Teorema de Riemann-Roch

Relación entre género, grado y dimensión de espacios funcionales sobre superficies.

El teorema de Riemann-Roch es un teorema importante en matemáticas , específicamente en análisis complejo y geometría algebraica , para el cálculo de la dimensión del espacio de funciones meromórficas con ceros prescritos y polos permitidos . Relaciona el análisis complejo de una superficie de Riemann compacta conectada con el género puramente topológico g de la superficie , de una manera que puede trasladarse a entornos puramente algebraicos.

Inicialmente demostrado como desigualdad de Riemann por Riemann (1857), el teorema alcanzó su forma definitiva para las superficies de Riemann después del trabajo del efímero estudiante de Riemann , Gustav Roch  (1865). Posteriormente se generalizó a curvas algebraicas , a variedades de dimensiones superiores y más allá.

Nociones preliminares

Una superficie de Riemann del género 3.

Una superficie de Riemann es un espacio topológico que es localmente homeomorfo a un subconjunto abierto del conjunto de números complejos . Además, se requiere que los mapas de transición entre estos subconjuntos abiertos sean holomorfos . Esta última condición permite transferir a la superficie las nociones y métodos de análisis complejos que tratan de funciones holomorfas y meromórficas . A los efectos del teorema de Riemann-Roch, siempre se supone que la superficie es compacta . Coloquialmente hablando, el género de una superficie de Riemann es su número de asas ; por ejemplo, el género de la superficie de Riemann que se muestra a la derecha es tres. Más precisamente, el género se define como la mitad del primer número de Betti , es decir, la mitad de la dimensión - del primer grupo de homología singular con coeficientes complejos. El género clasifica las superficies compactas de Riemann hasta el homeomorfismo , es decir, dos de esas superficies son homeomorfas si y sólo si su género es el mismo. Por tanto, el género es un invariante topológico importante de una superficie de Riemann. Por otro lado, la teoría de Hodge muestra que el género coincide con la dimensión del espacio de las formas holomorfas en , por lo que el género también codifica información analítica compleja sobre la superficie de Riemann. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$

Un divisor es un elemento del grupo abeliano libre en los puntos de la superficie. De manera equivalente, un divisor es una combinación lineal finita de puntos de la superficie con coeficientes enteros. ${\displaystyle D}$

Cualquier función meromórfica da lugar a un divisor denotado definido como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f)}$

${\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu }}$

donde es el conjunto de todos los ceros y polos de , y está dado por ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{\nu }}$

${\displaystyle s_{\nu }:={\begin{cases}a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a zero of order }}a\\-a&{\text{if }}z_{\nu }{\text{ is a pole of order }}a.\end{cases}}}$

Se sabe que el conjunto es finito; esto es una consecuencia de ser compacto y del hecho de que los ceros de una función holomorfa (distinta de cero) no tienen un punto de acumulación . Por tanto, está bien definido. Cualquier divisor de esta forma se llama divisor principal. Dos divisores que se diferencian por un divisor principal se llaman linealmente equivalentes . El divisor de una forma 1 meromórfica se define de manera similar. Un divisor de una forma 1 meromórfica global se llama divisor canónico (generalmente denotado ). Cualesquiera dos formas 1 meromórficas producirán divisores linealmente equivalentes, por lo que el divisor canónico se determina de forma única hasta la equivalencia lineal (de ahí "el" divisor canónico). ${\displaystyle R(f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle K}$

El símbolo indica el grado (ocasionalmente también llamado índice) del divisor , es decir, la suma de los coeficientes que aparecen en . Se puede demostrar que el divisor de una función meromorfa global siempre tiene grado 0, por lo que el grado de un divisor depende sólo de su clase de equivalencia lineal. ${\displaystyle \deg(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

El número es la cantidad de interés principal: la dimensión (sobre ) del espacio vectorial de funciones meromorfas en la superficie, de modo que todos los coeficientes de no sean negativos. Intuitivamente, podemos pensar en esto como todas las funciones meromórficas cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en ; si el coeficiente en at es negativo, entonces requerimos que tenga un cero de al menos esa multiplicidad en – si el coeficiente en es positivo, puede tener un polo de como máximo ese orden. Los espacios vectoriales para divisores linealmente equivalentes son naturalmente isomorfos mediante la multiplicación con la función meromorfa global (que está bien definida hasta un escalar). ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (h)+D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h}$

Declaración del teorema

El teorema de Riemann-Roch para una superficie compacta de género de Riemann con estados divisores canónicos ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1.}$

Normalmente, el número es el de interés, mientras que se considera un término de corrección (también llamado índice de especialidad ^{[2] [3]} ), por lo que el teorema se puede parafrasear aproximadamente diciendo ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle \ell (K-D)}$

dimensión − corrección = grado − género + 1.

Debido a que es la dimensión de un espacio vectorial, el término de corrección siempre es no negativo, de modo que ${\displaystyle \ell (K-D)}$

${\displaystyle \ell (D)\geq \deg(D)-g+1.}$

Esto se llama desigualdad de Riemann . La parte de la afirmación de Roch es la descripción de la posible diferencia entre los lados de la desigualdad. En una superficie general de Riemann de género , tiene grado , independientemente de la forma meromorfa elegida para representar el divisor. Esto se sigue de poner el teorema. En particular, siempre que tenga un grado al menos , el término de corrección es 0, de modo que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle D=K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2g-1}$

${\displaystyle \ell (D)=\deg(D)-g+1.}$

El teorema se ilustrará ahora para superficies de género bajo. También hay otros teoremas estrechamente relacionados: una formulación equivalente de este teorema utilizando haces de líneas y una generalización del teorema a curvas algebraicas .

Ejemplos

El teorema se ilustrará seleccionando un punto de la superficie en cuestión y con respecto a la secuencia de números. ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

es decir, la dimensión del espacio de funciones que son holomorfas en todas partes excepto donde se permite que la función tenga un polo de orden como máximo . Por lo tanto, se requiere que las funciones sean completas , es decir, holomorfas en toda la superficie . Según el teorema de Liouville , dicha función es necesariamente constante. Por lo tanto, . En general, la secuencia es una secuencia creciente. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell (0)=1}$ ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

Género cero

La esfera de Riemann (también llamada línea proyectiva compleja ) es simplemente conexa y, por tanto, su primera homología singular es cero. En particular su género es cero. La esfera puede estar cubierta por dos copias de , y el mapa de transición está dado por ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto {\frac {1}{z}}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.}$

Por lo tanto, la forma en una copia de se extiende a una forma meromórfica en la esfera de Riemann: tiene un doble polo en el infinito, ya que ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz.}$

Por tanto, su divisor canónico es (donde está el punto en el infinito). ${\displaystyle K:=\operatorname {div} (\omega )=-2P}$ ${\displaystyle P}$

Por lo tanto, el teorema dice que la secuencia se lee ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$

1, 2, 3,... .

Esta secuencia también se puede leer en la teoría de fracciones parciales . Por el contrario, si esta secuencia comienza de esta manera, entonces debe ser cero. ${\displaystyle g}$

Género uno

Un toro.

El siguiente caso es una superficie de Riemann de género , como un toro , donde hay una red bidimensional (un grupo isomorfo a ). Su género es uno: su primer grupo de homología singular se genera libremente mediante dos bucles, como se muestra en la ilustración de la derecha. La coordenada compleja estándar on produce una forma única que es holomorfa en todas partes, es decir, que no tiene ningún polo. Por lo tanto , el divisor de es cero. ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega =dz}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \omega }$

En esta superficie, esta secuencia es

1, 1, 2, 3, 4, 5...;

y esto caracteriza el caso . De hecho, para , como se mencionó anteriormente. Porque con , el grado de es estrictamente negativo, de modo que el término de corrección es 0. La secuencia de dimensiones también puede derivarse de la teoría de funciones elípticas . ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle \ell (K-D)=\ell (0)=1}$ ${\displaystyle D=n\cdot P}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle K-D}$

Género dos y más allá

Para , la secuencia mencionada anteriormente es ${\displaystyle g=2}$

1, 1, ?, 2, 3, ... .

De esto se demuestra que el ? El término de grado 2 es 1 o 2, dependiendo del punto. Se puede comprobar que en cualquier curva de género 2 existen exactamente seis puntos cuyas secuencias son 1, 1, 2, 2,... y el resto de puntos tienen la secuencia genérica 1, 1, 1, 2,... En particular, una curva de género 2 es una curva hiperelíptica . Porque siempre es cierto que en la mayoría de los puntos la secuencia comienza con unos y hay un número finito de puntos con otras secuencias (ver puntos de Weierstrass ). ${\displaystyle g>2}$ ${\displaystyle g+1}$

Riemann-Roch para paquetes de líneas

Utilizando la estrecha correspondencia entre divisores y haces de líneas holomorfas en una superficie de Riemann, el teorema también se puede expresar de una manera diferente, aunque equivalente: sea L un haz de líneas holomorfas en X. Denotemos el espacio de secciones holomorfas de L . Este espacio será de dimensión finita; se denota su dimensión . Sea K el paquete canónico en X. Entonces, el teorema de Riemann-Roch establece que ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g.}$

El teorema de la sección anterior es el caso especial de cuando L es un paquete de puntos.

El teorema se puede aplicar para demostrar que hay g secciones holomorfas linealmente independientes de K , o formas unitarias en X , de la siguiente manera. Tomando L como el paquete trivial, ya que las únicas funciones holomorfas en X son constantes. El grado de L es cero y es el paquete trivial. De este modo, ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$ ${\displaystyle L^{-1}}$

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g.}$

Por lo tanto , demostrando que existen g formas uni holomorfas. ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$

Grado de paquete canónico

Dado que el paquete canónico tiene , la aplicación de Riemann-Roch da como resultado ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$ ${\displaystyle L=K}$

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

que se puede reescribir como

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

por tanto, el grado del paquete canónico es . ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$

Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas

Cada elemento de la formulación anterior del teorema de Riemann-Roch para divisores en superficies de Riemann tiene un análogo en geometría algebraica . El análogo de una superficie de Riemann es una curva algebraica no singular C sobre un campo k . La diferencia en terminología (curva versus superficie) se debe a que la dimensión de una superficie de Riemann como variedad real es dos, pero una como variedad compleja. La compacidad de una superficie de Riemann es paralela a la condición de que la curva algebraica sea completa , lo que equivale a ser proyectiva . En un campo general k , no existe una buena noción de (co)homología singular. El llamado género geométrico se define como

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

es decir, como la dimensión del espacio de formas unitarias (algebraicas) globalmente definidas (ver Diferencial de Kähler ). Finalmente, las funciones meromorfas en una superficie de Riemann se representan localmente como fracciones de funciones holomorfas. Por lo tanto, son reemplazadas por funciones racionales que son localmente fracciones de funciones regulares . Por lo tanto, escribiendo para la dimensión (sobre k ) del espacio de funciones racionales en la curva cuyos polos en cada punto no son peores que el coeficiente correspondiente en D , se cumple la misma fórmula anterior: ${\displaystyle \ell (D)}$

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1.}$

donde C es una curva algebraica proyectiva no singular sobre un campo algebraicamente cerrado k . De hecho, la misma fórmula se aplica a las curvas proyectivas sobre cualquier cuerpo, excepto que el grado de un divisor debe tener en cuenta las multiplicidades provenientes de las posibles extensiones del campo base y los campos residuales de los puntos que sostienen el divisor. ^[4] Finalmente, para una curva propia sobre un anillo artiniano , la característica de Euler del haz de líneas asociado a un divisor viene dada por el grado del divisor (apropiadamente definido) más la característica de Euler de la gavilla estructural . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

El supuesto de suavidad del teorema también se puede relajar: para una curva (proyectiva) sobre un campo algebraicamente cerrado, todos cuyos anillos locales son anillos de Gorenstein , se cumple la misma afirmación anterior, siempre que el género geométrico definido anteriormente sea reemplazado por el género aritmético g _a , definido como

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C}).}$^[6]

(Para curvas suaves, el género geométrico concuerda con el aritmético). El teorema también se ha extendido a curvas singulares generales (y variedades de dimensiones superiores). ^[7]

Aplicaciones

polinomio de Hilbert

Una de las consecuencias importantes de Riemann-Roch es que proporciona una fórmula para calcular el polinomio de Hilbert de haces de líneas en una curva. Si un conjunto de líneas es amplio, entonces el polinomio de Hilbert dará el primer grado, lo que dará una incrustación en el espacio proyectivo. Por ejemplo, la gavilla canónica tiene grado , lo que da un conjunto de líneas amplio para género . ^[8] Si establecemos entonces la fórmula de Riemann-Roch dice ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

Dando el polinomio de Hilbert de grado de ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$

Debido a que se utiliza la gavilla tricónica para incrustar la curva, el polinomio de Hilbert ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

generalmente se considera al construir el esquema de curvas de Hilbert (y el espacio de módulos de curvas algebraicas ). Este polinomio es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

y se llama polinomio de Hilbert de una curva de género g .

Incrustación pluricanónica

Analizando más a fondo esta ecuación, la característica de Euler se lee como

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

Desde ${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$

porque , dado que su grado es negativo para todos , lo que implica que no tiene secciones globales, hay una incrustación en algún espacio proyectivo desde las secciones globales de . En particular, proporciona una incrustación en donde desde . Esto es útil en la construcción del espacio de módulos de curvas algebraicas porque puede usarse como espacio proyectivo para construir el esquema de Hilbert con el polinomio de Hilbert . ^[9] ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$ ${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$ ${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$ ${\displaystyle H_{C}(t)}$

Género de curvas planas con singularidades.

Una curva algebraica plana irreducible de grado d tiene ( d  − 1)( d  − 2)/2 −  g singularidades, cuando se cuenta correctamente. De ello se deduce que, si una curva tiene ( d  − 1)( d  − 2)/2 singularidades diferentes, es una curva racional y, por tanto, admite una parametrización racional.

Fórmula de Riemann-Hurwitz

La fórmula de Riemann-Hurwitz relativa a aplicaciones (ramificadas) entre superficies de Riemann o curvas algebraicas es una consecuencia del teorema de Riemann-Roch.

Teorema de Clifford sobre divisores especiales

El teorema de Clifford sobre divisores especiales también es consecuencia del teorema de Riemann-Roch. Afirma que para un divisor especial (es decir, tal que ) se cumple la siguiente desigualdad: ^[10] ${\displaystyle \ell (K-D)>0}$ ${\displaystyle \ell (D)>0,}$

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1.}$

Prueba

Prueba de curvas algebraicas

El enunciado de las curvas algebraicas se puede demostrar utilizando la dualidad de Serre . El número entero es la dimensión del espacio de secciones globales del haz de líneas asociado a D ( cf. divisor de Cartier ). En términos de cohomología de gavilla , tenemos por lo tanto , y de la misma manera . Pero la dualidad de Serre para variedades proyectivas no singulares en el caso particular de una curva establece que es isomorfa a la dual . Por tanto , el lado izquierdo es igual a la característica de Euler del divisor D. Cuando D = 0, encontramos que la característica de Euler para la estructura de la gavilla es por definición. Para demostrar el teorema del divisor general, se puede proceder sumando puntos uno por uno al divisor y asegurarse de que la característica de Euler se transforme en consecuencia hacia el lado derecho. ${\displaystyle \ell (D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$ ${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$ ${\displaystyle 1-g}$

Prueba de superficies compactas de Riemann

El teorema de las superficies compactas de Riemann se puede deducir de la versión algebraica utilizando el teorema de Chow y el principio GAGA : de hecho, cada superficie compacta de Riemann está definida por ecuaciones algebraicas en algún espacio proyectivo complejo. (El teorema de Chow dice que cualquier subvariedad analítica cerrada del espacio proyectivo se define mediante ecuaciones algebraicas, y el principio GAGA dice que la cohomología de la gavilla de una variedad algebraica es la misma que la cohomología de la gavilla de la variedad analítica definida por las mismas ecuaciones).

Se puede evitar el uso del teorema de Chow argumentando de manera idéntica a la prueba en el caso de curvas algebraicas, pero reemplazándolo con el haz de funciones meromorfas h tales que todos los coeficientes del divisor sean no negativos. Aquí, el hecho de que la característica de Euler se transforma según se desea cuando se suma un punto al divisor se puede leer a partir de la secuencia exacta larga inducida por la secuencia exacta corta. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$ ${\displaystyle (h)+D}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

donde está el haz de rascacielos en P , y el mapa devuelve el coeficiente de Laurent, donde . ^[11] ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$ ${\displaystyle -k-1}$ ${\displaystyle k=D(P)}$

Teorema aritmético de Riemann-Roch

Una versión del teorema aritmético de Riemann-Roch establece que si k es un campo global y f es una función adecuadamente admisible de los adeles de k , entonces para cada idele a , se tiene una fórmula de suma de Poisson :

${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in k}{\hat {f}}(x/a)=\sum _{x\in k}f(ax).}$

En el caso especial en el que k es el campo funcional de una curva algebraica sobre un campo finito y f es cualquier carácter trivial en k , esto recupera el teorema geométrico de Riemann-Roch. ^[12]

Otras versiones del teorema aritmético de Riemann-Roch hacen uso de la teoría de Arakelov para parecerse más exactamente al teorema tradicional de Riemann-Roch.

Generalizaciones del teorema de Riemann-Roch

El teorema de Riemann-Roch para curvas fue demostrado para superficies de Riemann por Riemann y Roch en la década de 1850 y para curvas algebraicas por Friedrich Karl Schmidt en 1931 mientras trabajaba en campos perfectos de características finitas . Como afirma Peter Roquette , ^[13]

El primer logro importante de FK Schmidt es el descubrimiento de que el teorema clásico de Riemann-Roch sobre superficies compactas de Riemann puede transferirse a campos funcionales con campo de base finito. En realidad, su demostración del teorema de Riemann-Roch funciona para campos base perfectos arbitrarios, no necesariamente finitos.

Es fundamental en el sentido de que la teoría posterior de las curvas intenta refinar la información que proporciona (por ejemplo, en la teoría de Brill-Noether ).

Hay versiones en dimensiones superiores (para la noción adecuada de divisor o haz de líneas ). Su formulación general depende de dividir el teorema en dos partes. Uno, que ahora se llamaría dualidad de Serre , interpreta el término como una dimensión de un primer grupo de cohomología de haz ; con la dimensión de un grupo de cohomología cero, o espacio de secciones, el lado izquierdo del teorema se convierte en una característica de Euler , y el lado derecho en un cálculo del mismo como un grado corregido según la topología de la superficie de Riemann. ${\displaystyle \ell (K-D)}$ ${\displaystyle \ell (D)}$

En la geometría algebraica de dimensión dos, los geómetras de la escuela italiana encontraron tal fórmula ; Se demostró un teorema de Riemann-Roch para superficies (existen varias versiones, siendo la primera posiblemente debida a Max Noether ).

Friedrich Hirzebruch encontró y demostró una generalización n -dimensional, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , como una aplicación de clases características en topología algebraica ; estuvo muy influenciado por el trabajo de Kunihiko Kodaira . Casi al mismo tiempo, Jean-Pierre Serre estaba dando la forma general de la dualidad de Serre, tal como la conocemos ahora.

Alexander Grothendieck demostró una generalización de gran alcance en 1957, ahora conocida como teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Su trabajo reinterpreta a Riemann-Roch no como un teorema sobre una variedad, sino sobre un morfismo entre dos variedades. Los detalles de las pruebas fueron publicados por Armand Borel y Jean-Pierre Serre en 1958. ^[14] Posteriormente, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la prueba. ^[15]

Finalmente también se encontró una versión general en topología algebraica . Básicamente, todos estos desarrollos se llevaron a cabo entre 1950 y 1960. Después de eso, el teorema del índice de Atiyah-Singer abrió otra ruta hacia la generalización. En consecuencia, la característica de Euler de una gavilla coherente es razonablemente computable. Para un solo sumando dentro de la suma alterna, se deben utilizar argumentos adicionales, como teoremas de fuga .

Ver también

• Teoría de Arakelov
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
• Fórmula Riemann-Roch de Kawasaki
• polinomio de Hilbert
• Módulos de curvas algebraicas.

Notas

1. Griffith, Harris, pág. 116, 117
2. Stichtenoth p.22
3. Mukai páginas 295-297
4. Liu, Qing (2002), Geometría algebraica y curvas aritméticas , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850284-5, Sección 7.3
5. * Altman, Allen; Kleiman, Steven (1970), Introducción a la teoría de la dualidad de Grothendieck , Lecture Notes in Mathematics, vol. 146, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, Teorema VIII.1.4., pág. 164
6. Hartshorne, Robin (1986), "Divisores generalizados en curvas de Gorenstein y un teorema de Noether", Revista de Matemáticas de la Universidad de Kyoto , 26 (3): 375–386, doi : 10.1215/kjm/1250520873 , ISSN  0023-608X
7. Baum, Pablo; Fulton, William ; MacPherson, Robert (1975), "Riemann-Roch para variedades singulares", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 45 (45): 101–145, doi :10.1007/BF02684299, ISSN  1618-1913, S2CID  83458307
8. Tenga en cuenta que los módulos de las curvas elípticas se pueden construir de forma independiente, consulte https://arxiv.org/abs/0812.1803, y solo hay una curva suave de género 0, que se puede encontrar utilizando la teoría de la deformación. Ver https://arxiv.org/abs/math/0507286 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$
9. Deligne, P.; Mumford, D. (1969). "Irreductibilidad del espacio de curvas de determinado género". IES . 36 : 75-110. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi :10.1007/BF02684599. S2CID  16482150. 
10. Fulton, William (1989), Curvas algebraicas (PDF) , Advanced Book Classics, Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-51010-2, pag. 109
11. Forster, Otto (1981), Conferencias sobre superficies de Riemann , Springer Nature , ISBN 978-1-4612-5963-3, Sección 16
12. Ramakrishnan, Dinakar; Valenza, Robert (1999), Análisis de Fourier en campos numéricos , Springer-Verlag, Capítulo 7.
13. "Manuscritos".
14. A. Borel y J.-P. Serré. Toro. Soc. Matemáticas. Francia 86 (1958), 97-136.
15. SGA 6, Springer-Verlag (1971).

Referencias

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• Grothendieck, Alexander y col. (1966/67), Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.
• Fulton, William (1974). Curvas algebraicas (PDF) . Serie de notas de conferencias de matemáticas. WA Benjamín. ISBN 0-8053-3080-1.
• Jost, Jürgen (2006). Superficies compactas de Riemann . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-33065-3.Véanse las páginas 208 y 219 para ver la prueba en la situación compleja. Tenga en cuenta que Jost utiliza una notación ligeramente diferente.
• Hartshorne, Robin (1977). Geometría Algebraica . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. SEÑOR  0463157. OCLC  13348052., contiene la declaración para curvas sobre un campo algebraicamente cerrado. Ver sección IV.1.
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• Stichtenoth, Henning (1993). Campos y códigos de funciones algebraicas . Springer-Verlag. ISBN 3-540-56489-6.
• Misha Kapovich, El teorema de Riemann-Roch (nota de clase) una introducción elemental
• J. Gray, Geometría y teorema de Riemann-Roch, 1854-1914.
• ¿Existe un Riemann-Roch para curvas proyectivas suaves sobre un campo arbitrario? en MathOverflow