En matemáticas , un rango proyectivo es un conjunto de puntos en geometría proyectiva considerados de forma unificada. Un rango proyectivo puede ser una línea proyectiva o una cónica . Un rango proyectivo es el dual de un lápiz de líneas sobre un punto dado. Por ejemplo, una correlación intercambia los puntos de un rango proyectivo con las líneas de un lápiz. Se dice que una proyectividad actúa de un rango a otro, aunque los dos rangos pueden coincidir como conjuntos.
Un rango proyectivo expresa la invariancia proyectiva de la relación de conjugados armónicos proyectivos . De hecho, tres puntos sobre una línea proyectiva determinan un cuarto por esta relación. La aplicación de una proyectividad a este cuádruple da como resultado cuatro puntos también en la relación armónica. Este cuádruple de puntos se denomina rango armónico . En 1940, Julian Coolidge describió esta estructura e identificó a su creador: [1]
Cuando se elige una cónica para un rango proyectivo y se selecciona como origen un punto particular E de la cónica, la suma de puntos se puede definir de la siguiente manera: [2]
El círculo y la hipérbola son instancias de una cónica y la suma de los ángulos de cualquiera de ellas se puede generar mediante el método de "suma de puntos", siempre que los puntos estén asociados con ángulos del círculo y ángulos hiperbólicos de la hipérbola.