Integral oscilatoria

Tipo de distribución en análisis matemático.

En análisis matemático una integral oscilatoria es un tipo de distribución . Las integrales oscilatorias presentan rigurosos muchos argumentos que, en un nivel ingenuo, parecen utilizar integrales divergentes. Es posible representar operadores de solución aproximada para muchas ecuaciones diferenciales como integrales oscilatorias.

Definición

Una integral oscilatoria se escribe formalmente como ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}$

donde y son funciones definidas con las siguientes propiedades: ${\displaystyle \phi (x,\xi )}$ ${\displaystyle a(x,\xi )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$

1. La función es de valor real, positiva-homogénea de grado 1 e infinitamente diferenciable lejos de . Además, suponemos que no tiene ningún punto crítico en el soporte de . Esta función suele denominarse función de fase . En algunos contextos se consideran funciones más generales y todavía se las denomina funciones de fase. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{\xi =0\}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \phi }$
2. La función pertenece a una de las clases de símbolos para algunos . Intuitivamente, estas clases de símbolos generalizan la noción de funciones de grado positivamente homogéneas . Al igual que con la función de fase , en algunos casos se considera que la función pertenece a clases más generales o simplemente diferentes. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$

Cuando , la definición integral formal converge para todos y no hay necesidad de seguir discutiendo la definición de . Sin embargo, cuando , la integral oscilatoria todavía se define como una distribución en , aunque la integral no converja. En este caso, la distribución se define utilizando el hecho de que puede aproximarse mediante funciones que tienen una caída exponencial en . Una forma posible de hacer esto es configurando ${\displaystyle m<-N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle m\geq -N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,}$

donde el límite se toma en el sentido de distribuciones templadas . Utilizando la integración por partes, es posible demostrar que este límite está bien definido y que existe un operador diferencial tal que la distribución resultante que actúa sobre cualquiera en el espacio de Schwartz está dada por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,}$

donde esta integral converge absolutamente. El operador no está definido de forma única, pero se puede elegir de tal manera que dependa únicamente de la función de fase , el orden del símbolo y . De hecho, dado cualquier número entero , es posible encontrar un operador para que el integrando anterior esté acotado por lo suficientemente grande. Este es el objetivo principal de la definición de las clases de símbolos. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C(1+|\xi |)^{-M}}$ ${\displaystyle |\xi |}$

Ejemplos

Muchas distribuciones familiares se pueden escribir como integrales oscilatorias.

El teorema de inversión de Fourier implica que la función delta , es igual a ${\displaystyle \delta (x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .}$

Si aplicamos el primer método para definir esta integral oscilatoria desde arriba, así como la transformada de Fourier de Gauss , obtenemos una secuencia bien conocida de funciones que se aproximan a la función delta:

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.}$

Un operador en este caso viene dado, por ejemplo, por ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},}$

donde es el laplaciano con respecto a las variables, y es cualquier número entero mayor que . En efecto, con esto tenemos ${\displaystyle \Delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (n-1)/2}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

y esta integral converge absolutamente.

El núcleo de Schwartz de cualquier operador diferencial se puede escribir como una integral oscilatoria. De hecho si

${\displaystyle L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

donde , entonces el núcleo de está dado por ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .}$

Relación con las distribuciones lagrangianas

Cualquier distribución lagrangiana ^{[ se necesita aclaración ]} puede representarse localmente mediante integrales oscilatorias, ver Hörmander (1983). Por el contrario, cualquier integral oscilatoria es una distribución lagrangiana. Esto proporciona una descripción precisa de los tipos de distribuciones que pueden representarse como integrales oscilatorias.

Ver también

• Lema de Riemann-Lebesgue
• Lema de van der Corput

Referencias

• Hörmander , Lars (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales IV , Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
• Hörmander , Lars (1971), "Operadores integrales de Fourier I", Acta Math. , 127 : 79–183, doi : 10.1007/bf02392052