Cohomología de la gavilla

En matemáticas , la cohomología de una gavilla es la aplicación del álgebra homológica para analizar las secciones globales de una gavilla en un espacio topológico . En términos generales, la cohomología de gavilla describe los obstáculos para resolver un problema geométrico globalmente cuando se puede resolver localmente. El trabajo central para el estudio de la cohomología de la gavilla es el artículo Tôhoku de 1957 de Grothendieck .

Jean Leray introdujo las gavillas, la cohomología de las gavillas y las secuencias espectrales en el campo de prisioneros de guerra Oflag XVII-A en Austria. ^[1] De 1940 a 1945, Leray y otros prisioneros organizaron una "université en captivité" en el campo.

Las definiciones de Leray se simplificaron y aclararon en la década de 1950. Quedó claro que la cohomología de gavilla no era sólo un nuevo enfoque de la cohomología en topología algebraica , sino también un método poderoso en geometría analítica compleja y geometría algebraica . Estos temas a menudo implican la construcción de funciones globales con propiedades locales específicas, y la cohomología de gavilla es ideal para tales problemas. Muchos resultados anteriores, como el teorema de Riemann-Roch y el teorema de Hodge, se han generalizado o comprendido mejor utilizando la cohomología de la gavilla.

Definición

La categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico X es una categoría abeliana , por lo que tiene sentido preguntar cuándo un morfismo f : B → C de haces es inyectivo (un monomorfismo ) o sobreyectivo (un epimorfismo ). Una respuesta es que f es inyectiva (respectivamente sobreyectiva) si y sólo si el homomorfismo asociado en los tallos B _x → C _x es inyectivo (respectivamente sobreyectiva ) para cada punto x en X. Se deduce que f es inyectiva si y sólo si el homomorfismo B ( U ) → C ( U ) de secciones sobre U es inyectivo para todo conjunto abierto U en X . Sin embargo, la sobreyectividad es más sutil: el morfismo f es sobreyectivo si y sólo si para cada conjunto abierto U en X , cada sección s de C sobre U y cada punto x en U , existe una vecindad abierta V de x en U tal que está restringido a V es la imagen de alguna sección de B sobre V. (En palabras: cada sección de C se eleva localmente a las secciones de B ).

Como resultado surge la pregunta: dada una sobreyección B → C de gavillas y una sección s de C sobre X , ¿cuándo es s la imagen de una sección de B sobre X ? Este es un modelo para todo tipo de cuestiones locales versus globales en geometría. La cohomología de la gavilla da una respuesta general satisfactoria. Es decir, sea A el núcleo de la sobreyección B → C , dando una secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

de gavillas en X . Luego hay una secuencia larga y exacta de grupos abelianos, llamados grupos de cohomología de gavilla:

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,A)\to H^{0}(X,B)\to H^{0}(X,C)\to H^{1}(X,A)\to \cdots ,}$

donde H ⁰ ( X , A ) es el grupo A ( X ) de secciones globales de A en X . Por ejemplo, si el grupo H ¹ ( X , A ) es cero, entonces esta secuencia exacta implica que cada sección global de C se eleva a una sección global de B . En términos más generales, la secuencia exacta hace que el conocimiento de los grupos de cohomología superiores sea una herramienta fundamental para comprender las secciones de las gavillas.

La definición de Grothendieck de cohomología de gavilla, ahora estándar, utiliza el lenguaje del álgebra homológica. El punto esencial es fijar un espacio topológico X y pensar en la cohomología como un funtor desde haces de grupos abelianos en X hasta grupos abelianos. Con más detalle, comience con el funtor E ↦ E ( X ) desde haces de grupos abelianos en X hasta grupos abelianos. Esto es exacto a la izquierda , pero en general no exacto a la derecha. Entonces los grupos H ⁱ ( X , E ) para números enteros i se definen como los funtores derivados derecho del funtor E ↦ E ( X ). Esto hace que sea automático que H ⁱ ( X , E ) sea cero para i < 0, y que H ⁰ ( X , E ) sea el grupo E ( X ) de secciones globales. La larga secuencia exacta anterior también se desprende de esta definición.

La definición de funtores derivados utiliza que la categoría de haces de grupos abelianos en cualquier espacio topológico X tiene suficientes inyectivos; es decir, por cada haz E hay un haz inyectivo I con una inyección E → I . ^[2] De ello se deduce que cada haz E tiene una resolución inyectiva :

${\displaystyle 0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .}$

Entonces los grupos de cohomología de la gavilla H ⁱ ( X , E ) son los grupos de cohomología (el núcleo de un homomorfismo módulo la imagen del anterior) del complejo de cadenas de grupos abelianos:

${\displaystyle 0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .}$

Los argumentos estándar en álgebra homológica implican que estos grupos de cohomología son independientes de la elección de la resolución inyectiva de E.

La definición rara vez se utiliza directamente para calcular la cohomología de la gavilla. No obstante, es poderoso porque funciona con gran generalidad (cualquier haz de grupos abelianos en cualquier espacio topológico) e implica fácilmente las propiedades formales de la cohomología de haces, como la larga secuencia exacta anterior. Para clases específicas de espacios o haces, existen muchas herramientas para calcular la cohomología de haces, algunas de las cuales se analizan a continuación.

Funcionalidad

Para cualquier mapa continuo f : X → Y de espacios topológicos, y cualquier haz E de grupos abelianos en Y , existe un homomorfismo de retroceso

${\displaystyle f^{*}\colon H^{j}(Y,E)\to H^{j}(X,f^{*}(E))}$

para cada número entero j , donde f *( E ) denota la gavilla de imagen inversa o la gavilla de retroceso . ^[3] Si f es la inclusión de un subespacio X de Y , f *( E ) es la restricción de E a X , a menudo simplemente llamada E nuevamente, y el retroceso de una sección s de Y a X se llama restricción s | _X .

Los homomorfismos de retroceso se utilizan en la secuencia de Mayer-Vietoris , un resultado computacional importante. Es decir, sea X un espacio topológico que es una unión de dos subconjuntos abiertos U y V , y sea E un haz de X. Luego hay una secuencia larga y exacta de grupos abelianos: ^[4]

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,E)\to H^{0}(U,E)\oplus H^{0}(V,E)\to H^{0}(U\cap V,E)\to H^{1}(X,E)\to \cdots .}$

Cohomología de gavilla con coeficientes constantes.

Para un espacio topológico y un grupo abeliano , el haz constante significa el haz de funciones localmente constantes con valores en . Los grupos de cohomología de gavilla con coeficientes constantes a menudo se escriben simplemente como , a menos que esto pueda causar confusión con otra versión de cohomología, como la cohomología singular . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H^{j}(X,A_{X})}$ ${\displaystyle H^{j}(X,A)}$

Para un mapa continuo f : X → Y y un grupo abeliano A , la gavilla de retroceso f *( A _Y ) es isomorfa a A _X . Como resultado, el homomorfismo de retroceso convierte la cohomología de gavilla con coeficientes constantes en un functor contravariante desde espacios topológicos hasta grupos abelianos.

Para cualquier espacio X e Y y cualquier grupo abeliano A , dos aplicaciones homotópicas f y g de X a Y inducen el mismo homomorfismo en la cohomología de la gavilla: ^[5]

${\displaystyle f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\to H^{j}(X,A).}$

De ello se deduce que dos espacios equivalentes de homotopía tienen cohomología de gavilla isomórfica con coeficientes constantes.

Sea X un espacio de Hausdorff paracompacto que es localmente contráctil , incluso en el sentido débil de que cada vecindad abierta U de un punto x contiene una vecindad abierta V de x tal que la inclusión V → U es homotópica a una aplicación constante. Entonces los grupos de cohomología singulares de X con coeficientes en un grupo abeliano A son isomorfos a la cohomología de gavilla con coeficientes constantes, H *( X , A _X ). ^[6] Por ejemplo, esto es válido para X una variedad topológica o un complejo CW .

Como resultado, muchos de los cálculos básicos de la cohomología de gavilla con coeficientes constantes son los mismos que los cálculos de la cohomología singular. Consulte el artículo sobre cohomología para conocer la cohomología de esferas, espacios proyectivos, toros y superficies.

Para espacios topológicos arbitrarios, la cohomología singular y la cohomología de gavilla (con coeficientes constantes) pueden ser diferentes. Esto sucede incluso para H ⁰ . La cohomología singular H ⁰ ( X , Z ) es el grupo de todas las funciones del conjunto de componentes de ruta de X a los números enteros Z , mientras que la cohomología de gavilla H ⁰ ( X , Z _X ) es el grupo de funciones localmente constantes de X a Z. _ Estos son diferentes, por ejemplo, cuando X es el conjunto de Cantor . De hecho, la cohomología de la gavilla H ⁰ ( X , Z _X ) es un grupo abeliano contable en ese caso, mientras que la cohomología singular H ⁰ ( X , Z ) es el grupo de todas las funciones de X a Z , que tiene cardinalidad.

${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}.}$

Para un espacio de Hausdorff paracompacto X y cualquier haz E de grupos abelianos en X , los grupos de cohomología H ^j ( X , E ) son cero para j mayor que la dimensión de cobertura de X. ^[7] (Esto no se aplica con la misma generalidad a la cohomología singular: por ejemplo, hay un subconjunto compacto del espacio euclidiano R ³ que tiene cohomología singular distinta de cero en infinitos grados. ^[8] ) La dimensión de cobertura concuerda con la habitual noción de dimensión para una variedad topológica o un complejo CW.

Gavillas flácidas y blandas.

Una gavilla E de grupos abelianos en un espacio topológico X se llama acíclica si H ^j ( X , E ) = 0 para todo j > 0. Por la larga secuencia exacta de cohomología de gavilla, la cohomología de cualquier gavilla se puede calcular a partir de cualquier acíclico resolución de E (en lugar de una resolución inyectiva). Las gavillas inyectivas son acíclicas, pero para los cálculos es útil tener otros ejemplos de gavillas acíclicas.

Una gavilla E en X se llama flácida (francés: flasque ) si cada sección de E en un subconjunto abierto de X se extiende a una sección de E en todo X. Las gavillas flácidas son acíclicas. ^[9] Godement definió la cohomología de la gavilla mediante una resolución flácida canónica de cualquier gavilla; Dado que las gavillas flácidas son acíclicas, la definición de Godement concuerda con la definición de cohomología de gavillas anterior. ^[10]

Una gavilla E en un espacio de Hausdorff paracompacto X se llama blanda si cada sección de la restricción de E a un subconjunto cerrado de X se extiende a una sección de E en todo X. Cada haz blando es acíclico. ^[11]

Algunos ejemplos de haces suaves son el haz de funciones continuas de valor real en cualquier espacio paracompacto de Hausdorff, o el haz de funciones suaves ( C ^∞ ) en cualquier variedad suave . ^[12] De manera más general, cualquier haz de módulos sobre un haz blando de anillos conmutativos es blando; por ejemplo, el haz de secciones suaves de un haz de vectores sobre una variedad suave es suave. ^[13]

Por ejemplo, estos resultados forman parte de la demostración del teorema de De Rham . Para una variedad suave X , el lema de Poincaré dice que el complejo de Rham es una resolución de la gavilla constante R _X :

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} _{X}\to \Omega _{X}^{0}\to \Omega _{X}^{1}\to \cdots ,}$

donde Ω _X ^j es el haz de j -formas suaves y el mapa Ω _X ^j → Ω _X ^{j +1} es la derivada exterior d . Según los resultados anteriores, las gavillas Ω _X ^j son suaves y por lo tanto acíclicas. De ello se deduce que la cohomología de la gavilla de X con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham de X , definida como la cohomología del complejo de espacios vectoriales reales :

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{0}(X)\to \Omega _{X}^{1}(X)\to \cdots .}$

La otra parte del teorema de De Rham es identificar la cohomología de la gavilla y la cohomología singular de X con coeficientes reales; eso se cumple con mayor generalidad, como se analizó anteriormente.

cohomología checa

La cohomología de Čech es una aproximación a la cohomología de la gavilla que suele ser útil para los cálculos. Es decir, sea una cubierta abierta de un espacio topológico X y sea E un haz de grupos abelianos en X. Escriba los conjuntos abiertos en la portada como U _i para los elementos i de un conjunto I y fije el orden de I. Entonces la cohomología de Čech se define como la cohomología de un complejo explícito de grupos abelianos con j -ésimo grupo ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$

${\displaystyle C^{j}({\mathcal {U}},E)=\prod _{i_{0}<\cdots <i_{j}}E(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{j}}).}$

Hay un homomorfismo natural . Por tanto, la cohomología de Čech es una aproximación a la cohomología de la gavilla utilizando sólo las secciones de E en intersecciones finitas de los conjuntos abiertos U _i . ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)\to H^{j}(X,E)}$

Si cada intersección finita V de los conjuntos abiertos en no tiene cohomología superior con coeficientes en E , lo que significa que H ^j ( V , E ) = 0 para todo j > 0, entonces el homomorfismo de la cohomología de Čech a la cohomología de gavilla es un isomorfismo. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$

Otro enfoque para relacionar la cohomología de Čech con la cohomología de la gavilla es el siguiente. Los grupos de cohomología de Čech se definen como el límite directo de todas las cubiertas abiertas de X (donde las cubiertas abiertas se ordenan por refinamiento ). Existe un homomorfismo de la cohomología de Čech a la cohomología de gavilla, que es un isomorfismo para j ≤ 1. Para espacios topológicos arbitrarios, la cohomología de Čech puede diferir de la cohomología de gavilla en grados superiores. Convenientemente, sin embargo, la cohomología de Čech es isomorfa a la cohomología de la gavilla para cualquier gavilla en un espacio de Hausdorff paracompacto. ^[15] ${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)}$

El isomorfismo implica una descripción de H ¹ ( X , E ) para cualquier haz E de grupos abelianos en un espacio topológico X : este grupo clasifica los E - torsores (también llamados E -paquetes principales ) sobre X , hasta el isomorfismo. (Esta afirmación se generaliza a cualquier haz de grupos G , no necesariamente abelianos, utilizando el conjunto de cohomología no abeliano H ¹ ( X , G ).) Por definición, un E -torsor sobre X es un haz S de conjuntos junto con una acción de E en X tal que cada punto en X tiene una vecindad abierta en la que S es isomorfo a E , con E actuando sobre sí mismo por traslación. Por ejemplo, en un espacio anillado ( X , O _X ), se deduce que el grupo Picard de gavillas invertibles en X es isomorfo al grupo de cohomología de gavilla H ¹ ( X , O _X *), donde O _X * es la gavilla de unidades en O _X . ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,E)\cong H^{1}(X,E)}$

Cohomología relativa

Para un subconjunto Y de un espacio topológico X y un haz E de grupos abelianos en X , se pueden definir grupos de cohomología relativa : ^[16]

${\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)=H^{j}(X,X-Y;E)}$

para números enteros j . Otros nombres son cohomología de X con soporte en Y , o (cuando Y está cerrado en X ) cohomología local . Una secuencia larga y exacta relaciona la cohomología relativa con la cohomología de la gavilla en el sentido habitual:

${\displaystyle \cdots \to H_{Y}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)\to H^{j}(X-Y,E)\to H_{Y}^{j+1}(X,E)\to \cdots .}$

Cuando Y está cerrado en X , la cohomología con soporte en Y se puede definir como los functores derivados del funtor.

${\displaystyle H_{Y}^{0}(X,E):=\{s\in E(X):s|_{X-Y}=0\},}$

el grupo de secciones de E que se apoyan en Y .

Existen varios isomorfismos conocidos como escisión . Por ejemplo, si X es un espacio topológico con subespacios Y y U tales que el cierre de Y está contenido en el interior de U , y E es un haz de X , entonces la restricción

${\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)\to H_{Y}^{j}(U,E)}$

es un isomorfismo. ^[17] (Entonces la cohomología con soporte en un subconjunto cerrado Y solo depende del comportamiento del espacio X y la gavilla E cerca de Y. ) Además, si X es un espacio de Hausdorff paracompacto que es la unión de los subconjuntos cerrados A y B , y E es una gavilla en X , entonces la restricción

${\displaystyle H^{j}(X,B;E)\to H^{j}(A,A\cap B;E)}$

es un isomorfismo. ^[18]

Cohomología con soporte compacto.

Sea X un espacio topológico localmente compacto . (En este artículo, se entiende que un espacio localmente compacto es Hausdorff). Para una gavilla E de grupos abelianos en X , se puede definir cohomología con soporte compacto H _c ^j ( X , E ). ^[19] Estos grupos se definen como los functores derivados del funtor de secciones soportadas compactamente:

${\displaystyle H_{c}^{0}(X,E)=\{s\in E(X):{\text{there is a compact subset }}K{\text{ of }}X{\text{ with }}s|_{X-K}=0\}.}$

Existe un homomorfismo natural H _c ^j ( X , E ) → H ^j ( X , E ), que es un isomorfismo para X compacto.

Para una gavilla E en un espacio localmente compacto X , la cohomología con soporte compacto de X × R con coeficientes en el retroceso de E es un desplazamiento de la cohomología con soporte compacto de X : ^[20]

${\displaystyle H_{c}^{j+1}(X\times \mathbf {R} ,E)\cong H_{c}^{j}(X,E).}$

Se deduce, por ejemplo, que H _c ^j ( R ⁿ , Z ) es isomorfo a Z si j = n y es cero en caso contrario.

La cohomología con soporte compacto no es funcional con respecto a mapas continuos arbitrarios. Sin embargo , para un mapa adecuado f : Y → X de espacios localmente compactos y un haz E en X , existe un homomorfismo de retroceso

${\displaystyle f^{*}\colon H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,f^{*}(E))}$

sobre cohomología con soporte compacto. Además, para un subconjunto abierto U de un espacio localmente compacto X y un haz E en X , existe un homomorfismo de avance conocido como extensión por cero : ^[21]

${\displaystyle H_{c}^{j}(U,E)\to H_{c}^{j}(X,E).}$

Ambos homomorfismos ocurren en la secuencia de localización exacta larga para cohomología con soporte compacto, para un espacio X localmente compacto y un subconjunto cerrado Y : ^[22]

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{j}(X-Y,E)\to H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,E)\to H_{c}^{j+1}(X-Y,E)\to \cdots .}$

Producto de taza

Para cualesquiera gavillas A y B de grupos abelianos en un espacio topológico X , existe un mapa bilineal, el producto de copa

${\displaystyle H^{i}(X,A)\times H^{j}(X,B)\to H^{i+j}(X,A\otimes B),}$

para todo i y j . ^[23] Aquí A ⊗ B denota el producto tensorial sobre Z , pero si A y B son haces de módulos sobre algún haz O _X de anillos conmutativos, entonces se puede mapear más desde H ^{i + j} (X, A ⊗ _Z B ) a H ^{​​i + j} (X, A ⊗ _{O X} B ). En particular, para una gavilla O _X de anillos conmutativos, el producto de copa hace la suma directa

${\displaystyle H^{*}(X,O_{X})=\bigoplus _{j}H^{j}(X,O_{X})}$

en un anillo conmutativo graduado , lo que significa que

${\displaystyle vu=(-1)^{ij}uv}$

para todo u en H ⁱ y v en H ^j . ^[24]

Complejos de gavillas

La definición de cohomología de gavilla como functor derivado se extiende para definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo E de gavillas:

${\displaystyle \cdots \to E_{j}\to E_{j+1}\to E_{j+2}\to \cdots }$

En particular, si el complejo E está acotado por debajo (el haz E _j es cero para j suficientemente negativo), entonces E tiene una resolución inyectiva I tal como la tiene un solo haz. (Por definición, I es un complejo acotado por debajo de haces inyectivos con un mapa de cadena E → I que es un cuasi-isomorfismo ). Entonces los grupos de cohomología H ^j ( X , E ) se definen como la cohomología del complejo de grupos abelianos

${\displaystyle \cdots \to I_{j}(X)\to I_{j+1}(X)\to I_{j+2}(X)\to \cdots .}$

La cohomología de un espacio con coeficientes en un complejo de haces se llamaba antes hipercohomología , pero ahora normalmente simplemente "cohomología".

De manera más general, para cualquier complejo de gavillas E (no necesariamente acotadas a continuación) en un espacio X , el grupo de cohomología H ^j ( X , E ) se define como un grupo de morfismos en la categoría derivada de gavillas en X :

${\displaystyle H^{j}(X,E)=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} _{X},E[j]),}$

donde Z _X es la gavilla constante asociada a los números enteros, y E [ j ] significa el complejo E desplazado j pasos hacia la izquierda.

Dualidad y generalizaciones de Poincaré

Un resultado central en topología es el teorema de dualidad de Poincaré : para una variedad topológica conectada orientada cerrada X de dimensión n y un campo k , el grupo H ⁿ ( X , k ) es isomorfo a k , y el producto de copa

${\displaystyle H^{j}(X,k)\times H^{n-j}(X,k)\to H^{n}(X,k)\cong k}$

es un emparejamiento perfecto para todos los números enteros j . Es decir, el mapa resultante de H ^j ( X , k ) al espacio dual H ^{n − j} ( X , k )* es un isomorfismo. En particular, los espacios vectoriales H ^j ( X , k ) y H ^{n − j} ( X , k )* tienen la misma dimensión (finita) .

Son posibles muchas generalizaciones utilizando el lenguaje de la cohomología de la gavilla. Si X es una variedad n orientada , no necesariamente compacta o conexa, y k es un campo, entonces la cohomología es el dual de la cohomología con soporte compacto:

${\displaystyle H^{j}(X,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

Para cualquier variedad X y campo k , hay una gavilla o _X en X , la gavilla de orientación , que es localmente (pero quizás no globalmente) isomorfa a la gavilla constante k . Una versión de la dualidad de Poincaré para una n -variedad X arbitraria es el isomorfismo: ^[25]

${\displaystyle H^{j}(X,o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

De manera más general, si E es un haz localmente constante de k -espacios vectoriales en una n -colector X y los tallos de E tienen una dimensión finita, entonces hay un isomorfismo

${\displaystyle H^{j}(X,E^{*}\otimes o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,E)^{*}.}$

Con coeficientes en un anillo conmutativo arbitrario en lugar de un campo, la dualidad de Poincaré se formula naturalmente como un isomorfismo de la cohomología a la homología Borel-Moore .

La dualidad de Verdier es una amplia generalización. Para cualquier espacio localmente compacto X de dimensión finita y cualquier campo k , hay un objeto D _X en la categoría derivada D ( X ) de haces en X llamado complejo dualizante (con coeficientes en k ). Un caso de dualidad de Verdier es el isomorfismo: ^[26]

${\displaystyle H^{j}(X,D_{X})\cong H_{c}^{-j}(X,k)^{*}.}$

Para una n -variedad X , el complejo dualizante D _X es isomorfo al desplazamiento o _X [ n ] de la gavilla de orientación. Como resultado, la dualidad de Verdier incluye la dualidad de Poincaré como un caso especial.

La dualidad de Alexander es otra generalización útil de la dualidad de Poincaré. Para cualquier subconjunto cerrado X de una n -variedad M orientaday cualquier campo k , existe un isomorfismo: ^[27]

${\displaystyle H_{X}^{j}(M,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

Esto ya es interesante para X un subconjunto compacto de M = R ⁿ , donde dice (en términos generales) que la cohomología de R ⁿ − X es el dual de la cohomología de la gavilla de X . En esta afirmación, es esencial considerar la cohomología de la gavilla en lugar de la cohomología singular, a menos que se hagan suposiciones adicionales sobre X , como la contractibilidad local.

Imágenes directas superiores y secuencia espectral de Leray.

Sea f : X → Y un mapa continuo de espacios topológicos, y sea E un haz de grupos abelianos en X . La gavilla de imagen directa f _* E es la gavilla en Y definida por

${\displaystyle (f_{*}E)(U)=E(f^{-1}(U))}$

para cualquier subconjunto abierto U de Y . Por ejemplo, si f es el mapa de X a un punto, entonces f _* E es la gavilla en un punto correspondiente al grupo E ( X ) de secciones globales de E .

El funtor f _* de las poleas en X a las poleas en Y es exacto a la izquierda, pero en general no exacto a la derecha. Las gavillas de imagen directa superior R ⁱ f _* E en Y se definen como los funtores derivados derechos del funtor f _* . Otra descripción es que R ⁱ f _* E es la gavilla asociada a la pregavilla

${\displaystyle U\mapsto H^{i}(f^{-1}(U),E)}$

en Y. _ ^[28] Por lo tanto, los haces de imágenes directas superiores describen la cohomología de imágenes inversas de pequeños conjuntos abiertos en Y , en términos generales.

La secuencia espectral de Leray relaciona la cohomología en X con la cohomología en Y. Es decir, para cualquier mapa continuo f : X → Y y cualquier haz E en X , existe una secuencia espectral

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,R^{j}f_{*}E)\Rightarrow H^{i+j}(X,E).}$

Este es un resultado muy general. El caso especial en el que f es una fibración y E es un haz constante juega un papel importante en la teoría de la homotopía bajo el nombre de secuencia espectral de Serre . En ese caso, las gavillas de imagen directa superiores son localmente constantes, con tallos de los grupos de cohomología de las fibras F de f , por lo que la secuencia espectral de Serre se puede escribir como

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,H^{j}(F,A))\Rightarrow H^{i+j}(X,A)}$

para un grupo abeliano A.

Un caso simple pero útil de la secuencia espectral de Leray es que para cualquier subconjunto cerrado X de un espacio topológico Y y cualquier haz E en X , escribiendo f : X → Y para la inclusión, existe un isomorfismo ^[29]

${\displaystyle H^{i}(Y,f_{*}E)\cong H^{i}(X,E).}$

Como resultado, cualquier pregunta sobre la cohomología de la gavilla en un subespacio cerrado puede traducirse a una pregunta sobre la imagen directa de la gavilla en el espacio ambiental.

Finitud de la cohomología

Hay un fuerte resultado de finitud en la cohomología de la gavilla. Sea X un espacio compacto de Hausdorff y sea R un dominio ideal principal , por ejemplo un campo o el anillo Z de números enteros. Sea E un haz de R -módulos en X y supongamos que E tiene "cohomología localmente generada finitamente", lo que significa que para cada punto x en X , cada entero j y cada vecindad abierta U de x , hay una vecindad abierta V ⊂ U de x tal que la imagen de H ^j ( U , E ) → H ^j ( V , E ) es un módulo R finitamente generado . Entonces los grupos de cohomología H ^j ( X , E ) son módulos R generados de forma finita . ^[30]

Por ejemplo, para un espacio compacto de Hausdorff X que es localmente contráctil (en el sentido débil analizado anteriormente), el grupo de cohomología de gavilla H ^j ( X , Z ) se genera de forma finita para cada entero j .

Un caso en el que se aplica el resultado de la finitud es el de una gavilla construible . Sea X un espacio topológicamente estratificado . En particular, X viene con una secuencia de subconjuntos cerrados.

${\displaystyle X=X_{n}\supset X_{n-1}\supset \cdots \supset X_{-1}=\emptyset }$

tal que cada diferencia X _i − X _{i −1} es una variedad topológica de dimensión i . Un haz E de R -módulos en X es construible con respecto a la estratificación dada si la restricción de E a cada estrato X _i − X _{i −1} es localmente constante, con un tallo R -módulo finitamente generado. Una gavilla E en X que es construible con respecto a la estratificación dada tiene cohomología generada localmente de forma finita. ^[31] Si X es compacto, se deduce que los grupos de cohomología H ^j ( X , E ) de X con coeficientes en una gavilla construible se generan de forma finita.

De manera más general, supongamos que X es compactificable, lo que significa que hay un espacio estratificado compacto W que contiene a X como un subconjunto abierto, siendo W – X una unión de componentes conectados de estratos. Entonces, para cualquier haz construible E de R -módulos en X , los R -módulos H ^j ( X , E ) y H _c ^j ( X , E ) se generan finitamente. ^[32] Por ejemplo, cualquier variedad algebraica compleja X , con su topología clásica (euclidiana), es compactificable en este sentido.

Cohomología de gavillas coherentes.

En geometría algebraica y geometría analítica compleja, las gavillas coherentes son una clase de gavillas de particular importancia geométrica. Por ejemplo, un paquete de vectores algebraico (en un esquema localmente noetheriano ) o un paquete de vectores holomórfico (en un espacio analítico complejo ) pueden verse como un haz coherente, pero los haces coherentes tienen la ventaja sobre los paquetes de vectores de que forman una categoría abeliana. En un esquema, también es útil considerar las gavillas cuasi coherentes , que incluyen las gavillas localmente libres de rango infinito.

Se sabe mucho sobre los grupos de cohomología de un esquema o espacio analítico complejo con coeficientes en un haz coherente. Esta teoría es una herramienta técnica clave en geometría algebraica. Entre los principales teoremas se encuentran los resultados sobre la desaparición de la cohomología en diversas situaciones, los resultados sobre la dimensión finita de la cohomología, las comparaciones entre la cohomología de gavilla coherente y la cohomología singular, como la teoría de Hodge , y las fórmulas sobre las características de Euler en la cohomología de gavilla coherente, como la de Riemann. Teorema de Roch .

Gavillas en un sitio

En la década de 1960, Grothendieck definió la noción de sitio , es decir, una categoría equipada con una topología de Grothendieck . Un sitio C axiomatiza la noción de un conjunto de morfismos V α _→ U en C que es una cubierta de U. Un espacio topológico X determina un sitio de forma natural: la categoría C tiene objetos los subconjuntos abiertos de X , siendo los morfismos inclusiones, y con un conjunto de morfismos V _α → U llamado cobertura de U si y sólo si U es la unión de los subconjuntos abiertos V _α . El ejemplo motivador de una topología de Grothendieck más allá de ese caso fue la topología étale sobre esquemas. Desde entonces, se han utilizado muchas otras topologías de Grothendieck en geometría algebraica: la topología fpqc , la topología de Nisnevich , etc.

La definición de gavilla funciona en cualquier sitio. Así, podemos hablar de un haz de conjuntos en un sitio, un haz de grupos abelianos en un sitio, etc. La definición de cohomología de gavilla como functor derivado también funciona en un sitio. Entonces uno tiene grupos de cohomología de gavilla H ^j ( X , E ) para cualquier objeto X de un sitio y cualquier gavilla E de grupos abelianos. Para la topología étale, esto da la noción de cohomología étale , que condujo a la prueba de las conjeturas de Weil . La cohomología cristalina y muchas otras teorías de cohomología en geometría algebraica también se definen como cohomología de gavilla en un sitio apropiado.

Notas

1. (Molinero 2000)
2. (Iversen 1986, Teorema II.3.1.)
3. (Iversen 1986, II.5.1.)
4. (Iversen 1986, II.5.10.)
5. (Iversen 1986, Teorema IV.1.1.)
6. (Bredon 1997, Teorema III.1.1.)
7. (Godement 1973, II.5.12.)
8. (Barratt y Milnor 1962)
9. (Iversen 1986, Teorema II.3.5.)
10. (Iversen 1986, II.3.6.)
11. (Bredon 1997, Teorema II.9.11.)
12. (Bredon 1997, Ejemplo II.9.4.)
13. (Bredon 1997, Teorema II.9.16.)
14. (Godement 1973, sección II.5.4.)
15. (Godement 1973, sección II.5.10.)
16. (Bredon 1997, sección II.12.)
17. (Bredon 1997, Teorema II.12.9.)
18. (Bredon 1997, Corolario II.12.5.)
19. (Iversen 1986, Definición III.1.3.)
20. (Bredon 1997, Teorema II.15.2.)
21. (Iversen 1986, II.7.4.)
22. (Iversen 1986, II.7.6.)
23. (Iversen 1986, II.10.1.)
24. (Iversen 1986, II.10.3.)
25. (Iversen 1986, Teorema V.3.2.)
26. (Iversen 1986, IX.4.1.)
27. (Iversen 1986, Teorema IX.4.7 y sección IX.1.)
28. (Iversen 1986, Proposición II.5.11.)
29. (Iversen 1986, II.5.4.)
30. (Bredon 1997, Teorema II.17.4), (Borel 1984, V.3.17.)
31. (Borel 1984, Proposición V.3.10.)
32. (Borel 1984, Lema V.10.13.)

Referencias

• Barratt, MG; Milnor, John (1962), "Un ejemplo de homología singular anómala", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 13 (2): 293–297, doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0137110-9 , SEÑOR  0137110
• Borel, Armand (1984), Cohomología de intersección , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3274-3, señor  0788171
• Bredon, Glen E. (1997) [1967], Teoría de la gavilla , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 170 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-0647-7, ISBN 978-0-387-94905-5, señor  1481706
• Godement, Roger (1973) [1958], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, MR  0345092
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• Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques point d'algèbre homologique", Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , SEÑOR  0102537. Traducción en inglés.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, OCLC  13348052
• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, señor  0842190
• Molinero, Haynes (2000). "Leray en Oag XVIIA: Los orígenes de la teoría de la gavilla, la cohomología de la gavilla y las secuencias espectrales" (PDF) . S2CID  13024093.

enlaces externos

• El hilo "Cohomología de gavilla y resoluciones inyectivas" en MathOverflow
• La "cohomología de la gavilla" en Stack Exchange