Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch es un resultado de gran alcance sobre la cohomología coherente . Es una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , sobre variedades complejas , que es a su vez una generalización del teorema clásico de Riemann-Roch para haces de líneas en superficies compactas de Riemann .

Los teoremas de tipo Riemann-Roch relacionan las características de Euler de la cohomología de un paquete de vectores con sus grados topológicos , o más generalmente sus clases características en (co)homología o análogos algebraicos de los mismos. El teorema clásico de Riemann-Roch hace esto para curvas y haces de líneas, mientras que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch generaliza esto para haces de vectores sobre variedades. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch establece ambos teoremas en una situación relativa de un morfismo entre dos variedades (o esquemas más generales ) y cambia el teorema de una declaración sobre un solo paquete a una que se aplica a complejos en cadena de gavillas .

El teorema ha sido muy influyente, sobre todo para el desarrollo del teorema del índice Atiyah-Singer . Por el contrario, se pueden demostrar análogos analíticos complejos del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch utilizando el teorema del índice para familias. Alexander Grothendieck dio una primera prueba en un manuscrito de 1957, publicado posteriormente. ^[1] Armand Borel y Jean-Pierre Serre escribieron y publicaron la prueba de Grothendieck en 1958. ^[2] Más tarde, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la prueba. ^[3]

Formulación

Sea X un esquema cuasiproyectivo suave sobre un campo . Bajo estos supuestos, el grupo de Grothendieck de complejos acotados de haces coherentes es canónicamente isomorfo al grupo de Grothendieck de complejos acotados de haces de vectores de rango finito. Usando este isomorfismo, considere el carácter de Chern (una combinación racional de clases de Chern ) como una transformación funtorial : ${\displaystyle K_{0}(X)}$

${\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}$

donde está el grupo Chow de ciclos en X de dimensión d módulo de equivalencia racional , tensorizado con los números racionales . En caso de que X se defina sobre los números complejos , el último grupo se asigna al grupo de cohomología topológica : ${\displaystyle A_{d}(X,\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}$

Consideremos ahora un morfismo adecuado entre esquemas cuasiproyectivos suaves y un complejo acotado de haces en ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}}$ ${\displaystyle X.}$

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch relaciona el mapa de avance

${\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}$

(suma alterna de imágenes directas superiores ) y el avance

${\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y),}$

por la fórmula

c h ( f ! F ∙ ) t re ( Y ) = f ∗ ( c h ( F ∙ ) t re ( X ) ) . {\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal { F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}

Aquí está el género Todd de (el paquete tangente de) X. Por lo tanto, el teorema da una medida precisa de la falta de conmutatividad al tomar el impulso hacia adelante en los sentidos anteriores y el carácter de Chern y muestra que los factores de corrección necesarios dependen únicamente de X e Y. De hecho, dado que el género Todd es functorial y multiplicativo en secuencias exactas , podemos reescribir la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch como ${\displaystyle \mathrm {td} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),}$

¿Dónde está la gavilla tangente relativa de f , definida como el elemento en ? Por ejemplo, cuando f es un morfismo suave , es simplemente un paquete vectorial, conocido como paquete tangente a lo largo de las fibras de f . ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle TX-f^{*}(TY)}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$ ${\displaystyle T_{f}}$

Utilizando la teoría de la homotopía A 1 , Navarro y Navarro (2017) han ampliado el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a la situación en la que f es un mapa adecuado entre dos esquemas suaves.

Generalizar y especializarse.

Se pueden hacer generalizaciones del teorema al caso no suave considerando una generalización apropiada de la combinación y al caso no apropiado considerando la cohomología con soporte compacto . ${\displaystyle \mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)}$

El teorema aritmético de Riemann-Roch extiende el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a esquemas aritméticos .

El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es (esencialmente) el caso especial donde Y es un punto y el campo es el campo de números complejos.

Ivan Panin y Alexander Smirnov demostraron una versión del teorema de Riemann-Roch para teorías de cohomología orientada. ^[4] Se ocupa de las operaciones multiplicativas entre teorías de cohomología orientadas algebraicas (como el cobordismo algebraico ). El caso Grothendieck-Riemann-Roch es un caso particular de este resultado, y el personaje de Chern surge naturalmente en este contexto. ^[5]

Ejemplos

Paquetes de vectores en una curva

Un paquete vectorial de rango y grado (definido como el grado de su determinante; o de manera equivalente, el grado de su primera clase de Chern) en una curva proyectiva suave sobre un campo tiene una fórmula similar a Riemann-Roch para paquetes de líneas. Si tomamos y un punto, entonces la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch se puede leer como ${\displaystyle E\to C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X=C}$ ${\displaystyle Y=\{*\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}$

por eso,

${\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).}$^[6]

Esta fórmula también es válida para haces coherentes de rango y grado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

Mapas adecuados y fluidos.

Una de las ventajas de la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch es que puede interpretarse como una versión relativa de la fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch. Por ejemplo, un morfismo suave tiene fibras que son todas equidimensionales (e isomorfas como espacios topológicos cuando la base cambia a ). Este hecho es útil en la teoría de módulos cuando se considera un espacio de módulos que parametriza espacios propios suaves. Por ejemplo, David Mumford utilizó esta fórmula para deducir relaciones del anillo de Chow en el espacio de módulos de curvas algebraicas . ^[7] ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Módulos de curvas

Para el conjunto de módulos de curvas de género (y sin puntos marcados) existe una curva universal donde (es el conjunto de módulos de curvas de género y un punto marcado. Luego, define las clases tautológicas ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}$

donde y es la gavilla dualizadora relativa. Observe la fibra de más de un punto: esta es la gavilla dualizadora . Pudo encontrar relaciones entre y describir en términos de una suma de ^[7] (corolario 6.2) en el anillo de comida del locus liso usando Grothendieck-Riemann-Roch. Debido a que es una pila suave de Deligne-Mumford , consideró una cobertura mediante un esquema que se presenta para algún grupo finito . Utiliza Grothendieck-Riemann-Roch para obtener ${\displaystyle 1\leq l\leq g}$ ${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$ ${\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}}$ ${\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}$

Porque

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},}$

esto da la fórmula

${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}$

El cálculo de entonces se puede reducir aún más. En dimensiones pares , ${\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )}$ ${\displaystyle 2k}$

${\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}$

Además, en la dimensión 1,

${\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}$

¿Dónde hay una clase en el límite? En el caso y en el locus liso están las relaciones ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle g=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}$

lo cual se puede deducir analizando el carácter de Chern . ${\displaystyle \mathbb {E} }$

Incrustación cerrada

Las incrustaciones cerradas también tienen una descripción que utiliza la fórmula de Grothendieck-Riemann-Roch, lo que muestra otro caso no trivial en el que se cumple la fórmula. ^[8] Para una variedad suave de dimensión y una subvariedad de codimensión , existe la fórmula ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}$

Usando la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0}$,

ahí está la fórmula

${\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}$

para la gavilla ideal desde . ${\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})}$

Aplicaciones

Cuasiproyectividad de espacios de módulos.

Grothendieck-Riemann-Roch se puede utilizar para demostrar que un espacio de módulos grueso , como el espacio de módulos de curvas algebraicas puntiagudas , admite una incrustación en un espacio proyectivo, por lo que es una variedad cuasi-proyectiva . Esto se puede lograr observando las gavillas asociadas canónicamente y estudiando el grado de haces de líneas asociados. Por ejemplo, ^[9] tiene la familia de curvas ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{g,n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{g,n}}$

${\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}$

con secciones

${\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}$

correspondiente a los puntos marcados. Dado que cada fibra tiene el haz canónico , existen los haces de líneas asociados. ${\displaystyle \omega _{C}}$

$${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}$$

$${\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}$$

${\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}$

es un paquete de líneas amplio ^{[9] pg 209} , por lo tanto, el espacio de módulos gruesos es cuasi-proyectivo. ${\displaystyle M_{g,n}}$

Historia

La versión de Alexander Grothendieck del teorema de Riemann-Roch se transmitió originalmente en una carta a Jean-Pierre Serre alrededor de 1956-1957. Se hizo público en el inicial Arbeitstagung de Bonn , en 1957. Posteriormente, Serre y Armand Borel organizaron un seminario en la Universidad de Princeton para comprenderlo. El artículo final publicado fue, de hecho, la exposición Borel-Serre.

La importancia del enfoque de Grothendieck se basa en varios puntos. En primer lugar, Grothendieck cambió la afirmación misma: en ese momento se entendió que el teorema era un teorema sobre una variedad , mientras que Grothendieck lo vio como un teorema sobre un morfismo entre variedades. Al encontrar la generalización correcta, la prueba se volvió más simple mientras que la conclusión se volvió más general. En resumen, Grothendieck aplicó un fuerte enfoque categórico a un análisis difícil . Además, Grothendieck introdujo los grupos K , como se analizó anteriormente, lo que allanó el camino para la teoría K algebraica .

Ver también

• Fórmula Riemann-Roch de Kawasaki

Notas

1. A. Grothendieck. Clases de faisceaux et théorème de Riemann-Roch (1957). Publicado en SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.
2. Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958). "El teorema de Riemann-Roch". Boletín de la Société Mathématique de France . 86 : 97-136. doi : 10.24033/bsmf.1500 . SEÑOR  0116022.
3. SGA 6, Springer-Verlag (1971).
4. Panin, Iván; Smirnov, Alejandro (2002). "Impulsos en teorías de cohomología orientada de variedades algebraicas".
5. Morel, Fabien ; Levine, Marc, cobordismo algebraico (PDF) , Springer, véanse 4.2.10 y 4.2.11
6. Morrison; Harris. Módulos de curvas . pag. 154.
7. Mumford, David (1983). "Hacia una geometría enumerativa del espacio de módulos de curvas". Aritmética y Geometría . págs. 271–328. doi :10.1007/978-1-4757-9286-7_12. ISBN 978-0-8176-3133-8.
8. Fulton. Teoría de la intersección . pag. 297.
9. Knudsen, Finn F. (1 de diciembre de 1983). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, III: Los paquetes de líneas en M g , n {\displaystyle M_{g,n}} , y una prueba de la proyectividad de M ¯ g , n {\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}} en la característica 0". Mathematica Scandinavica . 52 : 200–212. doi : 10.7146/math.scand.a-12002 . ISSN  1903-1807.

Referencias

• Berthelot, Pierre (1971). Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clases de matemáticas 225 ) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 225. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi :10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958), "Le théorème de Riemann–Roch", Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés), 86 : 97–136, doi : 10.24033/bsmf.1500 , ISSN  0037-9484, SEÑOR  0116022
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-62046-X, SEÑOR  1644323, Zbl  0885.14002
• Navarro, Alberto; Navarro, José (2017), Sobre la fórmula de Riemann-Roch sin hipótesis proyectiva , arXiv : 1705.10769 , Bibcode :2017arXiv170510769N
• Panin, Iván; Smirnov, Alejandro (2000). "Impulsos en teorías de cohomología orientada de variedades algebraicas".
• "El teorema de Grothendieck Riemann-Roch". 3264 y todo eso . 2016, págs. 481–510. doi :10.1017/CBO9781139062046.016. ISBN 9781107017085.

enlaces externos

• El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• El hilo "¿Aplicaciones de Grothendieck-Riemann-Roch?" en MathOverflow .
• El hilo "¿Cómo se entiende GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" en MathOverflow .
• El hilo "Clase Chern de gavilla ideal" en Stack Exchange .