En matemáticas , la línea proyectiva sobre un anillo es una extensión del concepto de línea proyectiva sobre un campo . Dado un anillo A (con 1), la línea proyectiva P 1 ( A ) sobre A consta de puntos identificados por coordenadas proyectivas . Sea A × el grupo de unidades de A ; los pares ( a , b ) y ( c , d ) de A × A están relacionados cuando hay una u en A × tal que ua = c y ub = d . Esta relación es una relación de equivalencia . Una clase de equivalencia típica se escribe U [ a , b ] .
PAG 1 ( UNA ) = { U [ una , segundo ] | aA + bA = A } , es decir, U [ a , b ] está en la recta proyectiva si el ideal unilateral generado por a y b es todo A.
La línea proyectiva P 1 ( A ) está equipada con un grupo de homografías . Las homografías se expresan mediante el uso del anillo matricial sobre A y su grupo de unidades V de la siguiente manera: Si c está en Z( A × ), el centro de A × , entonces la acción grupal de la matriz sobre P 1 ( A ) es lo mismo que la acción de la matriz identidad. Tales matrices representan un subgrupo normal N de V. Las homografías de P 1 ( A ) corresponden a elementos del grupo cociente V / N .
P 1 ( A ) se considera una extensión del anillo A ya que contiene una copia de A debido a la incrustación E : a → U [ a , 1] . La aplicación inversa multiplicativa u → 1/ u , normalmente restringida a A × , se expresa mediante una homografía en P 1 ( A ):
Además, para u , v ∈ A × , el mapeo a → uav se puede extender a una homografía:
Dado que u es arbitrario, puede sustituirse por u −1 . Las homografías en P 1 ( A ) se llaman transformaciones lineales fraccionarias ya que
Los anillos que son campos son los más familiares: la línea proyectiva sobre GF(2) tiene tres elementos: U [0, 1] , U [1, 0] y U [1, 1] . Su grupo de homografía es el grupo de permutación de estos tres. [1] : 29
El anillo Z /3 Z , o GF(3), tiene los elementos 1, 0 y −1; su línea proyectiva tiene los cuatro elementos U [1, 0] , U [1, 1] , U [0, 1] , U [1, −1] ya que tanto 1 como −1 son unidades . El grupo de homografía en esta línea proyectiva tiene 12 elementos, también descritos con matrices o como permutaciones. [1] : 31 Para un campo finito GF( q ), la recta proyectiva es la geometría de Galois PG(1, q ) . JWP Hirschfeld ha descrito las tétradas armónicas en las líneas proyectivas para q = 4, 5, 7, 8, 9. [2]
Considere P 1 ( Z / n Z ) cuando n es un número compuesto . Si p y q son primos distintos que dividen a n , entonces ⟨ p ⟩ y ⟨ q ⟩ son ideales máximos en Z / n Z y por la identidad de Bézout hay a y b en Z tales que ap + bq = 1 , de modo que U [ p , q ] está en P 1 ( Z / n Z ) pero no es una imagen de un elemento bajo la incrustación canónica. El conjunto de P 1 ( Z / n Z ) se completa con los elementos U [ up , vq ] , donde u ≠ v y u , v ∈ A × , siendo A × las unidades de Z / n Z . Las instancias Z / n Z se dan aquí para n = 6, 10 y 12, donde según la aritmética modular el grupo de unidades del anillo es ( Z / 6 Z ) × = {1, 5} , ( Z / 10 Z ) × = {1, 3, 7, 9} y ( Z / 12 Z ) × = {1, 5, 7, 11} respectivamente. La aritmética modular confirmará que, en cada tabla, una letra determinada representa múltiples puntos. En estas tablas, un punto U [ m , n ] está etiquetado por m en la fila en la parte inferior de la tabla y n en la columna a la izquierda de la tabla. Por ejemplo, el punto en el infinito A = U [ v , 0] , donde v es una unidad del anillo.
Los puntos extra se pueden asociar con Q ⊂ R ⊂ C , los racionales en el medio plano superior complejo extendido . El grupo de homografías en P 1 ( Z / n Z ) se llama subgrupo de congruencia principal . [3]
Para los números racionales Q , la homogeneidad de coordenadas significa que cada elemento de P 1 ( Q ) puede ser representado por un elemento de P 1 ( Z ). De manera similar, una homografía de P 1 ( Q ) corresponde a un elemento del grupo modular , los automorfismos de P 1 ( Z ).
La línea proyectiva sobre un anillo de división da como resultado un único punto auxiliar ∞ = U [1, 0] . Los ejemplos incluyen la línea proyectiva real , la línea proyectiva compleja y la línea proyectiva sobre cuaterniones . Estos ejemplos de anillos topológicos tienen la línea proyectiva como sus compactaciones de un punto . El caso del campo de números complejos C tiene el grupo de Möbius como grupo de homografía.
La línea proyectiva sobre los números duales fue descrita por Josef Grünwald en 1906. [4] Este anillo incluye un nilpotente distinto de cero n que satisface nn = 0 . El plano { z = x + yn | x , y ∈ R } de números duales tiene una recta proyectiva que incluye una recta de puntos U [1, xn ], x ∈ R . [5] Isaak Yaglom lo ha descrito como un "plano galileano inverso" que tiene la topología de un cilindro cuando se incluye la línea suplementaria. [6] : 149-153 De manera similar, si A es un anillo local , entonces P 1 ( A ) está formado por puntos contiguos correspondientes a los elementos del ideal máximo de A.
La línea proyectiva sobre el anillo M de números complejos divididos introduce líneas auxiliares { U [1, x (1 + j)] | x ∈ R } y { U [1, x (1 − j)] | x ∈ R } Usando proyección estereográfica, el plano de números complejos divididos se cierra con estas líneas a un hiperboloide de una hoja. [6] : 174–200 [7] La línea proyectiva sobre M puede denominarse plano de Minkowski cuando se caracteriza por el comportamiento de las hipérbolas bajo mapeo homográfico.
La línea proyectiva P 1 ( A ) sobre un anillo A también se puede identificar como el espacio de módulos proyectivos en el módulo A ⊕ A . Un elemento de P 1 ( A ) es entonces una suma directa de A ⊕ A . Este enfoque más abstracto sigue la visión de la geometría proyectiva como la geometría de subespacios de un espacio vectorial , a veces asociada con la teoría reticular de Garrett Birkhoff [8] o el libro Álgebra lineal y geometría proyectiva de Reinhold Baer . En el caso del anillo de enteros racionales Z , la definición del sumando del módulo de P 1 ( Z ) centra la atención en U [ m , n ] , m coprimo de n , y elimina las incrustaciones que son una característica principal de P 1 ( A ) cuando A es topológico. El artículo de 1981 de W. Benz, Hans-Joachim Samaga y Helmut Scheaffer menciona la definición de suma directa.
En un artículo "Representaciones proyectivas: líneas proyectivas sobre anillos" [9] se utiliza el grupo de unidades de una matriz anillo M 2 ( R ) y los conceptos de módulo y bimódulo para definir una línea proyectiva sobre un anillo. El grupo de unidades se denota por GL(2, R ) , adoptando la notación del grupo lineal general , donde normalmente se toma a R como un campo.
La línea proyectiva es el conjunto de órbitas bajo GL(2, R ) del submódulo cíclico libre R (1, 0) de R × R . Ampliando la teoría conmutativa de Benz, la existencia de un inverso multiplicativo derecho o izquierdo de un elemento de anillo está relacionada con P 1 ( R ) y GL(2, R ) . Se caracteriza la propiedad finita de Dedekind . Lo más significativo es que la representación de P 1 ( R ) en un espacio proyectivo sobre un anillo de división K se logra con un ( K , R ) -bimódulo U que es un espacio vectorial K izquierdo y un módulo R derecho. Los puntos de P 1 ( R ) son subespacios de P 1 ( K , U × U ) isomorfos a sus complementos.
Una homografía h que lleva tres elementos de anillo particulares a , b , c a los puntos de la línea proyectiva U [0, 1] , U [1, 1] , U [1, 0] se llama homografía de razón cruzada . A veces [10] [11] la relación cruzada se toma como el valor de h en un cuarto punto x : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .
Para construir h a partir de a , b , c las homografías del generador
se utilizan, con atención a los puntos fijos : +1 y −1 se fijan bajo inversión, U [1, 0] se fija bajo traslación, y la "rotación" con u deja U [0, 1] y U [1, 0 ] fijado. Las instrucciones son colocar c primero, luego llevar a a U [0, 1] con traslación y, finalmente, usar la rotación para mover b a U [1, 1] .
Lema: Si A es un anillo conmutativo y b − a , c − b , c − a son todas unidades, entonces ( b − c ) −1 + ( c − a ) −1 es una unidad.
Prueba: Evidentemente es una unidad, como se requiere.
Teorema: Si ( b − c ) −1 + ( c − a ) −1 es una unidad, entonces existe una homografía h en G( A ) tal que
Prueba: El punto p = ( b − c ) −1 + ( c − a ) −1 es la imagen de b después de que a se puso a 0 y luego se invirtió a U [1, 0] , y se trae la imagen de c a U [0, 1] . Como p es una unidad, su inverso usado en una rotación moverá p a U [1, 1] , lo que resultará en que a , b , c estén todos colocados correctamente. El lema se refiere a condiciones suficientes para la existencia de h .
Una aplicación de la razón cruzada define el conjugado armónico proyectivo de un triple a , b , c , como el elemento x que satisface ( x , a , b , c ) = −1 . Tal cuádruple es una tétrada armónica . Las tétradas armónicas en la línea proyectiva sobre un campo finito GF( q ) se utilizaron en 1954 para delimitar los grupos lineales proyectivos PGL(2, q ) para q = 5, 7 y 9, y demostrar isomorfismos accidentales . [12]
La línea real en el plano complejo se permuta con círculos y otras líneas reales bajo transformaciones de Möbius , que en realidad permutan la incrustación canónica de la línea proyectiva real en la línea proyectiva compleja . Supongamos que A es un álgebra sobre un campo F , generalizando el caso donde F es el campo de números reales y A es el campo de números complejos. La incrustación canónica de P 1 ( F ) en P 1 ( A ) es
Una cadena es la imagen de P 1 ( F ) bajo una homografía en P 1 ( A ). Cuatro puntos se encuentran en una cadena si y sólo si su relación cruzada está en F. Karl von Staudt aprovechó esta propiedad en su teoría de los "golpes reales" [reeler Zug]. [13]
Dos puntos de P 1 ( A ) son paralelos si no hay una cadena que los conecte. Se ha adoptado la convención de que los puntos son paralelos a sí mismos. Esta relación es invariante bajo la acción de una homografía sobre la línea proyectiva. Dados tres puntos no paralelos por pares, existe una cadena única que conecta los tres. [14]
August Ferdinand Möbius investigó las transformaciones de Möbius entre su libro Barycentric Calculus (1827) y su artículo de 1855 "Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung". A Karl Wilhelm Feuerbach y Julius Plücker también se les atribuye el origen del uso de coordenadas homogéneas. Eduard Study en 1898, y Élie Cartan en 1908, escribieron artículos sobre números hipercomplejos para las Enciclopedias de Matemáticas alemana y francesa , respectivamente, donde utilizan estas aritméticas con transformaciones fraccionarias lineales a imitación de las de Möbius. En 1902, Theodore Vahlen contribuyó con un artículo breve pero bien referenciado que exploraba algunas transformaciones fraccionarias lineales del álgebra de Clifford . [15] El anillo de números duales D le dio a Josef Grünwald la oportunidad de exhibir P 1 ( D ) en 1906. [4] Corrado Segre (1912) continuó el desarrollo con ese anillo. [5]
Arthur Conway , uno de los primeros en adoptar la relatividad mediante transformaciones de bicuaterniones , consideró la transformación cuaternión-multiplicativa-inversa en su estudio de la relatividad de 1911. [16] En 1947, PG Gormley en Irlanda describió algunos elementos de la geometría inversiva de cuaterniones. [17] En 1968 apareció en inglés Complex Numbers in Geometry de Isaak Yaglom , traducido del ruso. Allí utiliza P 1 ( D ) para describir la geometría lineal en el plano euclidiano y P 1 ( M ) para describirla en el plano de Lobachevski. El texto de Yaglom A Simple Non-Euclidean Geometry apareció en inglés en 1979. Allí, en las páginas 174 a 200, desarrolla la geometría minkowskiana y describe P 1 ( M ) como el "plano inversivo de Minkowski". El original ruso del texto de Yaglom se publicó en 1969. Entre las dos ediciones, Walter Benz (1973) publicó su libro, [7] que incluía las coordenadas homogéneas tomadas de M .
![{\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1,a]\thicksim U[a^{-1},1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f345bd4d8eeb97141845268f1d3498309826d4a0)
![{\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U[av,u]\thicksim U[u^{-1}av,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43668e10e598757419d6fc3c5ef4e5f3ee362e3c)
![{\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1} (za+b),1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7334c6d4156269950d8445ec0ff717597953b461)
![{\displaystyle U_{F}[x,1]\mapsto U_{A}[x,1],\quad U_{F}[1,0]\mapsto U_{A}[1,0].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083a72759bcaa758b8e836f2268ad1c981c754f4)