En matemáticas , en particular en geometría algebraica , una variedad algebraica completa es una variedad algebraica X , tal que para cualquier variedad Y el morfismo de proyección
es un mapa cerrado (es decir, asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados). [a] Esto puede verse como un análogo de la compacidad en geometría algebraica: un espacio topológico X es compacto si y sólo si el mapa de proyección anterior es cerrado con respecto a los productos topológicos.
La imagen de una variedad completa es cerrada y es una variedad completa. Una subvariedad cerrada de una variedad completa es completa.
Una variedad compleja es completa si y sólo si es compacta como variedad analítica compleja .
El ejemplo más común de variedad completa es una variedad proyectiva , pero existen variedades completas no proyectivas en dimensiones 2 y superiores. Si bien cualquier superficie no singular completa es proyectiva, [1] existen variedades completas no singulares en dimensión 3 y superiores que no son proyectivas. [2] Los primeros ejemplos de variedades completas no proyectivas fueron dados por Masayoshi Nagata [2] y Heisuke Hironaka . [3] Un espacio afín de dimensión positiva no está completo.
El morfismo que lleva una variedad completa a un punto es un morfismo propio , en el sentido de la teoría de esquemas . Una justificación intuitiva de "completo", en el sentido de "no faltan puntos", se puede dar sobre la base del criterio de valoración de la idoneidad , que se remonta a Claude Chevalley .
