Alexander Nikolaevich Varchenko ( en ruso : Александр Николаевич Варченко ; nacido el 6 de febrero de 1949) es un matemático soviético y ruso que trabaja en geometría , topología , combinatoria y física matemática .
De 1964 a 1966, Varchenko estudió en el internado Kolmogorov nº 18 de Moscú para estudiantes superdotados de secundaria, donde Andrey Kolmogorov y Ya. A. Smorodinsky impartían clases de matemáticas y física. Varchenko se graduó en la Universidad Estatal de Moscú en 1971. Fue alumno de Vladimir Arnold . [1] Varchenko defendió su tesis doctoral en la Universidad Estatal de Moscú en 1972. tesis Teoremas sobre Equisingularidad Topológica de Familias de Conjuntos Algebraicos y Aplicaciones en 1974 y tesis de Doctor en Ciencias Asintótica de Integrales e Invariantes Algebro-Geométricas de Puntos Críticos de Funciones en 1982. De 1974 a 1984 fue científico investigador en la Universidad Estatal de Moscú, en 1985-1990 profesor en el Instituto Gubkin de Gas y Petróleo , y desde 1991 ha sido Profesor Ernest Eliel en la Universidad de Carolina del Norte en Chapel Hill .
En 1969 Varchenko identificó el grupo de monodromía de un punto crítico de tipo de una función de un número impar de variables con el grupo simétrico que es el grupo de Weyl del álgebra de Lie simple de tipo . [2]
En 1971, Varchenko demostró que una familia de conjuntos algebraicos cuasi-proyectivos complejos con una base irreducible forma un fibrado topológicamente localmente trivial sobre un subconjunto abierto de Zariski de la base. [3] Esta afirmación, conjeturada por Oscar Zariski , había llenado un vacío en la prueba del teorema de Zariski sobre el grupo fundamental del complemento a una hipersuperficie algebraica compleja [4] publicada en 1937. En 1973, Varchenko demostró la conjetura de René Thom de que un germen de una función suave genérica es topológicamente equivalente a un germen de una función polinómica y tiene una deformación versal topológica polinómica de dimensión finita, mientras que las funciones no genéricas forman un subconjunto de codimensión infinita en el espacio de todos los gérmenes. [5]
Varchenko fue uno de los creadores de la teoría de los polígonos de Newton en la teoría de la singularidad; en particular, dio una fórmula que relaciona los polígonos de Newton y las asintóticas de las integrales oscilatorias asociadas con un punto crítico de una función. Usando la fórmula, Varchenko construyó un contraejemplo a la conjetura de semicontinuidad de VI Arnold de que el brillo de la luz en un punto de una cáustica no es menor que el brillo en los puntos vecinos. [6]
Varchenko formuló una conjetura sobre la semicontinuidad del espectro de un punto crítico bajo deformaciones del punto crítico y la demostró para deformaciones de bajo peso de singularidades cuasi homogéneas. Usando la semicontinuidad, Varchenko dio una estimación de lo anterior para el número de puntos singulares de una hipersuperficie proyectiva de grado y dimensión dados. [7]
Varchenko introdujo la estructura de Hodge mixta asintótica en la cohomología, que se desvanece en un punto crítico de una función, mediante el estudio de la asintótica de las integrales de formas diferenciales holomorfas sobre familias de ciclos que se desvanecen. Dicha integral depende del parámetro, es decir, del valor de la función. La integral tiene dos propiedades: la rapidez con la que tiende a cero, cuando el parámetro tiende al valor crítico, y la forma en que cambia la integral, cuando el parámetro gira alrededor del valor crítico. La primera propiedad se utilizó para definir la filtración de Hodge de la estructura de Hodge mixta asintótica y la segunda propiedad se utilizó para definir la filtración de peso. [8]
La segunda parte del 16.º problema de Hilbert consiste en decidir si existe un límite superior para el número de ciclos límite en campos vectoriales polinómicos de grado dado. El 16.º problema infinitesimal de Hilbert, formulado por VI Arnold, consiste en decidir si existe un límite superior para el número de ceros de una integral de una forma diferencial polinómica sobre una familia de curvas de nivel de un hamiltoniano polinómico en términos de los grados de los coeficientes de la forma diferencial y del grado del hamiltoniano. Varchenko demostró la existencia del límite en el 16.º problema infinitesimal de Hilbert. [9]
Vadim Schechtman y Varchenko identificaron en [10] las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov (o ecuaciones KZ) con una conexión Gauss-Manin adecuada y construyeron soluciones hipergeométricas multidimensionales de las ecuaciones KZ. En esa construcción, las soluciones fueron etiquetadas por elementos de un grupo de homología adecuado. Luego, el grupo de homología se identificó con un espacio de multiplicidad del producto tensorial de representaciones de un grupo cuántico adecuado y la representación monodromía de las ecuaciones KZ se identificó con la representación de matriz R asociada. Esta construcción proporcionó una prueba geométrica del teorema de Kohno-Drinfeld [11] [12] sobre la monodromía de las ecuaciones KZ. Una imagen similar se desarrolló para las ecuaciones KZ cuánticas (o ecuaciones diferenciales de tipo qKZ) en trabajos conjuntos con Giovanni Felder y Vitaly Tarasov. [13] [14] Las funciones de peso que aparecen en soluciones hipergeométricas multidimensionales se identificaron posteriormente con envolventes estables en la geometría enumerativa equivariante de Andrei Okounkov . [15] [16]
En la segunda mitad de los años 90, Felder, Pavel Etingof y Varchenko desarrollaron la teoría de grupos cuánticos dinámicos. [17] [18] Las ecuaciones dinámicas, compatibles con las ecuaciones de tipo KZ, se introdujeron en artículos conjuntos con G. Felder, Y. Markov, V. Tarasov. [19] [20] En las aplicaciones, las ecuaciones dinámicas aparecen como ecuaciones diferenciales cuánticas de los fibrados cotangentes de variedades de banderas parciales. [21]
En [22], Evgeny Mukhin, Tarasov y Varchenko demostraron la conjetura de Boris Shapiro y Michael Shapiro en geometría algebraica real : [23] si el determinante de Wronski de un espacio vectorial complejo de dimensión finita de polinomios en una variable tiene solo raíces reales, entonces el espacio vectorial tiene una base de polinomios con coeficientes reales.
Se sabe clásicamente que el índice de intersección de las variedades de Schubert en el Grassmanniano de planos N -dimensionales coincide con la dimensión del espacio de invariantes en un producto tensorial adecuado de representaciones del grupo lineal general . En, [24] Mukhin, Tarasov y Varchenko categorizaron este hecho y demostraron que el álgebra de Bethe del modelo de Gaudin en tal espacio de invariantes es isomorfa al álgebra de funciones en la intersección de las variedades de Schubert correspondientes. Como aplicación, demostraron que si las variedades de Schubert se definen con respecto a distintas banderas osculantes reales, entonces las variedades se intersecan transversalmente y todos los puntos de intersección son reales. Esta propiedad se llama la realidad del cálculo de Schubert .
Varchenko fue orador invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1974 en Vancouver (sección de geometría algebraica) y en 1990 en Kioto (discurso plenario). [25] En 1973 recibió el Premio de la Sociedad Matemática de Moscú .
Fue nombrado miembro de la clase 2023 de miembros de la American Mathematical Society , "por sus contribuciones a la teoría de la singularidad, la geometría algebraica real y la teoría de sistemas integrables cuánticos". [26]
