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Teoría de Arakelov

En matemáticas , la teoría de Arakelov (o geometría de Arakelov ) es una aproximación a la geometría diofántica , llamada así por Suren Arakelov . Se utiliza para estudiar ecuaciones diofánticas en dimensiones superiores.

Fondo

La principal motivación detrás de la geometría de Arakelov es el hecho de que existe una correspondencia entre los ideales primos y los lugares finitos , pero también existe un lugar en el infinito , dado por la valoración de Arquímedes , que no tiene un ideal primo correspondiente. La geometría de Arakelov proporciona una técnica para compactar en un espacio completo que tiene un número primo en el infinito. La construcción original de Arakelov estudia una de esas teorías, donde una definición de divisores es constructora de un esquema de dimensión relativa 1 tal que se extiende a una superficie de Riemann para cada valoración en el infinito. Además, equipa estas superficies de Riemann con métricas hermitianas en haces de vectores holomorfos sobre X ( C ), los puntos complejos de . Esta estructura hermitiana adicional se aplica como sustituto del fracaso del esquema Spec( Z ) de ser una variedad completa .

Tenga en cuenta que existen otras técnicas para construir una extensión espacial completa , que es la base de la geometría F 1 .

Definición original de divisores

Sea un campo, su anillo de números enteros y un género curvado con un modelo no singular , llamado superficie aritmética . Además, dejamos que haya una inclusión de campos (que se supone que representa un lugar en el infinito). Además, dejaremos que la superficie de Riemann asociada desde la base cambie a . Usando estos datos, podemos definir un divisor c como una combinación lineal formal donde es un subconjunto cerrado irreducible de codimensión 1, y , y la suma representa la suma de cada incrustación real de y sobre una incrustación para cada par de complejos. incrustaciones . El conjunto de c-divisores forma un grupo .

Resultados

Arakelov  (1974, 1975) definió una teoría de intersección sobre las superficies aritméticas unidas a curvas proyectivas suaves sobre campos numéricos, con el objetivo de probar ciertos resultados, conocidos en el caso de campos funcionales, en el caso de campos numéricos. Gerd Faltings  (1984) amplió el trabajo de Arakelov estableciendo resultados como un teorema de Riemann-Roch, una fórmula de Noether , un teorema del índice de Hodge y la no negatividad de la autointersección del haz dualizante en este contexto.

La teoría de Arakelov fue utilizada por Paul Vojta (1991) para dar una nueva prueba de la conjetura de Mordell , y por Gerd Faltings  (1991) en su prueba de la generalización de Serge Lang de la conjetura de Mordell.

Pierre Deligne  (1987) desarrolló un marco más general para definir el par de intersección definido en una superficie aritmética sobre el espectro de un anillo de números enteros por Arakelov. Shou-Wu Zhang  (1992) desarrolló una teoría de haces de líneas positivas y demostró un teorema de tipo Nakai-Moishezon para superficies aritméticas. Otros desarrollos en la teoría de fibrados de líneas positivas realizados por Zhang (1993, 1995a, 1995b) y Lucien Szpiro , Emmanuel Ullmo y Zhang (1997) culminaron en una prueba de la conjetura de Bogomolov por parte de Ullmo (1998) y Zhang (1998). [1]

La teoría de Arakelov fue generalizada por Henri Gillet y Christophe Soulé a dimensiones superiores. Es decir, Gillet y Soulé definieron un par de intersección en una variedad aritmética. Uno de los principales resultados de Gillet y Soulé es el teorema aritmético de Riemann-Roch de Gillet y Soulé (1992), una extensión del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a variedades aritméticas. Para esto, se definen grupos aritméticos de Chow CH p ( X ) de una variedad aritmética X , y se definen clases de Chern para paquetes de vectores hermitianos sobre X tomando valores en los grupos aritméticos de Chow. El teorema aritmético de Riemann-Roch luego describe cómo se comporta la clase Chern bajo el avance de paquetes de vectores bajo un mapa adecuado de variedades aritméticas. Gillet, Rössler y Soulé publicaron recientemente una demostración completa de este teorema.

La teoría de la intersección de Arakelov para superficies aritméticas fue desarrollada aún más por Jean-Benoît Bost (1999). La teoría de Bost se basa en el uso de funciones de Green que, hasta singularidades logarítmicas, pertenecen al espacio de Sobolev . En este contexto, Bost obtiene un teorema aritmético del índice de Hodge y lo utiliza para obtener teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas.

Grupos de Chow aritmético

Un ciclo aritmético de codimensión p es un par ( Zg ) donde Z  ∈  Z p ( X ) es un p -ciclo en X y g es una corriente de Green para Z , una generalización de dimensiones superiores de una función de Green. El grupo aritmético de Chow de codimensión p es el cociente de este grupo por el subgrupo generado por ciertos ciclos "triviales". [2]

El teorema aritmético de Riemann-Roch

El teorema habitual de Grothendieck-Riemann-Roch describe cómo se comporta el carácter de Chern ch cuando las gavillas se empujan hacia adelante y establece que ch( f * ( E )) = f * (ch(E)Td X / Y ), donde f es un morfismo de X a Y y E es un paquete de vectores sobre f . El teorema aritmético de Riemann-Roch es similar, excepto que la clase de Todd se multiplica por una determinada serie de potencias . El teorema aritmético de Riemann-Roch establece dónde

Ver también

Notas

  1. ^ Leong, YK (julio-diciembre de 2018). "Shou-Wu Zhang: teoría de números y geometría algebraica aritmética" (PDF) . Huellas . No. 32. Instituto de Ciencias Matemáticas, Universidad Nacional de Singapur. págs. 32–36 . Consultado el 5 de mayo de 2019 .
  2. ^ Manin y Panchishkin (2008) págs. 400–401

Referencias

enlaces externos