Colector de Stiefel

En matemáticas , la variedad de Stiefel es el conjunto de todos los k -marcos ortonormales en Es decir, es el conjunto de k -tuplas ortonormales ordenadas de vectores en Recibe su nombre del matemático suizo Eduard Stiefel . Asimismo, se puede definir la variedad compleja de Stiefel de k -marcos ortonormales en y la variedad cuaterniónica de Stiefel de k -marcos ortonormales en . De manera más general, la construcción se aplica a cualquier espacio de producto interno real, complejo o cuaterniónico . ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {H} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

En algunos contextos, una variedad de Stiefel no compacta se define como el conjunto de todos los k -marcos linealmente independientes en o esto es homotópicamente equivalente a la definición más restrictiva, ya que la variedad de Stiefel compacta es una retracción de deformación de la no compacta, al emplear el proceso de Gram-Schmidt . Las afirmaciones sobre la forma no compacta corresponden a las de la forma compacta, reemplazando el grupo ortogonal (o grupo unitario o simpléctico ) con el grupo lineal general . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n};}$

Topología

Sea o La variedad de Stiefel se puede considerar como un conjunto de matrices n × k escribiendo un marco k como una matriz de k vectores columna en La condición de ortonormalidad se expresa por A * A = donde A * denota la transpuesta conjugada de A y denota la matriz identidad k × k . Entonces tenemos ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}.}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle I_{k}}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})=\left\{A\in \mathbb {F} ^{n\times k}:A^{*}A=I_{k}\right\}.}$

La topología en es la topología del subespacio heredada de Con esta topología es una variedad compacta cuya dimensión está dada por ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n\times k}.}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)\\\dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&=2nk-k^{2}\\\dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&=4nk-k(2k-1)\end{aligned}}}$

Como espacio homogéneo

Cada una de las variedades de Stiefel puede verse como un espacio homogéneo para la acción de un grupo clásico de manera natural. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Toda transformación ortogonal de un marco k da como resultado otro marco k , y dos marcos k cualesquiera están relacionados por alguna transformación ortogonal. En otras palabras, el grupo ortogonal O( n ) actúa transitivamente sobre El subgrupo estabilizador de un marco dado es el subgrupo isomorfo a O( n − k ) que actúa de manera no trivial sobre el complemento ortogonal del espacio abarcado por ese marco. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Del mismo modo, el grupo unitario U( n ) actúa transitivamente sobre el subgrupo estabilizador U( n − k ) y el grupo simpléctico Sp( n ) actúa transitivamente sobre el subgrupo estabilizador Sp( n − k ). ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {H} ^{n})}$

En cada caso se puede considerar como un espacio homogéneo: ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong {\mbox{O}}(n)/{\mbox{O}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong {\mbox{U}}(n)/{\mbox{U}}(n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong {\mbox{Sp}}(n)/{\mbox{Sp}}(n-k)\end{aligned}}}$

Cuando k = n , la acción correspondiente es libre, de modo que la variedad de Stiefel es un espacio homogéneo principal para el grupo clásico correspondiente. ${\displaystyle V_{n}(\mathbb {F} ^{n})}$

Cuando k es estrictamente menor que n entonces el grupo ortogonal especial SO( n ) también actúa transitivamente sobre el subgrupo estabilizador isomorfo a SO( n − k ) de modo que ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\cong {\mbox{SO}}(n)/{\mbox{SO}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.}$

Lo mismo se aplica a la acción del grupo unitario especial en ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\cong {\mbox{SU}}(n)/{\mbox{SU}}(n-k)\qquad {\mbox{for }}k<n.}$

Por lo tanto, para k = n  − 1, la variedad de Stiefel es un espacio homogéneo principal para el grupo clásico especial correspondiente .

Medida uniforme

La variedad de Stiefel puede estar dotada de una medida uniforme , es decir, una medida de Borel que sea invariante bajo la acción de los grupos indicados anteriormente. Por ejemplo, que es isomorfo al círculo unitario en el plano euclidiano, tiene como medida uniforme la medida uniforme natural ( longitud de arco ) en el círculo. Es sencillo muestrear esta medida en utilizando matrices aleatorias gaussianas : si es una matriz aleatoria con entradas independientes distribuidas de forma idéntica según la distribución normal estándar en y A  =  QR es la factorización QR de A , entonces las matrices, son variables aleatorias independientes y Q se distribuye según la medida uniforme en Este resultado es una consecuencia del teorema de descomposición de Bartlett . ^[1] ${\displaystyle V_{1}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{n\times k}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{n\times k},R\in \mathbb {F} ^{k\times k}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n}).}$

Casos especiales

Un cuadro 1 no es nada más que un vector unitario, por lo que la variedad de Stiefel es simplemente la esfera unitaria en Por lo tanto: ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle V_{1}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}(\mathbb {R} ^{n})&=S^{n-1}\\V_{1}(\mathbb {C} ^{n})&=S^{2n-1}\\V_{1}(\mathbb {H} ^{n})&=S^{4n-1}\end{aligned}}}$

Dado un sistema de 2 elementos, el primer vector define un punto en S ^{n −1} y el segundo un vector tangente unitario a la esfera en ese punto. De esta manera, la variedad de Stiefel puede identificarse con el fibrado tangente unitario a S ^{n −1} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Cuando k = n o n −1 vimos en la sección anterior que es un espacio homogéneo principal, y por tanto difeomorfo al grupo clásico correspondiente: ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {SO} (n)\\V_{n-1}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {SU} (n)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \mathrm {O} (n)\\V_{n}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \mathrm {U} (n)\\V_{n}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \mathrm {Sp} (n)\end{aligned}}}$

Funcionalidad

Dada una inclusión ortogonal entre espacios vectoriales, la imagen de un conjunto de k vectores ortonormales es ortonormal, por lo que hay una inclusión cerrada inducida de variedades de Stiefel, y esto es funtorial . Más sutilmente, dado un espacio vectorial n -dimensional X , la construcción de base dual da una biyección entre bases para X y bases para el espacio dual que es continua, y por lo tanto produce un homeomorfismo de variedades de Stiefel superiores . Esto también es funtorial para isomorfismos de espacios vectoriales. ${\displaystyle X\hookrightarrow Y,}$ ${\displaystyle V_{k}(X)\hookrightarrow V_{k}(Y),}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle V_{n}(X){\stackrel {\sim }{\to }}V_{n}(X^{*}).}$

Como paquete principal

Hay una proyección natural

${\displaystyle p:V_{k}(\mathbb {F} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

de la variedad de Stiefel a la de Grassmann de k -planos en la que envía un k -marco al subespacio generado por ese marco. La fibra sobre un punto dado P en es el conjunto de todos los k -marcos ortonormales contenidos en el espacio P . ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle G_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Esta proyección tiene la estructura de un fibrado principal G donde G es el grupo clásico asociado de grado k . Tomemos el caso real para la concreción. Existe una acción derecha natural de O( k ) sobre la cual rota un marco k en el espacio que abarca. Esta acción es libre pero no transitiva. Las órbitas de esta acción son precisamente los marcos k ortonormales que abarcan un subespacio k -dimensional dado ; es decir, son las fibras de la función p . Argumentos similares se sostienen en los casos complejo y cuaterniónico. ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

Tenemos entonces una secuencia de haces principales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\mathrm {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\mathrm {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n})\end{aligned}}}$

Los fibrados vectoriales asociados a estos fibrados principales por la acción natural de G sobre son simplemente los fibrados tautológicos sobre los Grassmannianos. En otras palabras, la variedad de Stiefel es el fibrado de marco ortogonal, unitario o simpléctico asociado al fibrado tautológico sobre un Grassmanniano. ${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}}$ ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {F} ^{n})}$

Cuando se pasa al límite, estos fibrados se convierten en los fibrados universales de los grupos clásicos. ${\displaystyle n\to \infty }$

Homotopía

Los colectores Stiefel pertenecen a una familia de fibraciones :

${\displaystyle V_{k-1}(\mathbb {R} ^{n-1})\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to S^{n-1},}$

Por lo tanto, el primer grupo de homotopía no trivial del espacio tiene dimensión n  −  k . Además, ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \pi _{n-k}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {Z} &n-k{\text{ even or }}k=1\\\mathbb {Z} _{2}&n-k{\text{ odd and }}k>1\end{cases}}}$

Este resultado se utiliza en la definición teórica de obstrucción de las clases de Stiefel-Whitney .

Véase también

• Colector de banderas
• Distribución matricial de Langevin ^{[2] [3]}

Referencias

1. Muirhead, Robb J. (1982). Aspectos de la teoría estadística multivariante . John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. pp. xix+673. ISBN 0-471-09442-0.
2. Chikuse, Yasuko (1 de mayo de 2003). "Distribuciones de Langevin de matrices concentradas". Journal of Multivariate Analysis . 85 (2): 375–394. doi : 10.1016/S0047-259X(02)00065-9 . ISSN  0047-259X.
3. Pal, Subhadip; Sengupta, Subhajit; Mitra, Riten; Banerjee, Arunava (septiembre de 2020). "Prioridades conjugadas e inferencia posterior para la distribución matricial de Langevin en la variedad de Stiefel". Análisis bayesiano . 15 (3): 871–908. doi : 10.1214/19-BA1176 . ISSN  1936-0975.

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles ((3.ª ed.) ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94087-1.
• James, Ioan Mackenzie (1976). Topología de las variedades de Stiefel. Archivo CUP. ISBN 978-0-521-21334-9.
• "Variedad de Stiefel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]