El lema de Chow

El lema de Chow , llamado así por Wei-Liang Chow , es uno de los resultados fundamentales de la geometría algebraica . A grandes rasgos, dice que un morfismo propio está bastante cerca de ser un morfismo proyectivo . Más precisamente, una versión del mismo establece lo siguiente: ^[1]

Si es un esquema que es apropiado sobre una base noetheriana , entonces existe un esquema proyectivo y un morfismo sobreyectivo que induce un isomorfismo para algún abierto denso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)\simeq U}$ ${\displaystyle U\subseteq X.}$

Prueba

La prueba aquí es estándar. ^[2]

Reducción al caso de incógnita {\estilo de visualización X} irreducible

Primero podemos reducir al caso donde es irreducible. Para empezar, es noetheriano ya que es de tipo finito sobre una base noetheriana. Por lo tanto, tiene un número finito de componentes irreducibles , y afirmamos que para cada uno hay un esquema propio irreducible de modo que tiene imagen de la teoría de conjuntos y es un isomorfismo en el subconjunto denso abierto de . Para ver esto, definamos que es la imagen de la teoría de esquemas de la inmersión abierta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}\to X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.}$

Como es noetheriano en teoría de conjuntos para cada , la función es cuasicompacta y podemos calcular esta imagen en teoría de esquemas de manera afín-local en , demostrando inmediatamente las dos afirmaciones. Si podemos producir para cada uno un esquema proyectivo como en el enunciado del teorema, entonces podemos tomar como la unión disjunta y como la composición : esta función es proyectiva, y un isomorfismo sobre un conjunto abierto denso de , mientras que es un esquema proyectivo ya que es una unión finita de esquemas proyectivos. Como cada uno es propio sobre , hemos completado la reducción al caso irreducible. ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

X {\displaystyle X} puede ser cubierto por un número finito de funciones cuasi-proyectivas S {\displaystyle S} -esquemas

A continuación, demostraremos que puede ser cubierto por un número finito de subconjuntos abiertos de modo que cada uno sea cuasi-proyectivo sobre . Para ello, podemos, por cuasi-compacidad, cubrir primero por un número finito de abiertos afines , y luego cubrir la preimagen de cada uno en por un número finito de abiertos afines cada uno con una inmersión cerrada en a puesto que es de tipo finito y, por tanto, cuasi-compacto. Al componer esta función con las inmersiones abiertas y , vemos que cada uno es un subesquema cerrado de un subesquema abierto de . Como es noetheriano, cada subesquema cerrado de un subesquema abierto es también un subesquema abierto de un subesquema cerrado, y por tanto cada uno es cuasi-proyectivo sobre . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle S_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{jk}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle X_{ij}}$ ${\displaystyle S}$

Construcción de X ′ {\displaystyle X'} y f : X ′ → X {\displaystyle f:X'\to X}

Supongamos ahora que es una cubierta abierta finita de por esquemas cuasi-proyectivos , con una inmersión abierta en un esquema proyectivo. El conjunto , que no es vacío, es irreducible. Las restricciones de la para definir un morfismo ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to P_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}}$

de modo que , donde es la inyección canónica y es la proyección. Si denotamos la inmersión abierta canónica, definimos , que afirmamos que es una inmersión. Para ver esto, note que este morfismo se puede factorizar como el morfismo de grafo (que es una inmersión cerrada como está separado) seguido de la inmersión abierta ; como es noetheriano, podemos aplicar la misma lógica que antes para ver que podemos intercambiar el orden de las inmersiones abiertas y cerradas. ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}}$ ${\displaystyle U\to U_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}$ ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle U\to U\times _{S}P}$ ${\displaystyle P\to S}$ ${\displaystyle U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle X\times _{S}P}$

Sea ahora la imagen teórica de esquema de , y factorice como ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P}$

donde es una inmersión abierta y es una inmersión cerrada. Sean y las proyecciones canónicas. ${\displaystyle \psi '}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle q_{1}:X\times _{S}P\to X}$ ${\displaystyle q_{2}:X\times _{S}P\to P}$

${\displaystyle f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,}$

${\displaystyle g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.}$

Demostraremos que y satisfacemos la conclusión del teorema. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f}$

Verificación de las propiedades reivindicadas de X ′ {\displaystyle X'} y f {\displaystyle f}

Para demostrar que es sobreyectiva, notamos primero que es propia y, por lo tanto, cerrada. Como su imagen contiene el conjunto abierto denso , vemos que debe ser sobreyectiva. También es sencillo ver que induce un isomorfismo en : podemos simplemente combinar los hechos de que y es un isomorfismo en a su imagen, como factores como la composición de una inmersión cerrada seguida de una inmersión abierta . Queda por demostrar que es proyectiva sobre . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle S}$

Lo haremos demostrando que se trata de una inmersión. Definimos las siguientes cuatro familias de subesquemas abiertos: ${\displaystyle g:X'\to P}$

${\displaystyle V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}}$

${\displaystyle W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P}$

${\displaystyle U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'}$

${\displaystyle U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.}$

Como la cubierta , la cubierta , y deseamos demostrar que también cubren . Haremos esto mostrando que para todos . Basta con mostrar que es igual a como una función de espacios topológicos. Reemplazando por su reducción, que tiene el mismo espacio topológico subyacente, tenemos que los dos morfismos son ambos extensiones de la función subyacente del espacio topológico , por lo que por el lema reducido a separado deben ser iguales como es topológicamente denso en . Por lo tanto para todos y la afirmación está probada. ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}'}$ ${\displaystyle (U_{i}')_{red}\to P_{i}}$ ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ ${\displaystyle i}$

El resultado es que la cubierta , y podemos comprobar que es una inmersión comprobando que es una inmersión para todos . Para ello, considere el morfismo ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle g(X')}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.}$

Como está separado, el morfismo del grafo es una inmersión cerrada y el grafo es un subesquema cerrado de ; si mostramos que se factoriza a través de este grafo (donde consideramos a través de nuestra observación que es un isomorfismo sobre de antes), entonces la función de también debe factorizarse a través de este grafo por construcción de la imagen de la teoría del esquema. Como la restricción de a es un isomorfismo sobre , la restricción de a será una inmersión en , y nuestra afirmación quedará probada. Sea la inyección canónica ; tenemos que mostrar que hay un morfismo tal que . Por la definición del producto de fibras, basta con demostrar que , o identificando y , que . Pero y , por lo que la conclusión deseada se sigue de la definición de y es una inmersión. Como es propio, cualquier -morfismo fuera de es cerrado, y por lo tanto es una inmersión cerrada, por lo que es proyectivo. ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle \Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})}$ ${\displaystyle X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle U\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U_{i}''}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}:U\subset X'\to W_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}}$ ${\displaystyle q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U\subset X'}$ ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi }$ ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =j}$ ${\displaystyle q_{2}\circ \psi =\phi }$ ${\displaystyle \phi :U\to P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X'\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle g:X'\to P}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Declaraciones adicionales

En el enunciado del lema de Chow, si es reducido, irreducible o integral, podemos suponer que lo mismo se aplica a . Si tanto como son irreducibles, entonces es un morfismo biracional . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$

Referencias

1. Hartshorne 1977, Cap. II. Ejercicio 4.10.
2. Grothendieck y Dieudonné 1961, 5.6.1.
3. Grothendieck y Dieudonné 1961, 5.6.

Bibliografía

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 . doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157