En matemáticas , el funtor de imagen directa es una construcción en la teoría de gavillas que generaliza el functor de secciones globales al caso relativo. Es de fundamental importancia en topología y geometría algebraica . Dada una gavilla F definida en un espacio topológico X y un mapa continuo f : X → Y , podemos definir una nueva gavilla f ∗ F en Y , llamada gavilla imagen directa o gavilla de empuje hacia adelante de F a lo largo de f , tal que la global secciones de f ∗ F está dada por las secciones globales de F . Esta asignación da lugar a un funtor f ∗ desde la categoría de haces en X a la categoría de haces en Y , que se conoce como funtor de imagen directa. Existen construcciones similares en muchos otros contextos algebraicos y geométricos, incluido el de haces cuasi coherentes y haces étale en un esquema .
Sea f : X → Y un mapa continuo de espacios topológicos, y sea Sh(–) la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. El funtor de imagen directa
envía una gavilla F en X a su imagen directa pregavilla f ∗ F en Y , definida en subconjuntos abiertos U de Y por
Esto resulta ser un haz en Y , y se llama haz de imagen directa o haz de empuje hacia adelante de F a lo largo de f .
Dado que un morfismo de gavillas φ: F → G en X da lugar a un morfismo de gavillas f ∗ (φ): f ∗ ( F ) → f ∗ ( G ) en Y de manera obvia, efectivamente tenemos que f ∗ es un funtor.
Si Y es un punto, y f : X → Y el mapa continuo único, entonces Sh( Y ) es la categoría Ab de grupos abelianos, y el funtor de imagen directa f ∗ : Sh( X ) → Ab es igual al funtor de secciones globales .
Si se trata de haces de conjuntos en lugar de haces de grupos abelianos, se aplica la misma definición. De manera similar, si f : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) es un morfismo de espacios anillados , obtenemos un funtor imagen directo f ∗ : Sh( X , O X ) → Sh( Y , O Y ) de la categoría de poleas de módulos O X a la categoría de poleas de módulos O Y. Además, si f es ahora un morfismo de esquemas cuasi compactos y cuasi separados , entonces f ∗ conserva la propiedad de ser cuasi coherente, por lo que obtenemos el funtor de imagen directo entre categorías de haces cuasi coherentes. [1]
Una definición similar se aplica a las gavillas sobre topoi , como las gavillas étale . Allí, en lugar de la preimagen anterior f −1 ( U ), se utiliza el producto de fibra de U y X sobre Y.
El funtor de imagen directa es exacto a la izquierda , pero generalmente no exacto a la derecha. Por tanto, se pueden considerar los functores derivados derechos de la imagen directa. Se denominan imágenes directas superiores y se denotan por R q f ∗ .
Se puede demostrar que existe una expresión similar a la anterior para imágenes directas superiores: para una gavilla F en X , la gavilla R q f ∗ ( F ) es la gavilla asociada a la pregavilla
donde H q denota cohomología de gavilla .
En el contexto de la geometría algebraica y un morfismo de esquemas cuasicompactos y cuasiseparados, también se tiene el funtor derivado derecho
como functor entre las categorías derivadas (ilimitadas) de haces cuasi coherentes. En esta situación, siempre admite un adjunto derecho . [2] Esto está estrechamente relacionado, pero generalmente no es equivalente, al funtor de imagen inverso excepcional , a menos que también sea apropiado .