Espacio de clasificación para SO(n)

En matemáticas , el espacio de clasificación para el grupo ortogonal especial es el espacio base del fibrado principal universal . Esto significa que los fibrados principales sobre un complejo CW hasta el isomorfismo están en biyección con las clases de homotopía de sus aplicaciones continuas en . El isomorfismo está dado por pullback . ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$

Definición

Existe una inclusión canónica de Grassmannianos orientados reales dada por . Su colimite es: ^[1] ${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}$

${\displaystyle \operatorname {BSO} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).}$

Dado que los Grassmannianos orientados reales pueden expresarse como un espacio homogéneo mediante:

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {SO} (n+k)/(\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {SO} (k))}$

La estructura del grupo se traslada a . ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$

Espacios de clasificación más simples

• Dado que es el grupo trivial , es el espacio topológico trivial. ${\displaystyle \operatorname {SO} (1)\cong 1}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}}$

• Desde entonces , uno tiene . ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$

Clasificación de los haces principales

Dado un espacio topológico, el conjunto de fibrados principales que lo componen hasta el isomorfismo se denota como . Si es un complejo CW , entonces la función: ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)}$

es biyectiva​

Anillo de cohomología

El anillo de cohomología con coeficientes en el cuerpo de dos elementos se genera mediante las clases de Stiefel–Whitney : ^{[3] [4]} ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].}$

Los resultados son válidos de forma más general para cada anillo con característica . ${\displaystyle \operatorname {char} =2}$

El anillo de cohomología de con coeficientes en el cuerpo de números racionales se genera mediante las clases de Pontrjagin y la clase de Euler : ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (2n);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n},e]/(p_{n}-e^{2}),}$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (2n+1);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

Los resultados son válidos de forma más general para cada anillo con característica . ${\displaystyle \operatorname {char} \neq 2}$

Espacio clasificador infinito

Las inclusiones canónicas inducen inclusiones canónicas en sus respectivos espacios de clasificación. Sus respectivos colímites se denotan como: ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)}$ ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)}$

${\displaystyle \operatorname {SO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n);}$

${\displaystyle \operatorname {BSO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n).}$

${\displaystyle \operatorname {BSO} }$es de hecho el espacio de clasificación de . ${\displaystyle \operatorname {SO} }$

Véase también

• Espacio de clasificación para O(n)
• Espacio de clasificación para U(n)
• Espacio de clasificación para SU(n)

Literatura

• Milnor, John ; Stasheff, James (1974). Clases características (PDF) . Princeton University Press. doi :10.1515/9781400881826. ISBN 9780691081229.
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.
• Mitchell, Stephen (agosto de 2001). Fibrados principales universales y espacios de clasificación (PDF) .{{cite book}}: CS1 maint: year (link)

Enlaces externos

• Clasificando el espacio en nLab
• BSO(n) en nLab

Referencias

1. Milnor & Stasheff 74, sección 12.2 El haz universal orientado en la página 151
2. "haz principal universal". nLab . Consultado el 14 de marzo de 2024 .
3. Milnor y Stasheff, Teorema 12.4.
4. Hatcher 02, Ejemplo 4D.6.