En matemáticas , más específicamente en la teoría de haces , una rama de la topología y la geometría algebraica , el funtor de imagen inverso excepcional es el cuarto y más sofisticado de una serie de functores de imagen para haces . Es necesario expresar la dualidad de Verdier en su forma más general.
Definición
Sea f : X → Y un mapa continuo de espacios topológicos o un morfismo de esquemas . Entonces la imagen inversa excepcional es un funtor.
- Rf ! : D( Y ) → D( X )
donde D(–) denota la categoría derivada de haces de grupos o módulos abelianos sobre un anillo fijo.
Se define como el adjunto derecho del funtor derivado total R f ! de la imagen directa con soporte compacto . Su existencia se deriva de ciertas propiedades de R f ! y teoremas generales sobre la existencia de functores adjuntos, al igual que la unicidad.
La notación R f ! es un abuso de notación en la medida en que, en general, no existe ningún funtor f ! cuyo funtor derivado sería R f ! .
Ejemplos y propiedades
- f ! ( F ) := f ∗ GRAMO ,
- donde G es la subhaz de F cuyas secciones en algún subconjunto abierto U de Y son las secciones s ∈ F ( U ) cuyo soporte está contenido en X . El funtor f ! se deja exacto , y el R f ! , cuya existencia está garantizada por un sinsentido abstracto , es de hecho el functor derivado de este f ! . Además f ! está justo al lado de f ! , también.
Dualidad del funtor de imagen inversa excepcional
Sea una variedad suave de dimensiones y sea el mapa único que mapea todo en un punto. Para un anillo , se encuentra que es la gavilla de orientación desplazada .![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:X\rightarrow *}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f^{!}\Lambda =\omega _ {X,\Lambda }[d]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por otro lado, sea una variedad suave de dimensión . Si denota el morfismo de la estructura, entonces es la gavilla canónica desplazada .![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:X\rightarrow \operatorname {Especificación} (k)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f^{!}k\cong \omega _ {X}[d]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, sea una variedad suave de dimensión y un primo invertible en . Entonces donde denota el giro Tate .![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\ell}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }\cong \mathbb {Q} _{\ell }(d)[2d]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (d)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recordando la definición de la cohomología apoyada de forma compacta como avance de chillido inferior y observando que debajo del último significa la gavilla constante y el resto significa que en , y![{\displaystyle \mathbb {Q} _ {\ell }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle *}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:X\to *}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {H} _{c}^{n}(X)^{*}\cong \operatorname {Hom} \left(f_{!}f^{*}\mathbb {Q} _{\ ell }[n],\mathbb {Q} _{\ell }\right)\cong \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Q} _{\ell },f_{*}f^{!}\ mathbb {Q} _{\ell }[-n]\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
el cálculo anterior proporciona la dualidad -ádica de Poincaré![{\displaystyle\ell}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {H} _{c}^{n}\left(X;\mathbb {Q} _{\ell }\right)^{*}\cong \mathrm {H} ^{2d-n }(X;\mathbb {Q} (d))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
de la aplicación repetida de la condición complementaria.
Referencias
- Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, señor 0842190trata el entorno topológico
- Artín, Michael (1972). Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 305. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . págs.vi+640. doi :10.1007/BFb0070714. ISBN 978-3-540-06118-2. trata el caso de las gavillas étale sobre esquemas. Ver Exposé XVIII, sección 3.
- Gallauer, Martin, Introducción a los formalismos de seis functores (PDF) , págs.10-11da las declaraciones de dualidad.