En matemáticas , un isomorfismo excepcional , también llamado isomorfismo accidental , es un isomorfismo entre los miembros a i y b j de dos familias, generalmente infinitas, de objetos matemáticos, que es incidental, en el sentido de que no es una instancia de un patrón general de tales isomorfismos. [nota 1] Estas coincidencias a veces se consideran una cuestión de trivialidades, [1] pero en otros aspectos pueden dar lugar a fenómenos consecuentes, como los objetos excepcionales . [1] A continuación, las coincidencias se organizan según las estructuras donde ocurren.
Los isomorfismos excepcionales entre las series de grupos simples finitos involucran en su mayoría grupos lineales especiales proyectivos y grupos alternados , y son: [2]
Existen coincidencias entre grupos simétricos/alternativos y pequeños grupos de tipo Lie / grupos poliédricos : [3]
Todo esto se puede explicar de manera sistemática utilizando álgebra lineal (y la acción de S n en el espacio afín n ) para definir el isomorfismo que va del lado derecho al lado izquierdo. (Los isomorfismos anteriores para A 8 y S 8 están vinculados a través del isomorfismo excepcional SL 4 / μ 2 ≅ SO 6 .)
Existen también algunas coincidencias con las simetrías de los poliedros regulares : el grupo alternado A 5 concuerda con el grupo icosaédrico quiral (en sí mismo un objeto excepcional), y la doble cubierta del grupo alternado A 5 es el grupo icosaédrico binario .
El grupo trivial surge de numerosas formas. El grupo trivial suele omitirse al comienzo de una familia clásica. Por ejemplo:
Las esferas S 0 , S 1 y S 3 admiten estructuras de grupo, que pueden describirse de muchas maneras:
Además de Spin(1), Spin(2) y Spin(3) anteriores, existen isomorfismos para grupos de espín de dimensiones superiores :
Además, Spin(8) tiene un automorfismo de trialidad de orden 3 excepcional .
Existen algunos isomorfismos excepcionales de los diagramas de Dynkin , que dan lugar a isomorfismos de los grupos de Coxeter correspondientes y de politopos que realizan las simetrías, así como isomorfismos de álgebras de Lie cuyos sistemas de raíces se describen mediante los mismos diagramas. Estos son:
{{citation}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )