ángulo hiperbólico

Argumento de las funciones hiperbólicas.

La curva representa xy = 1. Un ángulo hiperbólico tiene magnitud igual al área del sector hiperbólico correspondiente , que está en posición estándar si a = 1

En geometría , el ángulo hiperbólico es un número real determinado por el área del correspondiente sector hiperbólico de xy = 1 en el cuadrante I del plano cartesiano . El ángulo hiperbólico parametriza la hipérbola unitaria , que tiene funciones hiperbólicas como coordenadas. En matemáticas, el ángulo hiperbólico es una medida invariante ya que se conserva bajo rotación hiperbólica .

La hipérbola xy = 1 es rectangular con un semieje mayor de , análoga a la magnitud de un ángulo circular correspondiente al área de un sector circular en un círculo con radio . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

El ángulo hiperbólico se utiliza como variable independiente para las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh, porque estas funciones pueden basarse en analogías hiperbólicas con las funciones trigonométricas circulares correspondientes al considerar que un ángulo hiperbólico define un triángulo hiperbólico . El parámetro se convierte así en uno de los más útiles en el cálculo de variables reales .

Definición

Considere la hipérbola rectangular y (por convención) preste especial atención a la rama . ${\displaystyle \textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}}$ ${\displaystyle x>1}$

Primero defina:

• El ángulo hiperbólico en posición estándar es el ángulo entre el rayo to y el rayo to , donde . ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$ ${\displaystyle x>1}$
• La magnitud de este ángulo es el área del sector hiperbólico correspondiente , que resulta ser . ${\displaystyle \operatorname {ln} x}$

Tenga en cuenta que, debido al papel que desempeña el logaritmo natural :

• A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico es ilimitado (porque no lo es); esto está relacionado con el hecho de que la serie armónica es ilimitada. ${\displaystyle \operatorname {ln} x}$
• La fórmula para la magnitud del ángulo sugiere que, para , el ángulo hiperbólico debe ser negativo. Esto refleja el hecho de que, tal como se define, el ángulo está dirigido . ${\displaystyle 0<x<1}$

Finalmente, extienda la definición de ángulo hiperbólico al subtendido por cualquier intervalo de la hipérbola. Supongamos que son números reales positivos tales que y , de modo que y son puntos de la hipérbola y determinan un intervalo sobre ella. Luego, el mapeo de compresión asigna el ángulo al ángulo de posición estándar . Por el resultado de Gregoire de Saint-Vincent , los sectores hiperbólicos determinados por estos ángulos tienen la misma área, que se toma como la magnitud del ángulo. Esta magnitud es . ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle ab=cd=1}$ ${\displaystyle c>a>1}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (c,d)}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$ ${\displaystyle \angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)}$ ${\displaystyle \angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a}$

Comparación con ángulo circular

La hipérbola unitaria tiene un sector con un área la mitad del ángulo hiperbólico.

Ángulo circular versus hiperbólico

Un círculo unitario tiene un sector circular con un área la mitad del ángulo circular en radianes. De manera análoga, una hipérbola unitaria tiene un sector hiperbólico con un área la mitad del ángulo hiperbólico. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

También hay una resolución proyectiva entre los casos circulares e hiperbólicos: ambas curvas son secciones cónicas y, por lo tanto, se tratan como rangos proyectivos en geometría proyectiva . Dado un punto de origen en uno de estos rangos, otros puntos corresponden a ángulos. La idea de suma de ángulos, básica en la ciencia, corresponde a la suma de puntos en uno de estos rangos de la siguiente manera:

Los ángulos circulares se pueden caracterizar geométricamente por la propiedad de que si dos cuerdas P ₀ P ₁ y P ₀ P ₂ subtienden los ángulos L ₁ y L ₂ en el centro de un círculo, su suma L ₁ + L ₂ es el ángulo subtendido por una cuerda. P ₀ Q , donde se requiere que P ₀ Q sea paralelo a P ₁ P ₂ .

La misma construcción también se puede aplicar a la hipérbola. Si se toma P ₀ como el punto (1, 1) , P ₁ el punto ( x ₁ , 1/ x ₁ ) y P ₂ el punto ( x ₂ , 1/ x ₂ ) , entonces la condición de paralelo requiere que Q sea el punto ( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ ) . Por tanto, tiene sentido definir el ángulo hiperbólico desde P ₀ hasta un punto arbitrario de la curva como una función logarítmica del valor de x del punto . ^{[1] [2]}

Mientras que en la geometría euclidiana, moverse constantemente en una dirección ortogonal a un rayo desde el origen traza un círculo, en un plano pseudoeuclidiano, moverse constantemente ortogonalmente a un rayo desde el origen traza una hipérbola. En el espacio euclidiano, el múltiplo de un ángulo dado traza distancias iguales alrededor de un círculo mientras que traza distancias exponenciales sobre la línea hiperbólica. ^[3]

Tanto el ángulo circular como el hiperbólico proporcionan ejemplos de una medida invariante . Los arcos con una magnitud angular en un círculo generan una medida en ciertos conjuntos mensurables en el círculo cuya magnitud no varía a medida que el círculo gira o gira . Para la hipérbola, el giro se realiza mediante un mapeo de compresión , y las magnitudes de los ángulos hiperbólicos permanecen iguales cuando el plano se comprime mediante un mapeo.

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), con r > 0 .

Relación con el elemento de la línea de Minkowski

También existe una curiosa relación con un ángulo hiperbólico y la métrica definida en el espacio de Minkowski. Así como la geometría euclidiana bidimensional define su elemento lineal como

${\displaystyle ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},}$

el elemento de línea en el espacio de Minkowski es ^[4]

${\displaystyle ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.}$

Considere una curva incrustada en un espacio euclidiano bidimensional,

${\displaystyle x=f(t),y=g(t).}$

Donde el parámetro es un número real que corre entre y ( ). La longitud del arco de esta curva en el espacio euclidiano se calcula como: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leqslant t<b}$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.}$

Si define un círculo unitario, una única solución parametrizada establecida para esta ecuación es y . Dejar , calcular la longitud del arco da . Ahora haciendo el mismo procedimiento, excepto reemplazando el elemento euclidiano con el elemento de línea de Minkowski, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x=\cos t}$ ${\displaystyle y=\sin t}$ ${\displaystyle 0\leqslant t<\theta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\theta }$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,}$

y definimos una hipérbola "unitaria" como con su correspondiente conjunto de soluciones parametrizado y , y al dejar (el ángulo hiperbólico), llegamos al resultado de . En otras palabras, esto significa que así como el ángulo circular se puede definir como la longitud del arco de un arco en el círculo unitario subtendido por el mismo ángulo usando la métrica definida euclidiana, el ángulo hiperbólico es la longitud del arco del arco en la "unidad". hipérbola subtendida por el ángulo hiperbólico usando la métrica definida por Minkowski. ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$ ${\displaystyle y=\cosh t}$ ${\displaystyle x=\sinh t}$ ${\displaystyle 0\leqslant t<\eta }$ ${\displaystyle S=\eta }$

Historia

La cuadratura de la hipérbola es la evaluación del área de un sector hiperbólico . Se puede demostrar que es igual al área correspondiente frente a una asíntota . La cuadratura fue realizada por primera vez por Gregoire de Saint-Vincent en 1647 en el Opus geometricum quadrature circuli etsectionum coni . Como lo expresa un historiador,

[Hizo la] cuadratura de una hipérbola hasta sus asíntotas , y demostró que a medida que el área aumentaba en series aritméticas, las abscisas aumentaban en series geométricas . ^[5]

AA de Sarasa interpretó la cuadratura como un logaritmo y así el logaritmo natural definido geométricamente (o "logaritmo hiperbólico") se entiende como el área bajo y = 1/ x a la derecha de x = 1 . Como ejemplo de función trascendental , el logaritmo es más familiar que su motivador, el ángulo hiperbólico. Sin embargo, el ángulo hiperbólico juega un papel cuando se avanza el teorema de Saint-Vincent con mapeo de compresión .

La trigonometría circular fue extendida a la hipérbola por Augustus De Morgan en su libro de texto Trigonometría y álgebra doble . ^[6] En 1878, WK Clifford utilizó el ángulo hiperbólico para parametrizar una hipérbola unitaria , describiéndola como " movimiento cuasi armónico ".

En 1894, Alexander Macfarlane hizo circular su ensayo "El imaginario del álgebra", que utilizaba ángulos hiperbólicos para generar versores hiperbólicos , en su libro Papers on Space Analysis . ^[7] Al año siguiente, el Bulletin of the American Mathematical Society publicó el esquema de las funciones hiperbólicas de Mellen W. Haskell . ^[8]

Cuando Ludwik Silberstein escribió su popular libro de texto de 1914 sobre la nueva teoría de la relatividad , utilizó el concepto de rapidez basado en el ángulo hiperbólico a , donde tanh a = v / c , la relación entre la velocidad v y la velocidad de la luz . El escribio:

Vale la pena mencionar que a la unidad de rapidez corresponde una velocidad enorme, que equivale a 3/4 de la velocidad de la luz; más precisamente tenemos v = (.7616) c para a = 1 .

[...] la rapidez a = 1 , [...] en consecuencia representará la velocidad .76  c que está un poco por encima de la velocidad de la luz en el agua.

Silberstein también utiliza el concepto de ángulo de paralelismo de Lobachevsky Π( a ) para obtener cos Π( a ) = v / c . ^[9]

Ángulo circular imaginario

El ángulo hiperbólico suele presentarse como si fuera un número imaginario , de manera que las funciones hiperbólicas cosh y sinh pueden presentarse a través de las funciones circulares. Pero en el plano euclidiano podríamos considerar alternativamente las medidas de los ángulos circulares como imaginarias y las medidas de los ángulos hiperbólicos como escalares reales, y ${\textstyle \cos ix=\cosh x}$ ${\textstyle \sin ix=i\sinh x,}$ ${\textstyle \cosh ix=\cos x}$ ${\textstyle \sinh ix=i\sin x.}$

Estas relaciones pueden entenderse en términos de la función exponencial , que para un argumento complejo se puede dividir en partes pares e impares respectivamente . Entonces ${\textstyle z}$ ${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$ ${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$

$${\displaystyle e^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),}$$

o si el argumento se separa en partes reales e imaginarias, la exponencial se puede dividir en el producto de escala y rotación. ${\textstyle z=x+iy,}$ ${\textstyle e^{x}}$ ${\textstyle e^{iy},}$

$${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y).}$$

Como serie infinita ,

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}}$$

La serie infinita del coseno se deriva de cosh convirtiéndola en una serie alterna , y la serie del seno proviene de convertir sinh en una serie alterna.

Ver también

• ángulo trascendente

Notas

1. Bjørn Felsager, A través del espejo: un vistazo a la geometría gemela de Euclides, la geometría de Minkowski Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine , ICME-10 Copenhague 2004; pág.14. Véanse también las hojas de ejemplo [1] Archivado el 6 de enero de 2009 en Wayback Machine [2] Archivado el 21 de noviembre de 2008 en Wayback Machine que explora los paralelos minkowskianos de algunos resultados euclidianos estándar
2. Viktor Prasolov y Yuri Solovyev (1997) Funciones elípticas e integrales elípticas , página 1, Traducciones de monografías matemáticas volumen 170, Sociedad Matemática Estadounidense
3. Geometría hiperbólica págs. 5-6, figura 15.1
4. Weisstein, Eric W. "Métrica de Minkowski". mathworld.wolfram.com .
5. David Eugene Smith (1925) Historia de las Matemáticas , págs. 424,5 v.1
6. Augustus De Morgan (1849) Trigonometría y álgebra doble, Capítulo VI: "Sobre la conexión entre trigonometría común e hiperbólica"
7. Alexander Macfarlane (1894) Artículos sobre análisis espacial, B. Westerman, Nueva York
8. Mellen W. Haskell (1895) Sobre la introducción de la noción de funciones hiperbólicas Boletín de la American Mathematical Society 1(6):155–9
9. Ludwik Silberstein (1914) La teoría de la relatividad, págs. 180-1 vía Internet Archive

Referencias

• Janet Heine Barnett (2004) "Entra, centro del escenario: el drama temprano de las funciones hiperbólicas", disponible en (a) Mathematics Magazine 77(1):15–30 o (b) capítulo 7 de Euler at 300 , RE Bradley, LA D'Antonio, editores de CE Sandifer, Asociación Matemática de América ISBN 0-88385-565-8 . 
• Arthur Kennelly (1912) Aplicación de funciones hiperbólicas a problemas de ingeniería eléctrica.
• William Mueller, Explorando el precálculo , § El número e, Trigonometría hiperbólica.
• John Stillwell (1998) Números y geometría, ejercicio 9.5.3, p. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2 .