Polinomio de valor entero

En matemáticas , un polinomio de valor entero (también conocido como polinomio numérico ) es un polinomio cuyo valor es un entero para cada entero n . Todo polinomio con coeficientes enteros es de valor entero, pero la recíproca no es cierta. Por ejemplo, el polinomio ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle P(n)}$

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)}$

toma valores enteros siempre que t sea un entero. Esto se debe a que uno de t y debe ser un número par . (Los valores que toma este polinomio son los números triangulares ). ${\displaystyle t+1}$

Los polinomios con valores enteros son objetos de estudio por derecho propio en el álgebra y aparecen con frecuencia en la topología algebraica . ^[1]

Clasificación

La clase de polinomios de valor entero fue descrita completamente por George Pólya  (1915). Dentro del anillo polinómico de polinomios con coeficientes de números racionales , el subanillo de polinomios de valor entero es un grupo abeliano libre . Tiene como base los polinomios ${\displaystyle \mathbb {Q} [t]}$

${\displaystyle P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!}$

para , es decir, los coeficientes binomiales . En otras palabras, cada polinomio de valor entero se puede escribir como una combinación lineal entera de coeficientes binomiales de exactamente una manera. La prueba es por el método de series de Taylor discretas : los coeficientes binomiales son polinomios de valor entero y, a la inversa, la diferencia discreta de una serie entera es una serie entera, por lo que la serie de Taylor discreta de una serie entera generada por un polinomio tiene coeficientes enteros (y es una serie finita). ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

Divisores primos fijos

Los polinomios con valores enteros se pueden utilizar de manera eficaz para resolver cuestiones sobre divisores fijos de polinomios. Por ejemplo, los polinomios P ​​con coeficientes enteros que siempre toman valores de números pares son precisamente aquellos que tienen valores enteros. Éstos, a su vez, son los polinomios que se pueden expresar como una combinación lineal con coeficientes enteros pares de los coeficientes binomiales. ${\displaystyle P/2}$

En cuestiones de teoría de números primos, como la hipótesis H de Schinzel y la conjetura de Bateman-Horn , es de importancia básica entender el caso en el que P no tiene divisor primo fijo (esto se ha llamado propiedad de Bunyakovsky ^{[ cita requerida ]} , en honor a Viktor Bunyakovsky ). Al escribir P en términos de los coeficientes binomiales, vemos que el divisor primo fijo más alto es también el factor común primo más alto de los coeficientes en dicha representación. Por lo tanto, la propiedad de Bunyakovsky es equivalente a los coeficientes coprimos.

A modo de ejemplo, el par de polinomios y viola esta condición en : para cada producto ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+2}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

es divisible por 3, lo que se deduce de la representación

${\displaystyle n(n^{2}+2)=6{\binom {n}{3}}+6{\binom {n}{2}}+3{\binom {n}{1}}}$

con respecto a la base binomial, donde el máximo común divisor de los coeficientes (y por tanto el máximo divisor fijo de ) es 3. ${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

Otros anillos

Los polinomios numéricos se pueden definir sobre otros anillos y campos, en cuyo caso los polinomios de valor entero anteriores se denominan polinomios numéricos clásicos . ^{[ cita requerida ]}

Aplicaciones

La teoría K de BU( n ) son polinomios numéricos (simétricos).

El polinomio de Hilbert de un anillo de polinomios en k  + 1 variables es el polinomio numérico . ${\displaystyle {\binom {t+k}{k}}}$

Referencias

1. Johnson, Keith (2014), "Teoría de homotopía estable, leyes de grupos formales y polinomios de valores enteros", en Fontana, Marco; Frisch, Sophie; Glaz, Sarah (eds.), Álgebra conmutativa: avances recientes en anillos conmutativos, polinomios de valores enteros y funciones polinomiales, Springer, págs. 213-224, ISBN 9781493909254. Véanse en particular las págs. 213-214.

Álgebra

• Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997), Polinomios con valores enteros , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 48, Providence, RI: American Mathematical Society , MR  1421321
• Pólya, George (1915), "Über ganzwertige ganze Funktionen", Palermo Rend. (en alemán), 40 : 1–16, ISSN  0009-725X, JFM  45.0655.02

Topología algebraica

• Baker, Andrew; Clarke, Francis; Ray, Nigel; Schwartz, Lionel (1989), "Sobre las congruencias de Kummer y la homotopía estable de BU ", Transactions of the American Mathematical Society , 316 (2): 385–432, doi :10.2307/2001355, JSTOR  2001355, MR  0942424

• Ekedahl, Torsten (2002), "Sobre modelos mínimos en la teoría de homotopía integral", Homology, Homotopy and Applications , 4 (2): 191–218, arXiv : math/0107004 , doi : 10.4310/hha.2002.v4.n2.a9 , MR  1918189, Zbl  1065.55003

• Elliott, Jesse (2006). "Anillos binomiales, polinomios de valor entero y anillos λ". Revista de álgebra pura y aplicada . 207 (1): 165–185. doi :10.1016/j.jpaa.2005.09.003. MR  2244389.

• Hubbuck, John R. (1997), "Formas numéricas", Journal of the London Mathematical Society , Serie 2, 55 (1): 65–75, doi :10.1112/S0024610796004395, MR  1423286

Lectura adicional

• Narkiewicz, Ladislao (1995). Mapeos polinómicos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1600. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-59435-3. ISSN  0075-8434. Zbl  0829.11002.