En geometría , una relación de incidencia es una relación heterogénea que captura la idea que se expresa cuando se utilizan frases como "un punto se encuentra en una línea" o "una línea está contenida en un plano". La relación de incidencia más básica es la que existe entre un punto, P , y una línea, l , a veces denotada como P I l . Si P I l el par ( P , l ) se llama bandera . Hay muchas expresiones utilizadas en el lenguaje común para describir la incidencia (por ejemplo, una línea pasa por un punto, un punto se encuentra en un plano, etc.) pero se prefiere el término "incidencia" porque no tiene las connotaciones adicionales que estos otros términos lo tienen y se puede utilizar de forma simétrica. Declaraciones como "la línea l 1 intersecta a la línea l 2 " también son declaraciones sobre relaciones de incidencia, pero en este caso, se debe a que es una forma abreviada de decir que "existe un punto P que incide tanto con la línea l 1 como con la línea l 1 ". línea l 2 ". Cuando un tipo de objeto puede considerarse como un conjunto de otro tipo de objeto ( es decir , un plano es un conjunto de puntos), entonces una relación de incidencia puede verse como contención .
Enunciados como "dos líneas cualesquiera en un plano se encuentran" se denominan proposiciones de incidencia . Esta afirmación particular es cierta en un plano proyectivo , aunque no es cierta en el plano euclidiano donde las líneas pueden ser paralelas . Históricamente, la geometría proyectiva se desarrolló para hacer verdaderas las proposiciones de incidencia sin excepciones, como las provocadas por la existencia de paralelos. Desde el punto de vista de la geometría sintética , la geometría proyectiva debería desarrollarse utilizando proposiciones como axiomas . Esto es más significativo para los planos proyectivos debido a la validez universal del teorema de Desargues en dimensiones superiores.
Por el contrario, el enfoque analítico consiste en definir el espacio proyectivo basándose en álgebra lineal y utilizando coordenadas homogéneas . Las proposiciones de incidencia se derivan del siguiente resultado básico en espacios vectoriales : dados los subespacios U y W de un espacio vectorial (de dimensión finita) V , la dimensión de su intersección es tenue U + tenue W − tenue ( U + W ) . Teniendo en cuenta que la dimensión geométrica del espacio proyectivo P ( V ) asociado a V es tenue V − 1 y que la dimensión geométrica de cualquier subespacio es positiva, la proposición básica de incidencia en este escenario puede tomar la forma: subespacios lineales L y M del espacio proyectivo P se encuentran siempre que tenue L + tenue M ≥ tenue P . [1]
Las siguientes secciones se limitan a planos proyectivos definidos sobre campos , a menudo denotados por PG (2, F ) , donde F es un campo, o P 2 F. Sin embargo, estos cálculos pueden extenderse naturalmente a espacios proyectivos de dimensiones superiores, y el campo puede reemplazarse por un anillo de división (o campo sesgado) siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no es conmutativa en ese caso.
Sea V el espacio vectorial tridimensional definido sobre el campo F. El plano proyectivo P ( V ) = PG(2, F ) consta de los subespacios vectoriales unidimensionales de V , llamados puntos , y los subespacios vectoriales bidimensionales de V , llamados líneas . La incidencia de un punto y una línea viene dada por la contención del subespacio unidimensional en el subespacio bidimensional.
Fije una base para V de modo que podamos describir sus vectores como triples de coordenadas (con respecto a esa base). Un subespacio vectorial unidimensional consta de un vector distinto de cero y todos sus múltiplos escalares. Los múltiplos escalares distintos de cero, escritos como tripletas de coordenadas, son las coordenadas homogéneas del punto dado, llamadas coordenadas del punto . Con respecto a esta base, el espacio de soluciones de una sola ecuación lineal {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } es un subespacio bidimensional de V y, por tanto, una línea de P ( V ) . Esta línea puede denotarse mediante coordenadas de línea [ a , b , c ] , que también son coordenadas homogéneas ya que múltiplos escalares distintos de cero darían la misma línea. También se utilizan ampliamente otras notaciones. Las coordenadas de los puntos se pueden escribir como vectores de columna, ( x , y , z ) T , con dos puntos, ( x : y : z ) , o con un subíndice, ( x , y , z ) P. En consecuencia, las coordenadas de línea se pueden escribir como vectores de fila, ( a , b , c ) , con dos puntos, [ a : b : c ] o con un subíndice, ( a , b , c ) L. También son posibles otras variaciones.
Dado un punto P = ( x , y , z ) y una línea l = [ a , b , c ] , escrita en términos de coordenadas de punto y línea, el punto incide con la línea (a menudo escrita como P I l ), si y solo si,
Esto se puede expresar en otras notaciones como:
No importa qué notación se emplee, cuando las coordenadas homogéneas del punto y la línea se consideran simplemente tripletas ordenadas, su incidencia se expresa como si su producto escalar fuera igual a 0.
Sean P 1 y P 2 un par de puntos distintos con coordenadas homogéneas ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) respectivamente. Estos puntos determinan una recta única l con una ecuación de la forma ax + by + cz = 0 y debe satisfacer las ecuaciones:
En forma matricial este sistema de ecuaciones lineales simultáneas se puede expresar como:
Este sistema tiene una solución no trivial si y sólo si el determinante ,
La expansión de esta ecuación determinante produce una ecuación lineal homogénea, que debe ser la ecuación de la línea l . Por lo tanto, hasta un factor constante común distinto de cero tenemos l = [ a , b , c ] donde:
En términos de la notación escalar de triple producto para vectores, la ecuación de esta línea se puede escribir como:
donde P = ( x , y , z ) es un punto genérico.
Se dice que los puntos que inciden con la misma recta son colineales . Al conjunto de todos los puntos que inciden en una misma recta se le llama rango .
Si P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ), P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) y P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) , entonces estos puntos son colineales si y solo si
es decir, si y sólo si el determinante de las coordenadas homogéneas de los puntos es igual a cero.
Sean l 1 = [ a 1 , b 1 , c 1 ] y l 2 = [ a 2 , b 2 , c 2 ] un par de líneas distintas. Entonces la intersección de las rectas l 1 y l 2 es el punto a P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) que es la solución simultánea (hasta un factor escalar) del sistema de ecuaciones lineales:
La solución de este sistema da:
Alternativamente, considere otra línea l = [ a , b , c ] que pasa por el punto P , es decir, las coordenadas homogéneas de P satisfacen la ecuación:
Combinando esta ecuación con las dos que definen P , podemos buscar una solución no trivial de la ecuación matricial:
Tal solución existe siempre que se cumpla el determinante,
Los coeficientes de a , b y c en esta ecuación dan las coordenadas homogéneas de P.
La ecuación de la recta genérica que pasa por el punto P en notación escalar de producto triple es:
Se dice que las rectas que se cruzan en un mismo punto son concurrentes . El conjunto de todas las rectas de un plano que inciden en un mismo punto se llama lápiz de rectas centradas en ese punto. El cálculo de la intersección de dos líneas muestra que todo el lápiz de líneas centrado en un punto está determinado por dos líneas cualesquiera que se cruzan en ese punto. Se deduce inmediatamente que la condición algebraica para que tres líneas, [ a 1 , b 1 , c 1 ], [ a 2 , b 2 , c 2 ], [ a 3 , b 3 , c 3 ] sean concurrentes es que el determinante ,
![{\displaystyle ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ff9a189d496eefa14712c08c6a18fdd51e11de)
![{\displaystyle =[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}} \derecha)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2a13de6c13221b7461bb9b3954f9f84458adc3)
