Buena resolución

Concepto de teoría de gavillas

La resolución de Godement de un haz es una construcción en álgebra homológica que permite ver información cohomológica global sobre el haz en términos de información local proveniente de sus tallos. Es útil para calcular la cohomología de los haces . Fue descubierta por Roger Godement .

Construcción de Godement

Dado un espacio topológico X (más generalmente, un topos X con suficientes puntos), y un haz F en X, la construcción de Godement para F da un haz construido de la siguiente manera. Para cada punto , sea el tallo de F en x . Dado un conjunto abierto , defina ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)(U):=\prod _{x\in U}F_{x}.}$

Un subconjunto abierto claramente induce una función de restricción , por lo que es un prehaz . Se comprueba fácilmente el axioma de la gavilla . También se demuestra fácilmente que es flácido , lo que significa que cada función de restricción es sobreyectiva. La función se puede convertir en un funtor porque una función entre dos haces induce funciones entre sus tallos. Finalmente, hay una función canónica de haces que envía cada sección al 'producto' de sus gérmenes . Esta función canónica es una transformación natural entre el funtor identidad y . ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)(V)\rightarrow \operatorname {Gode} (F)(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} }$ ${\displaystyle F\to \operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} }$

Otra forma de verlo es la siguiente. Sea el conjunto X con la topología discreta. Sea la función continua inducida por la identidad. Induce funtores de imagen directa e inversa adjuntos y . Entonces , y la unidad de esta adjunción es la transformación natural descrita anteriormente. ${\displaystyle \operatorname {Gode} }$ ${\displaystyle X_{\text{disc}}}$ ${\displaystyle p\colon X_{\text{disc}}\to X}$ ${\displaystyle p_{*}}$ ${\displaystyle p^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} =p_{*}\circ p^{-1}}$

Debido a esta adjunción, hay una mónada asociada en la categoría de haces en X . Usando esta mónada hay una manera de convertir un haz F en un haz cosimplicial coaumentado. Este haz cosimplicial coaumentado da lugar a un complejo de cocadena aumentado que se define como la resolución de Godement de F .

En términos más prácticos, sea , y sea la función canónica. Para cada , sea , y sea la función canónica. La resolución resultante es una resolución débil de F , y su cohomología es la cohomología de haz de F . ${\displaystyle G_{0}(F)=\operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle d_{0}\colon F\rightarrow G_{0}(F)}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle G_{i}(F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} (\operatorname {coker} (d_{i-1}))}$ ${\displaystyle d_{i}\colon G_{i-1}\rightarrow G_{i}}$

Referencias

• Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, ISBN 9782705612528, Sr.  0345092
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139644136, ISBN 978-0-521-55987-4, Sr.  1269324

Enlaces externos

• Los autores del Proyecto Stacks. "Resolución de Godement 20.30".
• Goresky, Mark. "Introducción a las gavillas perversas §.4.1. Resolución de Godement" (PDF) . Instituto de Estudios Avanzados.