Anillo de cohomología

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el anillo de cohomología de un espacio topológico X es un anillo formado a partir de los grupos de cohomología de X junto con el producto de copa que sirve como multiplicación de anillos. Aquí, la "cohomología" generalmente se entiende como cohomología singular , pero la estructura de anillo también está presente en otras teorías como la cohomología de De Rham . También es funcional : para una aplicación continua de espacios se obtiene un homomorfismo de anillo en anillos de cohomología, que es contravariante.

Específicamente, dada una secuencia de grupos de cohomología H ^k ( X ; R ) en X con coeficientes en un anillo conmutativo R (típicamente R es Z _n , Z , Q , R o C ) se puede definir el producto de copa , que toma la forma

${\displaystyle H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).}$

El producto de copa da una multiplicación de la suma directa de los grupos de cohomología.

${\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}$

Esta multiplicación convierte a H ^• ( X ; R ) en un anillo. De hecho, es naturalmente un anillo con N grados , en el que el entero no negativo k actúa como grado. El producto de taza respeta esta graduación.

El anillo de cohomología es conmutativo graduado en el sentido de que el producto de copa conmuta hasta un signo determinado por la graduación. Específicamente, para elementos puros de grado k y ℓ; tenemos

${\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}$

Un invariante numérico derivado del anillo de cohomología es la longitud de copa , que significa el número máximo de elementos graduados de grado ≥ 1 que al multiplicarse dan un resultado distinto de cero. Por ejemplo, un espacio proyectivo complejo tiene una longitud de copa igual a su dimensión compleja .

Ejemplos

• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=2}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=2}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=4}$
• ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}$dónde . ${\displaystyle |\alpha |=4}$
• Por la fórmula de Künneth , el anillo de cohomología módulo 2 del producto cartesiano de n copias de es un anillo polinomial en n variables con coeficientes en . ${\displaystyle \mathbb {R} P^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• El anillo de cohomología reducido de sumas de cuña es el producto directo de sus anillos de cohomología reducidos.
• El anillo de cohomología de suspensiones desaparece excepto en la parte de grado 0.

Véase también

• Cohomología cuántica

Referencias

• Novikov, SP (1996). Topología I, Estudio General . Springer-Verlag. ISBN 7-03-016673-6.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.