Valor absoluto (álgebra)

En álgebra , un valor absoluto (también llamado valoración , magnitud o norma , ^[1] aunque " norma " generalmente se refiere a un tipo específico de valor absoluto en un campo ) es una función que mide el "tamaño" de los elementos en un campo o dominio integral . Más precisamente, si D es un dominio integral, entonces un valor absoluto es cualquier aplicación |x| de D a los números reales R que satisfacen:

De estos axiomas se deduce que |1| = 1 y |−1| = 1. Además, para cada entero positivo n ,

| norte | = |1 + 1 + ... + 1 ( n veces)| = |−1 − 1 − ... − 1 ( n veces)| ≤  norte .

El " valor absoluto " clásico es aquel en el que, por ejemplo, |2| = 2, pero muchas otras funciones cumplen los requisitos indicados anteriormente, por ejemplo la raíz cuadrada del valor absoluto clásico (pero no su cuadrado).

Un valor absoluto induce una métrica (y por tanto una topología ) mediante ${\displaystyle d(f,g)=|f-g|.}$

Ejemplos

• El valor absoluto estándar de los números enteros.
• El valor absoluto estándar en los números complejos .
• El valor absoluto p -ádico de los números racionales .
• Si R es el campo de funciones racionales sobre un campo F y es un elemento fijo irreducible de R , entonces lo siguiente define un valor absoluto en R : porque en R define ser , donde y ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle f(x)=p(x)^{n}{\frac {g(x)}{h(x)}}}$ ${\displaystyle \gcd(g(x),p(x))=1=\gcd(h(x),p(x)).}$

Tipos de valor absoluto

El valor absoluto trivial es el valor absoluto con | x | = 0 cuando x  = 0 y | x | = 1 en caso contrario. ^[2] Todo dominio integral puede llevar al menos el valor absoluto trivial. El valor trivial es el único valor absoluto posible en un campo finito porque cualquier elemento distinto de cero puede elevarse a alguna potencia para producir 1.

Si un valor absoluto satisface la propiedad más fuerte | x  +  y | ≤ max(| x |, | y |) para todos x e y , entonces | x | se denomina valor absoluto ultramétrico o no de Arquímedes , y en caso contrario valor absoluto de Arquímedes .

Lugares

Si | x | ₁ y | x | ₂ son dos valores absolutos en el mismo dominio integral D , entonces los dos valores absolutos son equivalentes si | x | ₁ < 1 si y sólo si | x | ₂ < 1 para todo x . Si dos valores absolutos no triviales son equivalentes, entonces para algún exponente e tenemos | x | ₁ ^mi = | x | ₂ para todo x . Elevar un valor absoluto a una potencia menor que 1 da como resultado otro valor absoluto, pero elevarlo a una potencia mayor que 1 no necesariamente da como resultado un valor absoluto. (Por ejemplo, elevar al cuadrado el valor absoluto habitual de los números reales produce una función que no es un valor absoluto porque viola la regla | x + y | ≤ | x |+| y |.) Valores absolutos hasta la equivalencia, o en En otras palabras, una clase de equivalencia de valores absolutos se llama lugar .

El teorema de Ostrowski establece que los lugares no triviales de los números racionales Q son el valor absoluto ordinario y el valor absoluto p -ádico para cada primo p . ^[3] Para un primo p dado , cualquier número racional q se puede escribir como p ⁿ ( a / b ), donde a y b son números enteros no divisibles por p y n es un número entero. El valor absoluto p -ádico de q es

${\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.}$

Dado que el valor absoluto ordinario y los valores absolutos p -ádicos son valores absolutos según la definición anterior, estos definen lugares.

Valoraciones

Si para algún valor absoluto ultramétrico y cualquier base b  > 1, definimos ν ( x ) = −log _b | x | para x  ≠ 0 y ν (0) = ∞, donde ∞ se ordena mayor que todos los números reales, entonces obtenemos una función de D a R  ∪ {∞}, con las siguientes propiedades:

• ν ( x ) = ∞ ⇒ x = 0,
• ν ( xy ) = ν ( x ) +  ν ( y ),
• ν ( x + y ) ≥ mín(ν( x ), ν ( y )).

Esta función se conoce como valoración en la terminología de Bourbaki , pero otros autores utilizan el término valoración para valor absoluto y luego dicen valoración exponencial en lugar de valoración .

Terminaciones

Dado un dominio integral D con valor absoluto, podemos definir las secuencias de Cauchy de elementos de D con respecto al valor absoluto requiriendo que para cada ε > 0 haya un entero positivo N tal que para todos los enteros m , n > N uno tiene | x _metro - x _norte | <ε. Las secuencias de Cauchy forman un anillo mediante suma y multiplicación puntuales. También se pueden definir secuencias nulas como secuencias ( an ₎ de elementos de D tales que | una _norte | converge a cero. Las secuencias nulas son un ideal primo en el anillo de secuencias de Cauchy y, por tanto, el anillo cociente es un dominio integral. El dominio D está incrustado en este anillo de cociente, llamado compleción de D con respecto al valor absoluto | x |.

Dado que los campos son dominios integrales, esta también es una construcción para completar un campo con respecto a un valor absoluto. Para demostrar que el resultado es un cuerpo, y no sólo un dominio integral, podemos demostrar que las secuencias nulas forman un ideal máximo o construir la inversa directamente. Esto último se puede hacer fácilmente tomando, para todos los elementos distintos de cero del anillo cociente, una secuencia que comience desde un punto más allá del último elemento cero de la secuencia. Cualquier elemento distinto de cero del anillo cociente se diferenciará por una secuencia nula de dicha secuencia, y al realizar una inversión puntual podemos encontrar un elemento inverso representativo.

Otro teorema de Alexander Ostrowski dice que cualquier cuerpo completo con respecto a un valor absoluto de Arquímedes es isomorfo tanto a los números reales como a los complejos, y la valoración es equivalente a la habitual. ^[4] El teorema de Gelfand-Tornheim establece que cualquier campo con una valoración de Arquímedes es isomorfo a un subcampo de C , siendo la valoración equivalente al valor absoluto habitual en C. ^[5]

Campos y dominios integrales.

Si D es un dominio integral con valor absoluto | x |, entonces podemos extender la definición del valor absoluto al campo de fracciones de D estableciendo

${\displaystyle |x/y|=|x|/|y|.\,}$

Por otro lado, si F es un campo con valor absoluto ultramétrico | x |, entonces el conjunto de elementos de F tales que | x | ≤ 1 define un anillo de valoración , que es un subanillo D de F tal que por cada elemento distinto de cero x de F , al menos uno de x o x ⁻¹ pertenece a D. Como F es un campo, D no tiene divisores de cero y es un dominio integral. Tiene un ideal máximo único que consta de todo x tal que | x | < 1 y, por tanto, es un anillo local .

Notas

1. Koblitz, Neal (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádico y funciones zeta (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 1.ISBN​ 978-0-387-96017-3. Consultado el 24 de agosto de 2012 . Las métricas con las que nos ocuparemos provendrán de normas en el campo F ...
2. Koblitz, Neal (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádico y funciones zeta (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 3.ISBN​ 978-0-387-96017-3. Consultado el 24 de agosto de 2012 . Por norma 'trivial' nos referimos a la norma ‖ ‖ tal que ‖0‖ = 0 y ‖ x ‖ = 1 para x  ≠ 0.
3. Cassels (1986) p.16
4. Cassels (1986) p.33
5. William Stein (6 de mayo de 2004). «Ejemplos de Valoraciones» . Consultado el 28 de enero de 2023 .

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1972). Álgebra conmutativa . Addison-Wesley.
• Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 3. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• Jacobson, Nathan (1989). Álgebra básica II (2ª ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.Capítulo 9, apartado 1 " Valores absolutos ".
• Janusz, Gerald J. (1996-1997). Campos de números algebraicos (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0429-4.