Integral oscilatoria

Tipos de distribución en el análisis matemático

En el análisis matemático, una integral oscilatoria es un tipo de distribución . Las integrales oscilatorias permiten hacer rigurosos muchos argumentos que, a un nivel ingenuo, parecen utilizar integrales divergentes. Es posible representar operadores de solución aproximada para muchas ecuaciones diferenciales como integrales oscilatorias.

Definición

Una integral oscilatoria se escribe formalmente como ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}$

donde y son funciones definidas en con las siguientes propiedades: ${\displaystyle \phi (x,\xi )}$ ${\displaystyle a(x,\xi )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$

1. La función es de valor real, homogénea positiva de grado 1 e infinitamente diferenciable de . Además, suponemos que no tiene ningún punto crítico en el soporte de . Una función de este tipo suele denominarse función de fase . En algunos contextos se consideran funciones más generales y se las sigue denominando funciones de fase. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{\xi =0\}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \phi }$
2. La función pertenece a una de las clases de símbolos para algún . Intuitivamente, estas clases de símbolos generalizan la noción de funciones positivamente homogéneas de grado . Al igual que con la función de fase , en algunos casos se considera que la función pertenece a clases más generales o simplemente diferentes. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$

Cuando , la integral formal que define converge para todo , y no hay necesidad de ninguna discusión adicional sobre la definición de . Sin embargo, cuando , la integral oscilatoria todavía se define como una distribución en , aunque la integral puede no converger. En este caso, la distribución se define utilizando el hecho de que puede aproximarse mediante funciones que tienen decaimiento exponencial en . Una forma posible de hacer esto es estableciendo ${\displaystyle m<-N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle m\geq -N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,}$

donde el límite se toma en el sentido de distribuciones templadas . Mediante la integración por partes, es posible demostrar que este límite está bien definido, y que existe un operador diferencial tal que la distribución resultante que actúa sobre cualquier en el espacio de Schwartz está dada por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,}$

donde esta integral converge de manera absoluta. El operador no está definido de manera única, pero puede elegirse de tal manera que dependa solo de la función de fase , el orden del símbolo y . De hecho, dado cualquier entero , es posible encontrar un operador de modo que el integrando anterior esté acotado por para que sea suficientemente grande. Este es el propósito principal de la definición de las clases de símbolos. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C(1+|\xi |)^{-M}}$ ${\displaystyle |\xi |}$

Ejemplos

Muchas distribuciones familiares pueden escribirse como integrales oscilatorias.

El teorema de inversión de Fourier implica que la función delta , es igual a ${\displaystyle \delta (x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .}$

Si aplicamos el primer método de definición de esta integral oscilatoria anterior, así como la transformada de Fourier de la gaussiana , obtenemos una secuencia bien conocida de funciones que aproximan la función delta:

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.}$

Un operador en este caso viene dado por ejemplo por ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},}$

donde es el laplaciano respecto de las variables, y es cualquier entero mayor que . En efecto, con esto tenemos ${\displaystyle \Delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-1)/2}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

y esta integral converge absolutamente.

El núcleo de Schwartz de cualquier operador diferencial se puede escribir como una integral oscilatoria. De hecho, si

${\displaystyle L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

donde , entonces el núcleo de está dado por ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .}$

Relación con las distribuciones lagrangianas

Cualquier distribución lagrangiana ^{[ aclaración necesaria ]} puede representarse localmente mediante integrales oscilatorias, véase Hörmander (1983). Por el contrario, cualquier integral oscilatoria es una distribución lagrangiana. Esto proporciona una descripción precisa de los tipos de distribuciones que pueden representarse como integrales oscilatorias.

Véase también

• Lema de Riemann-Lebesgue
• Lema de van der Corput

Referencias

• Hörmander , Lars (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales IV , Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
• Hörmander , Lars (1971), "Operadores integrales de Fourier I", Acta Math. , 127 : 79–183, doi : 10.1007/bf02392052