En geometría, la configuración Grünbaum-Rigby es una configuración simétrica que consta de 21 puntos y 21 líneas, con cuatro puntos en cada línea y cuatro líneas que pasan por cada punto. Estudiado originalmente por Felix Klein en el plano proyectivo complejo en relación con el cuártico de Klein , fue realizado por primera vez en el plano euclidiano por Branko Grünbaum y John F. Rigby .
Felix Klein , William Burnside y HSM Coxeter conocían la configuración Grünbaum-Rigby . [1] Su descripción original por Klein en 1879 marcó la primera aparición en la literatura matemática de una configuración de 4, un sistema de puntos y líneas con cuatro puntos por línea y cuatro líneas por punto. [2] En la descripción de Klein, estos puntos y líneas pertenecen al plano proyectivo complejo , un espacio cuyas coordenadas son números complejos en lugar de las coordenadas de números reales del plano euclidiano.
La realización geométrica de esta configuración como puntos y líneas en el plano euclidiano , basada en la superposición de tres heptagramas regulares , sólo fue establecida mucho más tarde, por Branko Grünbaum y JF Rigby (1990). Su artículo se convirtió en el primero de una serie de trabajos sobre configuraciones de Grünbaum y contenía la primera representación gráfica publicada de una configuración de 4. [3]
En la notación de configuraciones se denotan configuraciones con 21 puntos, 21 líneas, 4 puntos por línea y 4 líneas por punto (21 4 ). Sin embargo, la notación no especifica la configuración en sí, sólo su tipo (el número de puntos, líneas e incidencias). Tampoco especifica si la configuración es puramente combinatoria (un patrón de incidencia abstracto de líneas y puntos) o si los puntos y líneas de la configuración son realizables en el plano euclidiano u otra geometría estándar. El tipo (21 4 ) es muy ambiguo: existe un número desconocido pero elevado de configuraciones (combinatorias) de este tipo, 200 de las cuales fueron enumeradas por Di Paola y Gropp (1989). [4]
La configuración Grünbaum-Rigby se puede construir a partir de los siete puntos de un heptágono regular y sus 14 diagonales interiores. Para completar los 21 puntos y líneas de la configuración, estas deben ser aumentadas con 14 puntos más y siete líneas más. Los 14 puntos restantes de la configuración son los puntos donde se cruzan pares de diagonales del heptágono de igual longitud. Éstos forman dos heptágonos más pequeños, uno para cada una de las dos longitudes de la diagonal; los lados de estos heptágonos más pequeños son las diagonales del heptágono exterior. Cada uno de los dos heptágonos más pequeños tiene 14 diagonales, siete de las cuales se comparten con el otro heptágono más pequeño. Las siete diagonales compartidas son las siete líneas restantes de la configuración. [5]
La construcción original de la configuración Grünbaum-Rigby por parte de Klein consideraba que sus puntos y líneas pertenecían al plano proyectivo complejo , en lugar del plano euclidiano. En este espacio, los puntos y líneas forman los centros de perspectiva y los ejes de las transformaciones de perspectiva de la cuartica de Klein . [6] Tienen el mismo patrón de intersecciones de líneas de puntos que la versión euclidiana de la configuración.
El plano proyectivo finito tiene 57 puntos y 57 líneas, y se le pueden dar coordenadas basadas en los números enteros módulo 7. En este espacio, cada cónica (el conjunto de soluciones de una ecuación cuadrática de dos variables módulo 7) tiene 28 líneas secantes que pasan por pares. de sus puntos, 8 rectas tangentes que pasan por un solo punto y 21 rectas no secantes que son disjuntas de . Dualmente, hay 28 puntos donde se encuentran pares de rectas tangentes, 8 puntos en y 21 puntos interiores que no pertenecen a ninguna recta tangente. Las 21 rectas no secantes y los 21 puntos interiores forman una instancia de la configuración Grünbaum-Rigby, lo que significa que nuevamente estos puntos y líneas tienen el mismo patrón de intersecciones. [7]
El dual proyectivo de esta configuración, un sistema de puntos y líneas con un punto por cada línea de la configuración y una línea por cada punto, y con las mismas incidencias punto-línea, es la misma configuración. El grupo de simetría de la configuración incluye simetrías que llevan cualquier par incidente de puntos y líneas a cualquier otro par incidente. [8] La configuración Grünbaum-Rigby es un ejemplo de configuración policíclica, es decir, una configuración con simetría cíclica , tal que cada órbita de puntos o líneas tiene el mismo número de elementos. [9]
