Teoría de Arakelov

En matemáticas , la teoría de Arakelov (o geometría de Arakelov ) es una aproximación a la geometría diofántica , llamada así por Suren Arakelov . Se utiliza para estudiar ecuaciones diofánticas en dimensiones superiores.

Fondo

La principal motivación detrás de la geometría de Arakelov es el hecho de que existe una correspondencia entre los ideales primos y los lugares finitos , pero también existe un lugar en el infinito , dado por la valoración de Arquímedes , que no tiene un ideal primo correspondiente. La geometría de Arakelov proporciona una técnica para compactar en un espacio completo. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v_{\infty }}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle {\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}}$$

esquemasuperficie de Riemannmétricas hermitianashaces de vectores holomorfosXCSpec( Z )variedad completa ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$

Tenga en cuenta que existen otras técnicas para construir una extensión espacial completa , que es la base de la geometría F 1 . ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

Definición original de divisores

Sea un campo, su anillo de números enteros y un género curvado con un modelo no singular , llamado superficie aritmética . Además, dejamos ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$

$${\displaystyle \infty :K\to \mathbb {C} }$$

divisor c ${\displaystyle X_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }}$$

${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lambda _{\infty }\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \sum _{\infty }}$$

${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})}$

Resultados

Arakelov  (1974, 1975) definió una teoría de intersección sobre las superficies aritméticas unidas a curvas proyectivas suaves sobre campos numéricos, con el objetivo de probar ciertos resultados, conocidos en el caso de campos funcionales, en el caso de campos numéricos. Gerd Faltings  (1984) amplió el trabajo de Arakelov estableciendo resultados como un teorema de Riemann-Roch, una fórmula de Noether , un teorema del índice de Hodge y la no negatividad de la autointersección del haz dualizante en este contexto.

La teoría de Arakelov fue utilizada por Paul Vojta (1991) para dar una nueva prueba de la conjetura de Mordell , y por Gerd Faltings  (1991) en su prueba de la generalización de Serge Lang de la conjetura de Mordell.

Pierre Deligne  (1987) desarrolló un marco más general para definir el par de intersección definido en una superficie aritmética sobre el espectro de un anillo de números enteros por Arakelov.

La teoría de Arakelov fue generalizada por Henri Gillet y Christophe Soulé a dimensiones superiores. Es decir, Gillet y Soulé definieron un par de intersección en una variedad aritmética. Uno de los principales resultados de Gillet y Soulé es el teorema aritmético de Riemann-Roch de Gillet y Soulé (1992), una extensión del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a variedades aritméticas. Para esto, se definen grupos aritméticos de Chow CH ^p ( X ) de una variedad aritmética X , y se definen clases de Chern para paquetes de vectores hermitianos sobre X tomando valores en los grupos aritméticos de Chow. El teorema aritmético de Riemann-Roch luego describe cómo se comporta la clase Chern bajo el avance de paquetes de vectores bajo un mapa adecuado de variedades aritméticas. Gillet, Rössler y Soulé publicaron recientemente una demostración completa de este teorema.

La teoría de la intersección de Arakelov para superficies aritméticas fue desarrollada más adelante por Jean-Benoît Bost (1999). La teoría de Bost se basa en el uso de funciones de Green que, hasta singularidades logarítmicas, pertenecen al espacio de Sobolev . En este contexto, Bost obtiene un teorema aritmético del índice de Hodge y lo utiliza para obtener teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas. ${\displaystyle L_{1}^{2}}$

Grupos de Chow aritmético

Un ciclo aritmético de codimensión p es un par ( Z ,  g ) donde Z  ∈  Z ^p ( X ) es un p -ciclo en X y g es una corriente de Green para Z , una generalización de dimensiones superiores de una función de Green. El grupo aritmético de Chow de codimensión p es el cociente de este grupo por el subgrupo generado por ciertos ciclos "triviales". ^[1] ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)}$

El teorema aritmético de Riemann-Roch

El teorema habitual de Grothendieck-Riemann-Roch describe cómo se comporta el carácter de Chern ch cuando las gavillas se empujan hacia adelante y establece que ch( f _* ( E )) = f _* (ch(E)Td _{X / Y} ), donde f es un morfismo de X a Y y E es un paquete de vectores sobre f . El teorema aritmético de Riemann-Roch es similar, excepto que la clase de Todd se multiplica por una determinada serie de potencias . Los estados aritméticos del teorema de Riemann-Roch

$${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))}$$

• X e Y son esquemas aritméticos proyectivos regulares.
• f es un mapa adecuado y fluido de X a Y
• E es un paquete de vectores aritméticos sobre X .
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}}$es el carácter aritmético de Chern.
• T _X/Y es el paquete tangente relativo
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}}$es la clase aritmética de Todd
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)}$es ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))}$
• R ( X ) es la clase característica aditiva asociada a la serie de potencias formales
  $${\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ odd}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}$$

Ver también

• Teoría de Hodge-Arakelov
• Teoría de Hodge
• Teoría P-ádica de Hodge
• grupo adelico

Notas

1. Manin y Panchishkin (2008) págs. 400–401

Referencias

• Arakelov, Suren J. (1974), "Teoría de la intersección de divisores en una superficie aritmética", Math. URSS Izv. , 8 (6): 1167–1180, doi :10.1070/IM1974v008n06ABEH002141, Zbl  0355.14002
• Arakelov, Suren J. (1975), "Teoría de las intersecciones en una superficie aritmética", Proc. Internacional. Congr. Matemáticos de Vancouver , vol. 1, americano. Matemáticas. Soc., págs. 405–408, Zbl  0351.14003
• Bost, Jean-Benoît (1999), "Teorema del potencial y teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 32 (2): 241–312, doi :10.1016/s0012- 9593(99)80015-9, ISSN  0012-9593, Zbl  0931.14014
• Deligne, P. (1987), "Le déterminant de la cohomologie", Tendencias actuales en geometría aritmética algebraica (Arcata, California, 1985) [ El determinante de la cohomología ], Matemáticas contemporáneas, vol. 67, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 93–177, doi :10.1090/conm/067/902592, MR  0902592
• Faltings, Gerd (1984), "Cálculo sobre superficies aritméticas", Annals of Mathematics , segunda serie, 119 (2): 387–424, doi :10.2307/2007043, JSTOR  2007043
• Faltings, Gerd (1991), "Aproximación diofántica sobre variedades abelianas", Annals of Mathematics , segunda serie, 133 (3): 549–576, doi :10.2307/2944319, JSTOR  2944319
• Faltings, Gerd (1992), Conferencias sobre el teorema aritmético de Riemann-Roch , Annals of Mathematics Studies, vol. 127, Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, doi :10.1515/9781400882472, ISBN 0-691-08771-7, señor  1158661
• Gillet, Henri ; Soulé, Christophe (1992), "Un teorema aritmético de Riemann-Roch", Inventiones Mathematicae , 110 : 473–543, doi :10.1007/BF01231343
• Kawaguchi, Shu; Moriwaki, Atsushi; Yamaki, Kazuhiko (2002), "Introducción a la geometría de Arakelov", Geometría algebraica en Asia Oriental (Kyoto, 2001) , River Edge, Nueva Jersey: World Sci. Publ., págs. 1–74, doi :10.1142/9789812705105_0001, ISBN 978-981-238-265-8, señor  2030448
• Lang, Serge (1988), Introducción a la teoría de Arakelov , Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-1031-3, ISBN 0-387-96793-1, SEÑOR  0969124, Zbl  0667.14001
• Manín, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 49 (Segunda ed.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.
• Soulé, Christophe (2001) [1994], "Teoría de Arakelov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Soulé, C.; con la colaboración de D. Abramovich, J.-F. Burnol y J. Kramer (1992), Conferencias sobre geometría de Arakelov , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 33, Cambridge: Cambridge University Press, págs. viii+177, doi :10.1017/CBO9780511623950, ISBN 0-521-41669-8, señor  1208731
• Vojta, Paul (1991), "Teorema de Siegel en el caso compacto", Anales de Matemáticas , Anales de Matemáticas, vol. 133, núm. 3, 133 (3): 509–548, doi :10.2307/2944318, JSTOR  2944318

enlaces externos

• Papel original
• Archivo de preimpresión de geometría de Arakelov