Paquete Grassmann

En geometría algebraica, el fibrado de Grassmann en el plano d de un fibrado vectorial E en un esquema algebraico X es un esquema sobre X :

${\displaystyle p:G_{d}(E)\to X}$

de modo que la fibra es el Grassmanniano de los subespacios vectoriales d -dimensionales de . Por ejemplo, es el fibrado proyectivo de E . En la otra dirección, un fibrado de Grassmann es un caso especial de un fibrado bandera (parcial) . Concretamente, el fibrado de Grassmann se puede construir como un esquema de quot . ${\displaystyle p^{-1}(x)=G_{d}(E_{x})}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle G_{1}(E)=\mathbb {P} (E)}$

Al igual que el fibrado de Grassmann habitual, el fibrado de Grassmann viene con fibrados vectoriales naturales; es decir, hay un subfibrado universal o tautológico S y un fibrado cociente universal Q que encajan en

${\displaystyle 0\to S\to p^{*}E\to Q\to 0}$.

En concreto, si V está en la fibra p ⁻¹ ( x ), entonces la fibra de S sobre V es la propia V ; por tanto, S tiene rango r = d = dim( V ) y es el fibrado lineal determinante . Ahora bien, por la propiedad universal de un fibrado proyectivo, la inyección corresponde al morfismo sobre X : ${\displaystyle \wedge ^{d}S}$ ${\displaystyle \wedge ^{r}S\to p^{*}(\wedge ^{r}E)}$

${\displaystyle G_{d}(E)\to \mathbb {P} (\wedge ^{r}E)}$,

que no es nada más que una familia de incrustaciones de Plücker .

El fibrado tangente relativo T _{G d ( E )/ X} de G _d ( E ) está dado por ^[1]

${\displaystyle T_{G_{d}(E)/X}=\operatorname {Hom} (S,Q)=S^{\vee }\otimes Q,}$

que moralmente se da por la segunda forma fundamental . En el caso d = 1, se da de la siguiente manera: si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces para cada línea en V que pasa por el origen (un punto de ), existe la identificación natural (véase la clase de Chern #Espacio proyectivo complejo por ejemplo): ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (l,V/l)=T_{l}\mathbb {P} (V)}$

Y lo anterior es la versión familiar de esta identificación. (El cuidado general es una generalización de esto.)

En el caso d = 1, la secuencia exacta temprana tensada con el dual de S = O (-1) da:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}\to p^{*}E\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1)\to T_{\mathbb {P} (E)/X}\to 0}$,

que es la versión relativa de la secuencia de Euler .

Referencias

1. Fulton 1998, Apéndice B.5.8

• Eisenbud, David; Joe, Harris (2016), 3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica , CUP, ISBN 978-1107602724
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323