En matemáticas , el teorema del cubo es una condición para que un fibrado lineal sobre un producto de tres variedades completas sea trivial. Fue un principio descubierto, en el contexto de la equivalencia lineal , por la escuela italiana de geometría algebraica . La versión final del teorema del cubo fue publicada por primera vez por Lang (1959), quien la atribuyó a André Weil . Kleiman (2005) realizó una discusión de la historia. Mumford (2008) realizó un tratamiento mediante cohomología de haces y una descripción en términos del funtor de Picard .
El teorema establece que para cualquier variedad completa U , V y W sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, y dados los puntos u , v y w sobre ellos, cualquier haz invertible L que tenga una restricción trivial para cada uno de U × V × { w }, U × { v } × W y { u } × V × W , es en sí mismo trivial. (Mumford p. 55; el resultado allí es ligeramente más fuerte, en el sentido de que una de las variedades no necesita ser completa y puede ser reemplazada por un esquema conexo.)
En un espacio anillado X , un haz invertible L es trivial si es isomorfo a O X , como un O X -módulo. Si la base X es una variedad compleja , entonces un haz invertible es (el haz de secciones de) un fibrado lineal holomorfo , y trivial significa holomorfamente equivalente a un fibrado trivial , no solo topológicamente equivalente.
El resultado de Weil ha sido reformulado en términos de biextensiones, un concepto que ahora se utiliza generalmente en la teoría de dualidad de variedades abelianas . [1]
El teorema del cuadrado (Lang 1959) (Mumford 2008, p.59) es un corolario (también debido a Weil) que se aplica a una variedad abeliana A . Una versión de este afirma que la función φ L que toma x ∈ A a T*
xL ⊗ L −1 es un homomorfismo de grupo de A a Pic ( A ) (donde T*
xes traducción de x en paquetes en línea).