar k lo suficientemente grande, precisamente para , podemos repetir el proceso y obtener ${\displaystyle p\leq 2k-2}$ ${\displaystyle k>{\tfrac {1}{2}}p+n-1}$

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))=\cdots =\pi _{p}(F_{1}(\mathbf {C} ^{k+1-n}))=\pi _{p}(\mathbf {S} ^{k-n}).}$

Este último grupo es trivial para k  >  n  +  p . Sea

${\displaystyle EU(n)={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }F_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

sea ​​el límite directo de todos los F _n ( C ^k ) (con la topología inducida). Sea

${\displaystyle G_{n}(\mathbf {C} ^{\infty })={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }G_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

sea ​​el límite directo de todos los G _n ( C ^k ) (con la topología inducida).

Lema: El grupo es trivial para todo p ≥ 1. ${\displaystyle \pi _{p}(EU(n))}$

Demostración: Sea γ : S ^p → EU( n ), puesto que S ^p es compacto , existe k tal que γ( S ^p ) está incluido en F _n ( C ^k ). Al tomar k suficientemente grande, vemos que γ es homotópico, respecto del punto base, a la función constante. ${\displaystyle \Box }$

Además, U( n ) actúa libremente sobre EU( n ). Los espacios F _n ( C ^k ) y G _n ( C ^k ) son complejos CW . Se puede encontrar una descomposición de estos espacios en complejos CW tales que la descomposición de F _n ( C ^k ), resp. G _n ( C ^k ), se induce por restricción de la de F _n ( C ^{k +1} ), resp. G _n ( C ^{k +1} ). Por lo tanto, EU( n ) (y también G _n ( C ^∞ )) es un complejo CW. Por el teorema de Whitehead y el lema anterior, EU( n ) es contráctil.

Cohomología de BU(norte)

Proposición : El anillo de cohomología con coeficientes en el anillo de números enteros se genera mediante las clases de Chern : ^[1] ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].}$

Demostración: Consideremos primero el caso n = 1. En este caso, U(1) es el círculo S ¹ y el fibrado universal es S ^∞ → CP ^∞ . Es bien sabido ^[2] que la cohomología de CP ^k es isomorfa a , donde c ₁ es la clase de Euler del fibrado U(1) S ^{2 k +1} → CP ^k , y que las inyecciones CP ^k → CP ^{k +1} , para k ∈ N *, son compatibles con estas presentaciones de la cohomología de los espacios proyectivos. Esto prueba la Proposición para n = 1. ${\displaystyle \mathbf {R} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}$

Existen secuencias de fibras de homotopía

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

Concretamente, un punto del espacio total está dado por un punto del espacio base que clasifica un espacio vectorial complejo , junto con un vector unitario en ; juntos clasifican mientras que la división , trivializada por , realiza la función que representa la suma directa con ${\displaystyle BU(n-1)}$ ${\displaystyle BU(n)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u^{\perp }<V}$ ${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Aplicando la secuencia Gysin , se tiene una secuencia larga y exacta

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots }$

donde es la clase fundamental de la fibra . Por propiedades de la secuencia Gysin ^{[ cita requerida ]} , es un homomorfismo multiplicativo; por inducción, se genera por elementos con , donde debe ser cero y, por lo tanto, donde debe ser sobreyectivo. Se deduce que debe ser siempre sobreyectivo: por la propiedad universal de los anillos polinómicos , una elección de preimagen para cada generador induce una división multiplicativa. Por lo tanto, por exactitud, debe ser siempre inyectiva . Por lo tanto, tenemos secuencias exactas cortas divididas por un homomorfismo de anillo ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}BU(n-1)}$ ${\displaystyle p<-1}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }$

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

Por lo tanto concluimos donde . Esto completa la inducción. ${\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}$ ${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta }$

Teoría K de BU(norte)

Considere la teoría K compleja topológica como la teoría de cohomología representada por el espectro . En este caso, , ^[3] y es el módulo libre en y para y . ^[4] En esta descripción, la estructura del producto en proviene de la estructura del espacio H de dada por la suma de fibrados vectoriales de Whitney. Este producto se llama producto de Pontryagin . ${\displaystyle KU}$ ${\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}$ ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \beta _{0}}$ ${\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}}$ ${\displaystyle n\geq i_{j}>0}$ ${\displaystyle r\leq n}$ ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$ ${\displaystyle BU}$

La teoría K topológica se conoce explícitamente en términos de polinomios simétricos numéricos .

La teoría K se reduce al cálculo de K ₀ , ya que la teoría K es 2-periódica según el teorema de periodicidad de Bott , y BU( n ) es un límite de variedades complejas, por lo que tiene una estructura CW con solo celdas en dimensiones pares, por lo que la teoría K impar se desvanece.

Por lo tanto , donde , donde t es el generador de Bott. ${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$

K ₀ (BU(1)) es el anillo de polinomios numéricos en w , considerado como un subanillo de H _∗ (BU(1); Q ) = Q [ w ], donde w es el elemento dual del fibrado tautológico.

Para el toro n , K ₀ (B T ⁿ ) son polinomios numéricos en n variables. La función K ₀ (B T ⁿ ) → K ₀ (BU( n )) es sobreyectiva, mediante un principio de desdoblamiento , ya que T ⁿ es el toro máximo de U( n ). La función es la función de simetrización.

${\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

y la imagen puede identificarse como los polinomios simétricos que satisfacen la condición de integralidad que

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} }$

dónde

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

es el coeficiente multinomial y contiene r números enteros distintos, repetidos veces, respectivamente. ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$

Espacio clasificador infinito

Las inclusiones canónicas inducen inclusiones canónicas en sus respectivos espacios de clasificación. Sus respectivos colímites se denotan como: ${\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)}$ ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}$

${\displaystyle \operatorname {U} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);}$

${\displaystyle \operatorname {BU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).}$

${\displaystyle \operatorname {BU} }$es de hecho el espacio de clasificación de . ${\displaystyle \operatorname {U} }$

Véase también

• Espacio de clasificación para O( n )
• Espacio de clasificación para SO(n)
• Espacio de clasificación para SU(n)
• Teoría K topológica
• Teorema de Atiyah-Jänich

Notas

1. Hatcher 02, Teorema 4D.4.
2. R. Bott, LW Tu-- Formas diferenciales en topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas 82, Springer
3. Adams 1974, pág. 49
4. Adams 1974, pág. 47

Referencias

• JF Adams (1974), Homotopía estable y homología generalizada , University Of Chicago Press, ISBN 0-226-00524-0Contiene el cálculo de y . ${\displaystyle KU^{*}(BU(n))}$ ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$
• S. Ochanine; L. Schwartz (1985), "Une remarque sur les générateurs du cobordisme complex", Math. Z. , 190 (4): 543–557, doi :10.1007/BF01214753Contiene una descripción de un comomúltiplo para cualquier grupo de Lie compacto y conectado. ${\displaystyle K_{0}(BG)}$ ${\displaystyle K_{0}(K)}$
• L. Schwartz (1983), "K-théorie et homotopie stable", Tesis , Universidad de París-VIIDescripción explícita de ${\displaystyle K_{0}(BU(n))}$
• A. Baker; F. Clarke; N. Ray; L. Schwartz (1989), "Sobre las congruencias de Kummer y la homotopía estable de BU ", Trans. Amer. Math. Soc. , 316 (2), American Mathematical Society: 385–432, doi :10.2307/2001355, JSTOR  2001355
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.
• Mitchell, Stephen (agosto de 2001). Fibrados principales universales y espacios de clasificación (PDF) .{{cite book}}: CS1 maint: year (link)

Enlaces externos

• Clasificando el espacio en nLab
• BU(n) en nLab