En matemáticas , el teorema de Kuiper (en honor a Nicolaas Kuiper ) es un resultado de la topología de operadores en un espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita H. Afirma que el espacio GL( H ) de endomorfismos acotados invertibles de H es tal que todas las funciones de cualquier complejo finito Y en GL( H ) son homotópicas a una constante, para la topología de la norma en operadores.
Un corolario significativo, también conocido como teorema de Kuiper , es que este grupo es débilmente contráctil , es decir, todos sus grupos de homotopía son triviales. Este resultado tiene usos importantes en la teoría K topológica .
Para H de dimensión finita , este grupo sería un grupo lineal general complejo y para nada contráctil. De hecho, es homotópicamente equivalente a su subgrupo compacto máximo , el grupo unitario U de H. La prueba de que el grupo lineal general complejo y el grupo unitario tienen el mismo tipo de homotopía se realiza mediante el proceso de Gram-Schmidt , o mediante la descomposición polar matricial , y se traslada al caso de dimensión infinita del espacio de Hilbert separable , básicamente porque el espacio de matrices triangulares superiores es contráctil como se puede ver de forma bastante explícita. El fenómeno subyacente es que pasar a infinitas dimensiones hace que gran parte de la complejidad topológica de los grupos unitarios se desvanezca; pero véase la sección sobre el grupo unitario de Bott, donde el paso al infinito está más restringido y el grupo resultante tiene grupos de homotopía no triviales.
Es un hecho sorprendente que la esfera unitaria , a veces denotada S ∞ , en el espacio de Hilbert de dimensión infinita H sea un espacio contráctil , mientras que ninguna esfera de dimensión finita es contráctil. Este resultado, ciertamente conocido décadas antes del de Kuiper, puede tener el estatus de folclore matemático , pero se cita con bastante frecuencia. [1] [2] De hecho, es más cierto: S ∞ es difeomórfica de H , que ciertamente es contráctil por su convexidad. [3] Una consecuencia es que hay contraejemplos suaves para una extensión del teorema de punto fijo de Brouwer a la bola unitaria en H . [4] La existencia de tales contraejemplos que son homeomorfismos fue demostrada en 1943 por Shizuo Kakutani , quien puede haber escrito por primera vez una prueba de la contractibilidad de la esfera unitaria. [5] Pero el resultado ya era conocido en esencia (en 1935 Andrey Nikolayevich Tychonoff demostró que la esfera unitaria era un retracto de la bola unitaria). [6]
El resultado sobre el grupo de operadores acotados fue demostrado por el matemático holandés Nicolaas Kuiper , para el caso de un espacio de Hilbert separable; la restricción de separabilidad fue levantada posteriormente. [7] El mismo resultado, pero para la topología de operadores fuertes en lugar de la topología de normas, fue publicado en 1963 por Jacques Dixmier y Adrien Douady . [8] La relación geométrica de la esfera y el grupo de operadores es que la esfera unitaria es un espacio homogéneo para el grupo unitario U. El estabilizador de un solo vector v de la esfera unitaria es el grupo unitario del complemento ortogonal de v ; por lo tanto, la secuencia exacta larga de homotopía predice que todos los grupos de homotopía de la esfera unitaria serán triviales. Esto muestra la estrecha relación topológica, pero no es en sí mismo suficiente, ya que la inclusión de un punto será solo una equivalencia de homotopía débil , y eso implica contractibilidad directamente solo para un complejo CW . En un artículo publicado dos años después del de Kuiper, [9]
Existe otro grupo unitario de dimensión infinita, de gran importancia en la teoría de la homotopía , al que se aplica el teorema de periodicidad de Bott . Ciertamente no es contráctil. La diferencia con el grupo de Kuiper se puede explicar: el grupo de Bott es el subgrupo en el que un operador dado actúa de manera no trivial solo en un subespacio abarcado por los primeros N de una base ortonormal fija { e i }, para algún N , siendo la identidad en los vectores base restantes.
Una consecuencia inmediata, dada la teoría general de los fibrados de fibras , es que cada fibrado de Hilbert es un fibrado trivial . [10]
El resultado sobre la contractibilidad de S ∞ da una construcción geométrica de espacios de clasificación para ciertos grupos que actúan libremente sobre él, como el grupo cíclico con dos elementos y el grupo circular . El grupo unitario U en el sentido de Bott tiene un espacio de clasificación BU para fibrados vectoriales complejos (véase Espacio de clasificación para U(n) ). Una aplicación más profunda que proviene del teorema de Kuiper es la demostración del teorema de Atiyah–Jänich (según Klaus Jänich y Michael Atiyah ), que establece que el espacio de operadores de Fredholm sobre H , con la topología de norma, representa el funtor K (.) de la K-teoría topológica (compleja), en el sentido de la teoría de homotopía. Esto lo da Atiyah. [11]
La misma pregunta puede plantearse acerca de los operadores invertibles en cualquier espacio de Banach de dimensión infinita. Aquí sólo hay resultados parciales. Algunos espacios de sucesiones clásicas tienen la misma propiedad, a saber, que el grupo de operadores invertibles es contráctil. Por otra parte, hay ejemplos conocidos en los que no es un espacio conexo . [12] Cuando se sabe que todos los grupos de homotopía son triviales, la contractibilidad en algunos casos puede permanecer desconocida.